湖南省長沙市路口鎮(zhèn)路口中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

湖南省長沙市路口鎮(zhèn)路口中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知f（x）是定義在（﹣∞，+∞）上的偶函數(shù)，且在（﹣∞，0]上是增函數(shù)，設(shè)a=f（log47），b=f（log3），c=f（0.20.6）則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a(chǎn)＜b＜c參考答案：B【分析】利用對數(shù)和指數(shù)冪的運算性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【解答】解：∵f（x）是定義在（﹣∞，+∞）上的偶函數(shù)，∴b=f（log3）=f（﹣log23）=f（log23），∵log23=log49＞log47＞1，0＜0.20.6＜1，∴0.20.6＜log47＜log49，∵在（﹣∞，0]上是增函數(shù)，∴在[0，+∞）上為減函數(shù)，則f（0.20.6）＞f（log47）＞f（log49），即b＜a＜c，故選：B【點評】本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系以及對數(shù)的運算性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．2.設(shè)f（x）=|lgx|，若函數(shù)g（x）=f（x）﹣ax在區(qū)間（0，4）上有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A． B． C． D．參考答案：B【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；根的存在性及根的個數(shù)判斷．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】轉(zhuǎn)化函數(shù)的零點為方程的根，利用數(shù)形結(jié)合，推出3個零點滿足的情況，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，推出結(jié)果即可．【解答】解：函數(shù)g（x）=f（x）﹣ax在區(qū)間（0，4）上有三個零點，就是g（x）=f（x）﹣ax=0在區(qū)間（0，4）上有三個根，也就是f（x）=ax的根有3個，即兩個函數(shù)y=f（x）與y=ax圖象在區(qū)間（0，4）上的交點個數(shù)為3個．如圖：由題意以及函數(shù)的圖象可知函數(shù)有3個零點，直線y=ax過A，與l之間時，滿足題意．A（4，lg4），kOA=．設(shè)l與y=lgx的切點為（t，f（t）），可得y′=，切線的斜率為：==，即lgt=lge，t=e．可得切線l的斜率為：，a∈．故選：B．【點評】本題考查函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是中檔題．3.已知銳角滿足，則的最大值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略4.已知全集，則（

）A． B． C． D．參考答案：B略5.曲線在點（—1，—1）處的切線方程為

（

）

A.

y=2x+1

B.

y=2x—1

C.y=—2x—3

D.y=—2x—2參考答案：A略6.(2009湖北卷理)設(shè)球的半徑為時間t的函數(shù)。若球的體積以均勻速度c增長，則球的表面積的增長速度與球半徑A.成正比，比例系數(shù)為C

B.成正比，比例系數(shù)為2C C.成反比，比例系數(shù)為C

D.成反比，比例系數(shù)為2C

參考答案：D解析：由題意可知球的體積為，則，由此可得，而球的表面積為，所以，即，故選D7.已知(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：答案：C解析：，由、是實數(shù)，得∴，故選擇C?！久麕燑c拔】一個復(fù)數(shù)為實數(shù)的充要條件是虛部為0?！究键c分析】本題考查復(fù)數(shù)的運算及性質(zhì)，基礎(chǔ)題。8.若復(fù)數(shù)，滿足：，則的虛部為（

）A.

B.1

C.

D.參考答案：C9.給出如下三個命題：①若“p且q”為假命題，則p、q均為假命題；②命題“若，則”的否命題為“若”；③“”的否定是“”.其中不正確的命題的個數(shù)是A.0 B.1 C.2 D.3參考答案：C①“p且q”為假命題，則p、q至少有一個為假命題，所以①錯誤。②正確。③“”的否定是“”，所以③錯誤。所以不正確的命題的個數(shù)是2個，選C.10.將數(shù)字“124470”重新排列后得到不同的偶數(shù)個數(shù)為（

）A．180

B．192

C．204

D．264參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），則數(shù)列{}的前10項的和為．參考答案：【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】數(shù)列{an}滿足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得an=．再利用“裂項求和”即可得出．【解答】解：∵數(shù)列{an}滿足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），∴當(dāng)n≥2時，an=（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=．當(dāng)n=1時，上式也成立，∴an=．∴=2．∴數(shù)列{}的前n項的和Sn===．∴數(shù)列{}的前10項的和為．故答案為：．12.過雙曲線的一個焦點F作它的一條漸近線的垂線FM,垂足為M并且交軸于E，若M為EF中點，則=___________.

