創(chuàng)意平板折疊桌

PAGE2014高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽承諾書我們仔細閱讀了中國大學生數(shù)學建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的,如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）：B 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名號的話）：所屬學校（請?zhí)顚懲暾娜簠①愱爢T(打印并簽名)：1.2.3.指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負責人(打印并簽名)：數(shù)模教練組日期：2014年9月12日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2014高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽編號專用頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：PAGE1易。分析發(fā)現(xiàn)最外側(cè)桌腳越長越費材料，但由于增加了底面積而增加了穩(wěn)固性。另由力學分析得桌子在受壓后不會恢復(fù)原狀的必要條件是每側(cè)最中間的桌腿與桌面的夾角小于90度，即向內(nèi)“凹”。這樣桌子受壓時外側(cè)桌腿向外的趨勢與中間桌腿向內(nèi)的趨勢可通過鋼筋抵消，從而使桌子具備抗壓能力。鋼筋的位置會影響桌腿開槽長度。槽的長度又有限制條件，即須為正數(shù)且小于所在桌腿長。其它的限制條件有：平鋪時鋼筋的位置須在最短桌腿范圍內(nèi)；折疊時以兩側(cè)中間向內(nèi)的桌腿相碰為極限狀態(tài)。該問難點在于如何建立一個優(yōu)化模型以求得最優(yōu)解。本文以材料總面積大小作為節(jié)省材料的評判標準，以桌腳與地面形成的底面積大小評判其穩(wěn)固性。以兩者的加權(quán)差作為優(yōu)化的目標函數(shù)。考慮實際確定權(quán)值后利用Lingo計算出最優(yōu)解?？紤]了前兩個因素后考慮加工難易。以開槽長短作為加工難易的標準?？疾觳煌摻钗恢脮r桌腿開槽長度，在約束范圍內(nèi)選取最優(yōu)的槽長。問題三需要滿足客戶提出的需求以設(shè)計桌子。在設(shè)計時需要全面考慮所有限制因素，并選擇最優(yōu)方案。沿用第一問的計算方法及第二問的優(yōu)化模型，根據(jù)客戶給出的桌面形狀、桌高及桌角線形狀計算桌腿長、鋼筋位置以及桌腿開槽長度等加工參數(shù)。應(yīng)用前兩問的程序，改動桌面邊緣線的方程，輸入客戶給定的參數(shù)，即可繪圖并得出最優(yōu)的加工參數(shù)。在最后本文給出了兩例分別以橢圓形與心形作為桌面形狀。三、模型假設(shè) 1.假設(shè)桌子的材料和鋼筋足夠堅固，能承受桌子上物體的壓力不會斷裂；2.計算時桌腳接觸面為平面，軸穿過桌面中心，桌子關(guān)于軸對稱。四、變量說明桌子的長度的一半桌子的高度最外側(cè)桌腳在面上的投影長度長方形木板面積四個桌腳所圍面積圓桌面面積桌面的半徑五、模型的建立與求解5.1問題一的求解如圖1建立空間直角坐標系圖1桌子的坐標示意圖最外側(cè)四個桌腳均落在平面內(nèi)，桌子的圓心在軸上，且整個桌子關(guān)于軸對稱。所有桌腿都平行于平面。其側(cè)視圖為圖2折疊后的桌子側(cè)面示意圖設(shè)圓桌面邊緣上任意點（），鋼筋固定點(),桌腳邊緣點（）。桌面長度為，則桌腳長度為。桌子折疊后，鋼筋相對于每一根桌腿的位置就確定了，因此每一根桌腳必然經(jīng)過、、三點?？梢岳脦缀侮P(guān)系求出所需加工參數(shù)。過作桌面的垂線，垂足為，則。則,，其中，，點()滿足過作桌面的垂線，使垂足為，根據(jù)兩個相似三角形的關(guān)系得到桌腳點的坐標由于則均可以用參數(shù)來表示。因為已知，而，所以折疊桌子的動態(tài)變化過程即是隨著變化，桌腳邊緣線的變化過程。由于桌子的高度為53，桌子厚度為3，則桌腳的高度為50。由，利用matlab作圖得圖3桌子折疊后桌子邊緣線的坐標圖當桌子平鋪為一張木板時，每根桌腿的槽的上沿位于同一條直線，即M點均在桌子長的處。故，所以槽的寬度。桌子折疊后后的距離即為圖1中的長度。