補形法在立體幾何中的應用

PAGEPAGE5補形法在立體幾何中的應用李遠國在立體幾何中,有許多題如果采用原來的幾何體去求解,有時顯得十分繁難。但根據(jù)問題的已知條件及證題需要,合理地將原來的幾何體適當?shù)叵蛲庋由?、補加、移位,使之擴展為一個特殊、簡單、完整且特征較為熟悉的幾何體,再利用所得新的幾何體求解,這種方法叫補形法。補形法是解立幾題的一種重要的思想方法,它不僅能縮短從已知到未知的探求過程,起到化難為易、馭繁就簡的作用,而且能培養(yǎng)學生豐富思維能力,促進創(chuàng)造性思維的發(fā)展。其基本策略歸納如下。一、補成正方體或長方體例1正方形ABCD及ADEF所在平面互相垂直,求AC和DF所成的角。FPQEFPQEABCD∵PC∥FD,∴∠ACP為AC和DF所成的角.易知∠ACP=60°,∴AC和DF所成角為60°。例2過正方形ABCD的頂點A作PA⊥平面ABCD,設AB=PA,求平面PAB和平面PCD所成的二面角的大小。解:,將圖形補成正方體ABCD—PQMN,∵QP⊥APQP⊥PD,∴∠APD為面PAB和面PCD所成的二面角的平面角。∵∠APD=45°。故所求的二面角為45°。例3正四面體S―ABC的棱長為,求(1)SA和BC的距離，(2)正四面體S―ABC外接球半徑R。解:,將正四面體補成正方體APCQ——MBNS,則正方體棱長為1。(1)SA和BC距離就是平面SA與平面BC間距離,顯然是1。MBMBNSAPCQ,故。例4:在三棱錐P―ABC中，三組相對棱相等,且分別為13、14、15,求其體積。解:因為長方體對面不平行的對角線恰好可組成對棱相等的三棱錐,故將三棱錐補成長方體,。設長方體三棱分別為a、b、cBPAC則BPAC評注：對棱長全相等的正四面體通常把它補成正方體。若是相對棱長相等的四面體，則可考慮把它補成長方體。 二、臺體補錐體例5:正三棱臺ABC-A′B′C′側面與底面成45°,求側棱與底面所成角的正切。解:將圖形補成正三棱錐SABC,設AB中點E,△ABC中心o,∠SEO為側面與底面所成角的平面角=45°,令SO=h,則OE=hRt△AEO中,Rt△sAO中,故側棱與底面所成角正切為。三、錐體補成柱體CPAB例6如圖,三棱錐P-ABC中,已知PA⊥BC,CPABA求證:三棱錐P—ABC的體積A解:以ΔABC為底面,以PA為側棱補成三棱柱ABC—PB′C′.例7在四棱錐A′—ABCD中,A′A⊥底面ABCD,A〃=a,底面ABCD是邊長為a的正方形，求過A垂直于A′C的截面的面積.解:,將四棱錐A′―ABCD補成正方體ABCD―A′B′C′D′,易證A′C⊥截面AB′C,且A′在截面上的射影R是正△AB′D′的中心.∴過A垂直于A′C的原四棱錐的截面是四邊形APRQ.而△APR∽AB′O′,四、補相同的幾何體例8長方體中，AB=，AD=1，，求異面直線與所成的角。解：如圖5，補一個與原長方體全等的并與原長方體有公共面的長方體，連結BF，則∠為異面直線與所成的角，而，AD=1，。連結，在△中，BF=，，，由余弦定理得，故與所成角為。評注：補相同幾何體之目的在于平移相關直線。例9斜三棱柱的一個側面的面積等于s,這個側面與它所對的棱的距離等a。求證：這個棱柱的體積等于.五、對相應的平面圖形補形平面圖形翻折成空間圖形問題，有時不容易畫好直觀圖，可以先對平面圖形作必要的補形，如補成矩形、正方形等，使翻折圖形理想化（成為直棱柱、正棱柱等）。例10在平行四邊形ABCD中，AC⊥AB，AB=AC=a，把它沿對角線AC折成60°的二面角。求：D到AB的距離。例11把RtΔABC沿直角C的平分線CD折成60°的二面角A—CD—B，求:BC與平面ACD所成的角,解:將圖形ABC補成矩形FBHG，折后形成直三棱柱FEB—GCH,作BM⊥EF,垂足為M,則BM⊥面ADC，∴∠BCM為BC于平面ADC所成的角.六、不規(guī)則幾何體補成規(guī)則幾何體例12如圖，多面體的底面是邊長為l的正方形，上面的棱平行于底面，其長為，其余棱均為l，求這個多面體的體積。解：如圖7，作以為棱長的正四面體ABCD，連結AC、AD、BC、BD中點組成的四邊形為正方形即為多面體的底面（因正四面體的對棱互相垂直），這個正方形所在平面把四面體分成兩個全等的多