參考答案：答案：113.（5分）（2015?南昌校級模擬）已知一個正三棱錐P﹣ABC的正視圖如圖所示，若AC=BC=，PC=，則此正三棱錐的表面積為．參考答案：9【考點】：棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積．【專題】：空間位置關(guān)系與距離．【分析】：求正三棱錐的表面積即求三個側(cè)面面積與底面面積的和，故求解本題需要求出底面三角形的邊長，側(cè)面上的斜高，然后求解表面積．解：由題設(shè)條件及主視圖知底面三角形的邊長是3，頂點到底面的距離是，故底面三角形各邊上的高為3×=，令頂點P在底面上的投影為M，由正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征知M到三角形各邊中點的距離是底面三角形高的，計算得其值為，故斜高為=，故此正三棱錐的表面積為：=9．故答案為：9．【點評】：本題考查由三視圖求面積與體積，三視圖的作圖規(guī)則是主視圖與俯視圖長對正，主視圖與側(cè)視圖高平齊，側(cè)視圖與俯視圖是寬相等，本題是考查利用三視圖的作圖規(guī)則把三視圖中的數(shù)據(jù)還原到原始圖形中來，求面積與體積，做題時要注意正確利用三視圖中所提供的信息．14.對于函數(shù)f(x)定義域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下結(jié)論：①f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)；

②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)；③＞0；

④f()＜.當(dāng)f(x)=10x時，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號是 參考答案：答案：①、③、④.15.若x，y滿足，則的取值范圍是．參考答案：【考點】基本不等式．【分析】由2＜y＜8，可得，又1＜x＜6．利用不等式的基本性質(zhì)即可得出．【解答】解：由2＜y＜8，可得，又1＜x＜6．∴．∴的取值范圍是．故答案為：．16.設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，若當(dāng)時，則滿足的值域是 。參考答案：答案：17.二項式的展開式中常數(shù)項是第

項。參考答案：9略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)（，）為奇函數(shù)，且相鄰兩對稱軸間的距離為.（1）當(dāng)時，求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象沿軸方向向右平移個單位長度，再把橫坐標(biāo)縮短到原點的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時，求函數(shù)的值域.參考答案：（1）由題意可得：，因為相鄰量對稱軸間的距離為，所以，，因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，，，因為，所以，函數(shù)，∵，∴要使單調(diào)減，需滿足，，所以函數(shù)的減區(qū)間為（2）由題意可得：∵，∴，∴，∴即函數(shù)的值域為19.已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點x=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線的斜率為3．（1）求實數(shù)a的值；（2）若f（x）≤kx2對任意x＞0成立，求實數(shù)k的取值范圍；（3）當(dāng)n＞m＞1（m，n∈N*）時，證明：．參考答案：考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．專題：計算題；證明題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由切線的斜率為3，解方程，即可得到a；（2）f（x）≤kx2對任意x＞0成立對任意x＞0成立，令，則問題轉(zhuǎn)化為求g（x）的最大值，運用導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，得到最大值，令k不小于最大值即可；（3）令，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即得h（x）是（1，+∞）上的增函數(shù)，由n＞m＞1，則h（n）＞h（m），化簡整理，即可得證．解答： 解：（1）∵f（x）=ax+xlnx，∴f'（x）=a+lnx+1，又∵f（x）的圖象在點x=e處的切線的斜率為3，∴f'（e）=3，即a+lne+1=3，∴a=1；