圖4木板上的槽寬示意圖利用兩點間距離公式得利用matlab作圖，得到槽長關(guān)于的變化曲線圖5不同桌腳的槽的長度示意圖由圖可以看出兩側(cè)的桌腳槽長為零，越中間的桌腳槽長越長。從一側(cè)到中央的十根桌腳槽寬依次為：表1各桌腿的開槽長度桌腳序號（從外到里）槽的長度(cm)第1根0第2根8.4015第3根11.5360第4根14.1148第5根16.2456第6根17.9768第7根19.3364第8根20.3426第9根21.0072第10根21.33775.2最優(yōu)化模型與問題二的求解：5.2.1該問分兩部走，首先確定最外側(cè)桌腿長，其次確定鋼筋位置。折疊桌的最外側(cè)桌腿長度決定了長方形木板的長，從而決定長方形木板的面積，面積越少，所用材料就越少，于是通過建立最外側(cè)桌腿長與面積的關(guān)系反映用材量。四個桌腳在地面圍成長方形，根據(jù)物理常識，四個桌腳所圍成的面越大，重心越不易落到接觸面之外，桌子就越穩(wěn)固。以木板總面積與桌腳形成矩形面積之差為目標函數(shù)，根據(jù)幾何關(guān)系得出約束條件，對腿長的選擇進行優(yōu)化。長方形木板面積四個桌腳形成的面積圓桌面的面積當時，這樣的桌子被稱為獨腳桌，不穩(wěn)定所以圖6折疊后桌子的側(cè)視圖因為OC=,CD=,而最內(nèi)側(cè)的桌腳最多碰地，所以,即則可建立有約束條件的優(yōu)化模型對于廠商來說，節(jié)約成本很重要，所以取代入數(shù)據(jù)，。用lingo運行得到結(jié)果,經(jīng)計算可知最外側(cè)的兩根桌腳連線大約與圓相切，即四個桌腳形成的圖形為正方形。該桌中最外側(cè)桌腳，長方形木板面積為，桌腳最外側(cè)桌腳面積為。5.2.2利用所得的最優(yōu)桌腳圍成形狀來確定最小槽寬桌腿上開槽長度越小加工越容易。同時槽長須滿足一定約束條件：為正數(shù)、小于腿長。參照上述分析作示意圖如下圖7木板上的槽寬示意圖，其中,,,圖一中在中，由余弦定理得槽寬=代入原始數(shù)據(jù)和所得的，在Matlab中考察不同值對開槽長度的影響。除去不可取的位置后選取最優(yōu)的槽長。表2各桌腿的開槽長度桌腳序號（從外到里）槽的最短長度第1根0第2根13.8582第3根18.6100第4根17.8793第5根14.7612第6根12.2463第7根10.2795第8根8.8275第9根7．8697第10根7.39375.3問題三的求解：根據(jù)客戶的設(shè)定要求來設(shè)計，找出最優(yōu)的加工參數(shù)。在問題一和問題二中我們研究的都是圓形，且給定了一些設(shè)計參數(shù)。但對于問題三，需要全面考慮所有限制條件以及客戶所給出的各種組合能否實現(xiàn)的問題。在問題一中，給定長方形木板材料，但是實際上，桌子展開成平面時不一定非要是長方形。我們可以這樣來想：首先，按照客戶指定的桌面大小形狀來做出桌面，然后根據(jù)桌高來確定并且做出四根接觸地面的桌腿（如圖Ⅰ，圖Ⅰ只畫了正面的兩條桌腿）；在桌腿插上鋼筋，然后再將木條向鋼筋上放，要求是這些木條能恰好插入到鋼筋（如圖Ⅱ）；最后延長木條，使得木塊下沿構(gòu)成客戶所需要的形狀（如圖Ⅲ，圖Ⅲ）。圖Ⅰ圖Ⅱ圖Ⅲ這個方法很顯然可以實現(xiàn)，這樣做可以方便加工，而且若是客戶沒有要求鋪開時木板形狀，我們還可以將木條的長度縮減到恰好能被鋼筋連接起來，這樣又可以節(jié)省一部分材料。在程序?qū)崿F(xiàn)中，客戶給定桌面形狀、桌高以及桌腳邊緣線大致形狀，只要能給出桌面邊緣的顯式或參數(shù)方程，就可以自動計算加工參數(shù)并制圖。本文考察了桌面為半長軸為50，半短軸為40的橢圓，高80的桌子，以及以系數(shù)為20的心形為桌面，高為70的桌子。給出了開槽長度及折疊過程示意圖。橢圓形桌面表3各桌腿的開槽長度桌腳序號（從外到里）槽的長度第1根0第2根17.8746第3根24.5662第4根30.0544第5根34.5735第6根37.2380第7根34.3708第8根32.2532第9根30.8564第10根30.1623心形桌面表4各桌腿的開槽長度桌腳序號（從外到里）槽的長度第1根0第2根8.7391第3根18.3158第4根10.3634第5根6.7269第6根3.6755第7根1.4695第8根0.3274第9根0.4012第10根1.7568第11根4.3605第12根8.0718第13根12.6481第14根17.7660第15根12.0498第16根0.0515六、模型的評價與推廣6.1模型的優(yōu)缺點缺點：1.問題一二中，模型是理想化的，桌面并不是理想的圓形，最外側(cè)的桌腳的長度也不是桌長的一半。2.