就湯下面策略

PAGEPAGE6“就湯下面”策略 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式壓軸題的綜合性較強，難度較大，通常會設(shè)置兩問或三問，并且大多具有遞進式結(jié)構(gòu)．在處理這類試題的第II問或第Ⅲ問的時候，常常要用到前面第I問或第二II問的結(jié)論或方法，這種順勢而為的解題策略可把它叫做“就湯下面”．利用“就湯下面”策略進行解題的基本思路是注意把前一問的結(jié)論作為后續(xù)問題的引理，或者從前述問題中引進方法．具體如何進行“就湯下面”呢？或者說如何入手呢？下面看幾道題目： 1．考慮特殊情形 題1：已知函數(shù) （1）若在上恒成立，求的取值范圍； （2）證明：． 思路分析：（I）構(gòu)建函數(shù)，求導(dǎo)后分類討論進行驗證容易得出的取值范圍為． （Ⅱ）由（I）可知：當(dāng)時，有 令，有且當(dāng)時， 令，有 即 將上述個不等式依次相加得整理得．點評：第I問結(jié)論是不等式恒成立時，參數(shù)的取值范圍為．這里將會得到很多個函數(shù)不等式，對于內(nèi)取定的任何一個值，都會得到一個函數(shù)不等式；在處理第Ⅱ問時，就把第I問的結(jié)論中的特殊化，取，得到時，，再把取特殊值，取，．這里有多次特殊化的思想，先把含參數(shù)的函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化成普通函數(shù)不等式，再把普通函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化成為數(shù)列通項不等式，最后累加即可．2．尋找必要條件題2：設(shè)函數(shù)（其中）的圖像在處的切線與直線垂直．（I）求函數(shù)的極值與零點．（Ⅱ）設(shè)，若對任意，存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）若，且，證明：．思路與分析：（I）容易求出極小值=極大值，又因為，所以函數(shù)的零點是．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)時，，“對任意，存在，使”等價于“在[0，1]上的最小值大于在上的最小值，即當(dāng)時，”．第Ⅱ問是求參數(shù)的取值范圍，通常需要先求導(dǎo)，因為，下面需對分類討論這較麻煩，此時可以考慮對代一個值，所求出的的范圍應(yīng)該就是必要條件，至充分性就需要驗證或分類驗證或排除，但是它縮小了求解范圍，因為時，恒成立，所以實數(shù)的取值范圍是．（Ⅲ）證明：由（I）知，當(dāng)時，，即當(dāng)，且時，，所以以下根據(jù)，容易證明．點評：尋找必要條件實際上是邏輯推導(dǎo)的一種理論依據(jù)，也是思考過程中的一種方法體現(xiàn)．它在許多方面都有著廣泛的應(yīng)用．在恒成立問題中求解參數(shù)取值范圍時，常常把主變量代入一個值，將會得到參數(shù)的某個范圍，這個范圍就是必要條件；若能尋找出“精確”的必要條件，一方面能幫助我們揭示問題本質(zhì)，一方面又能“縮小求解范圍”，大大提高算法效率．如何尋找“精確”的必要條件，其本身并沒有固定的方法準(zhǔn)則，這就要求我們在分析問題時，要勤于思考，善于發(fā)現(xiàn)，在實踐中總結(jié)提高．3．研究關(guān)鍵切線題3：已知（I）若直線為曲線的切線，求實數(shù)的值；（Ⅱ）當(dāng)時，設(shè)，且，若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．思路與分析：第I問可得出；在處理第Ⅱ問時，當(dāng)時，，是切線，并且這個切線很關(guān)鍵，切點是（2，2），曲線在的下方．這是應(yīng)該有結(jié)論：當(dāng)時，．可以用求差法證明．余下易得出，從而的最小值是42．點評：函數(shù)的切線，特別是關(guān)鍵處的切線是重要的直線，很值得研究．在圖像上對函數(shù)有分隔作用，這里一定可以找到恒成立的不等式的．4．構(gòu)建新的結(jié)論題4：已知函數(shù)為常數(shù))，曲線在與軸的交點處的切線斜率為．（I）求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）證明：當(dāng)時，；（Ⅲ）證明：當(dāng)時，．思路與分析：（I）容易得出，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（Ⅱ）證明：由（I）知所以，即令，則所以在上單調(diào)遞增，所以，即．（Ⅲ）首先證明：當(dāng)時，恒有．證明如下：令，則由（II）知，當(dāng)時，，所以，所以在上單調(diào)遞增所以，所以．所以，即依次取，代入上式，則．以上各式相加有所以所以，即．點評：第Ⅲ問題中構(gòu)造了一個新的結(jié)論“當(dāng)時，恒有”；這個結(jié)論是通過類比或聯(lián)想第I問并結(jié)合第Ⅱ問構(gòu)建的，這對能力要求較高．以上舉的幾個例子，簡單的介紹了函數(shù)類壓軸問題的“就湯下面”策略的一些入手思考方法．我們在利用“就湯下面”策略來處理函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式壓軸題時，一定要把前后問聯(lián)系起來看，要善于觀察與思考，要找到突破口或者說找到題眼．“就湯下面”策略的應(yīng)用途徑太多，具體問題需具體分析，這就是能力要求．裴光亞老師曾說過“我們需要套路，但又不能拘泥于套路．否則，套路可能遮蔽我們的眼睛，連最顯然的結(jié)果都視而不見”．若“就湯下面”實在不行或不好，我們是可以“另起爐灶”的．下面幾道題可供練習(xí)：練習(xí)1：已知為自然對數(shù)的底）（1）求的最小值；（2）是否存在常數(shù)使得對任意的正數(shù)恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．答案與提示：（1）的最小值是；（II）由第1問的結(jié)論知，曲線只有一個公共點，再在此處找公切線．練習(xí)2：（I）已知函數(shù)，使，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）證明：，其中；（Ⅲ）設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，證明：．答案與提示：（I）實數(shù)的取值范圍為．（Ⅱ）由（I），知，即取，即．從而且時，有再令，令，可得結(jié)果．（Ⅲ）由（II），得．令，得．練習(xí)3：已知函數(shù)．（Ⅰ