（2）由（1）知，f（x）=x+xlnx，∴f（x）≤kx2對任意x＞0成立對任意x＞0成立，令，則問題轉(zhuǎn)化為求g（x）的最大值，，令g'（x）=0，解得x=1，當(dāng)0＜x＜1時，g'（x）＞0，∴g（x）在（0，1）上是增函數(shù)；當(dāng)x＞1時，g'（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．

故g（x）在x=1處取得最大值g（1）=1，∴k≥1即為所求；

（3）令，則，由（2）知，x≥1+lnx（x＞0），∴h'（x）≥0，∴h（x）是（1，+∞）上的增函數(shù)，∵n＞m＞1，∴h（n）＞h（m），即，∴mnlnn﹣nlnn＞mnlnm﹣mlnm，即mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn，lnnmn+lnmm＞lnmmn+lnnn，ln（mnn）m＞ln（nmm）n，∴（mnn）m＞（nmm）n，∴．點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，考查不等式的證明，運用構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)性，再由單調(diào)性證明，屬于中檔題．20.已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).（Ⅰ）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的最小值；（Ⅱ）若，函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點，求a的取值范圍參考答案：（Ⅰ）當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.（Ⅱ）的范圍為.試題分析：（Ⅰ）易得，再對分情況確定的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)在上的單調(diào)性即可得在上的最小值.（Ⅱ）設(shè)為在區(qū)間內(nèi)的一個零點，注意到.聯(lián)系到函數(shù)的圖象可知，導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點，在區(qū)間內(nèi)存在零點，即在區(qū)間內(nèi)至少有兩個零點.由（Ⅰ）可知，當(dāng)及時，在內(nèi)都不可能有兩個零點.所以.此時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，且必有.由得：，代入這兩個不等式即可得的取值范圍.試題解答：（Ⅰ）①當(dāng)時，，所以.②當(dāng)時，由得.若，則；若，則.所以當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以.當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以.（Ⅱ）設(shè)為在區(qū)間內(nèi)一個零點，則由可知，在區(qū)間上不可能單調(diào)遞增，也不可能單調(diào)遞減.則不可能恒為正，也不可能恒為負(fù).故在區(qū)間內(nèi)存在零點.同理在區(qū)間內(nèi)存在零點.所以在區(qū)間內(nèi)至少有兩個零點.由（Ⅰ）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，故在內(nèi)至多有一個零點.當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，故在內(nèi)至多有一個零點.所以.此時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，必有.由得：，有.解得.當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)有最小值.若，則，從而在區(qū)間上單調(diào)遞增，這與矛盾，所以.又，故此時在和內(nèi)各只有一個零點和.由此可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，，故在內(nèi)有零點.綜上可知，的取值范圍是.【考點定位】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及函數(shù)的零點.21.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且=．（Ⅰ）求角B的大??；（Ⅱ）點D滿足=2，且線段AD=3，求2a+c的最大值．參考答案：【考點】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理和余弦定理，即可求出cosB以及B的值；（Ⅱ）結(jié)合題意畫出圖形，根據(jù)圖形利用余弦定理和基本不等式，即可求出2a+c的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，=，∴=，∴ac﹣c2=a2﹣b2，∴ac=a2+c2﹣b2，∴cosB===；又B∈（0，π），∴B=；（Ⅱ）如圖所示，點D滿足=2，∴BC=CD；又線段AD=3，∴AD2=c2+4a2﹣2?c?2acos=c2+4a2﹣2ac=9，∴c2+4a2=9+2ac；又c2+4a2≥2c?2a，∴4ac≤9+2ac，∴2ac≤9；∴（2a+c）2=4a2+4ac+c2=9+6ac≤9+3×9=36，∴2a+c≤6，即2a+c的最大值為6．【點評】本題考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用問題，也考查了基本不等式的應(yīng)用問題，是綜合題．22.（本小題滿分14分）正方體ABCD-A1B1C1D1中，點F為A1D的中點．（1）求證：A1B∥平面AFC；（2）求證：平面A1B1CD平面AFC．參考答案：證明：（1）連接BD交AC于點O，連接FO，則點O是BD的中