桌腳構(gòu)成的邊緣線并不是連續(xù)的，槽的長度構(gòu)成的曲線也不是連續(xù)的，求得的數(shù)據(jù)有誤差。優(yōu)點：利用桌子各個參數(shù)之間的關(guān)系，將桌子加工的方式進行改進，使加工方式簡化；6．2模型的推廣1.本文建立的模型是簡化很多條件后的，因為最外側(cè)桌腿的頂側(cè)并不是相接的，而是留有一小塊木塊，實際上不論是什么形狀的桌子，都必須要留有一部分，否則兩條桌腿便無法合上，實際的最外側(cè)桌腿應(yīng)該比長方形的一半要小，可以根據(jù)木塊的厚度來決定所留木塊的長短，再將這一數(shù)據(jù)代入模型中可以減小與實際情況的誤差。2.槽長和最外側(cè)桌腿與地面的夾角以及鋼筋的位置有關(guān)，這樣就可以將槽長和桌腿地面的面積以及桌面面積聯(lián)系在一起，建立一個二元變量的目標函數(shù)，鋼筋的位置是有范圍的，不能接觸到桌面邊緣，也不能超出最外側(cè)木板，在這個約束條件內(nèi)求最優(yōu)的鋼筋位置和最外側(cè)桌腿與地面夾角。七、參考文獻[1]王思成，GBT，10357.7-1995家具力學性能試驗桌類穩(wěn)定性[J]，16-18.2012-09-13.八、附錄附錄一計算第一問的加工參數(shù)cleari=0;forx=-25:0.05:25;%%以x為參數(shù)計算桌腳坐標及開槽長度i=i+1;x0(i)=x;z(i)=50;y(i)=sqrt(25^2-x^2);y0(i)=sqrt(625-x.^2)+(60-sqrt(625-x.^2)).*(16.583-sqrt(625-x.^2))/sqrt(1250-x.^2+16.583.^2-2.*16.583.*sqrt(625-x.^2));z0(i)=50-25.*(60-sqrt(625-x.^2))/sqrt(625+(sqrt(625-x.^2)-16.583).^2);d2(i)=sqrt((y0(i)-16.583).^2+(z0(i)-25).^2);%%折疊時鋼筋到桌腳的距離d(i)=30-d2(i);%%開槽長度endsubplot(1,2,1)plot3(x0,y0,z0,'r-')%%繪制桌腳邊緣線holdongridonsubplot(1,2,2)%%繪制槽長變化曲線plot(x0,d)gridon附錄二第二問cleari=0;y1=30;%%更改不同的y1來模擬不同的鋼筋位置forx=-40:0.05:40i=i+1;y(i)=sqrt(1600-x^2);co(i)=(y1-y(i))/sqrt((y1-y(i))^2+(7/4*y1)^2);si(i)=7/4*y1/sqrt((y1-y(i))^2+(7/4*y1)^2);x0(i)=x;y0(i)=y(i)+(sqrt(6500)-y(i))*co(i);z0(i)=70-(sqrt(6500)-y(i))*si(i);%%計算桌腳的坐標d2(i)=sqrt((y1-y0(i))^2+(70-7/4*y1-z0(i))^2);d(i)=sqrt(6500)-sqrt(y1^2+(7/4*y1)^2)-d2(i);y2(i)=-y0(i);l(i)=sqrt(6500)-y(i);endsubplot(1,2,1)plot3(x0,y0,z0,'r-')holdonplot3(x0,y2,z0)%%繪制桌腳邊緣線gridonsubplot(1,2,2)%%繪制槽長變化曲線plot(x0,d)holdonplot(x0,l,'r')%%繪制桌腿長變化曲線gridon附錄三min=11200*(1-0.5*@sqrt(1-x^2))/x;//此函數(shù)為加權(quán)后的目標函數(shù)x>=0.580322535;//程序中的x就是,為了計算簡便用了換元x<=0.921573912;附錄四第四問橢圓桌面cleara=50;b=40;%%輸入桌面形狀h=80;%%輸入桌高hp=70;%%折疊時變化的桌高i=0;y1=30;l=sqrt(a^2+h^2);z1p=hp-y1*hp/a;y1p=y1/a*sqrt(l^2-hp^2);forx=-b:0.01:b;i=i+1;x0(i)=x;y(i)=sqrt((1-x^2/b^2)*a^2);z(i)=hp;l0(i)=l-y(i);si(i)=(hp-z1p)/sqrt((y1p-y(i))^2+(hp-z1p)^2);co(i)=(y1p-y(i))/sqrt((y1p-y(i))^2+(hp-z1p)^2);y0(i)=l0(i)*co(i)+y(i);z0(i)=hp-l0(i)*si(i);%%計算桌腳坐標d2(i)=sqrt((y1p-y0(i)