北京市大興區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)試題（含解析）

第第頁北京市大興區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)試題（含解析）大興區(qū)2022～2023學(xué)年度第二學(xué)期期末檢測試卷

高一數(shù)學(xué)

2023.07

考生須知1．本試卷共4頁，共兩部分，21道小題.滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.2．在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫學(xué)校名稱、班級(jí)、姓名和準(zhǔn)考證號(hào).3．試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.4．在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他題用黑色字跡簽字筆作答.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).

1.復(fù)數(shù)（）

A.0B.2C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算法則計(jì)算可得.

【詳解】.

故選：C

2.已知向量與，且，則（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及平面向量基本定理計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)榕c，

又，所以，所以.

故選：A

3.某學(xué)校現(xiàn)有小學(xué)和初中學(xué)生共2000人，為了解學(xué)生的體質(zhì)健康合格情況，決定采用分層抽樣的方法從全校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為400的樣本，其中被抽到的初中學(xué)生人數(shù)為180，那么這所學(xué)校的初中學(xué)生人數(shù)為（）

A.800B.900C.1000D.1100

【答案】B

【解析】

【分析】確定樣本容量與總體容量的比值，根據(jù)分層抽樣的方法得出答案.

【詳解】樣本容量與總體容量的比值為，設(shè)這所學(xué)校的初中學(xué)生人數(shù)為

則被抽到的初中學(xué)生人數(shù)為，那么這所學(xué)校的初中學(xué)生人數(shù)為

故選：B.

4.已知在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）

A.3B.4

C.5D.

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式即可得解.

【詳解】因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，

所以，.

故選：C.

5.已知平面，，直線，則“”是“”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】若且得不到，此時(shí)與可能相交，故充分性不成立，

若又，則，故必要性成立，

所以“”是“”的必要而不充分條件.

故選：B

6.設(shè)，為非零向量，且滿足，則（）

A.0B.－1C.1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】將兩邊平方即可得解.

【詳解】因?yàn)椋?/p>

所以，即，

所以.

故選：A.

7.在中，，，，則（）

A.B.C.5D.7

【答案】D

【解析】

【分析】由余弦定理及題干所給條件，代入求解即可.

【詳解】因?yàn)?，所?

由余弦定理，得，解得.

故選：D.

8.某校舉辦知識(shí)競賽，將人的成績整理后畫出的頻率分布直方圖如下．則根據(jù)頻率分布直方圖，下列結(jié)論正確的是（）

A.中位數(shù)估計(jì)為B.眾數(shù)估計(jì)為

C.平均數(shù)估計(jì)為D.第百分位數(shù)估計(jì)為

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)頻率分布直方圖中與所對(duì)應(yīng)的縱軸為，根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為得到方程，求出，再根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)及眾數(shù)的計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得.

【詳解】設(shè)頻率分布直方圖中與所對(duì)應(yīng)的縱軸為，

則，解得，

所以平均數(shù)為，故C正確；

眾數(shù)為，故B錯(cuò)誤；

因?yàn)?，所以中位?shù)為，故A錯(cuò)誤；

因?yàn)椋诎俜治粩?shù)估計(jì)為，故D錯(cuò)誤；

故選：C

9.已知邊長為的正方形，點(diǎn)是邊上動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】建立平面直角坐標(biāo)，設(shè)，，利用坐標(biāo)法表示，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，，

則，，

所以，

所以當(dāng)或時(shí)取得最大值.

故選：B

10.已知點(diǎn)P在棱長為2的正方體表面運(yùn)動(dòng)，且，則線段AP的長的取值范圍是（）

AB.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】作出正方體的對(duì)角線的中垂面截正方體所得截面多邊形，再分段求出AP的長范圍作答.

【詳解】點(diǎn)在棱長為2的正方體表面運(yùn)動(dòng)，且，則點(diǎn)的軌跡是

線段的中垂面截正方體所得截面多邊形，

分別取棱的中點(diǎn)，

則，

因此點(diǎn)在線段的中垂面上，點(diǎn)的軌跡是六邊形，如圖，

當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，若點(diǎn)為線段中點(diǎn)，有，，

于是點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)，，

當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，為鈍角，則，即，

當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，，，

鈍角，則，即，

當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，由，

邊上的高為，此時(shí)，

由對(duì)稱性知，當(dāng)點(diǎn)在折線上時(shí)，，

所以線段AP的長的取值范圍是.

故選：D

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：的三邊分別為a，b，c（a≥b≥c），若，則是銳角三角形；若，則是直角三角形；若，則是鈍角三角形.

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.復(fù)數(shù)滿足為純虛數(shù)，則的實(shí)部為___________．

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的概念求解即可.

【詳解】設(shè)（為虛數(shù)單位，），

因?yàn)闉榧兲摂?shù)，

所以，解得，

所以實(shí)部為，

故答案為：

12.對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，，，，，，，則第百分位數(shù)是___________．

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)椋?/p>

所以第百分位數(shù)為數(shù)據(jù)從小到大排列的第、兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即.

故答案為：

13.已知向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則，的夾角的余弦為___________．

【答案】##

【解析】

【分析】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為，利用坐標(biāo)法求解即可.

【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方形的邊長為，

則，即，

故，

所以，即，的夾角的余弦為.

故答案為：.

14.一個(gè)鐵制的底面半徑為，側(cè)面積為的實(shí)心圓柱的體積為___________，將這個(gè)實(shí)心圓柱熔化后鑄成一個(gè)實(shí)心球體，則這個(gè)鐵球的半徑為___________．

【答案】①.##②.

【解析】

【分析】設(shè)圓柱的高為，根據(jù)側(cè)面積求出高，再根據(jù)圓柱的體積公式計(jì)算可得，設(shè)球的半徑為，由球的體積與圓柱的體積相同得到方程，解得即可.

【詳解】設(shè)圓柱的高為，因?yàn)榈酌姘霃剑瑐?cè)面積為，

所以，解得，

所以圓柱的體積，

設(shè)球的半徑為，則，解得.

故答案為：；

15.如圖，已知菱形中，，，為邊的中點(diǎn)，將沿翻折成（點(diǎn)位于平面上方），連接和，為的中點(diǎn)，則在翻折過程中，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①平面平面；

②與的夾角為定值；

③三棱錐體積最大值為；

④點(diǎn)的軌跡的長度為；

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________．

【答案】①②④

【解析】

【分析】①由題設(shè)結(jié)合線面垂直的判定證面，再由面面垂直的判定即可判斷正誤；②若是的中點(diǎn)，應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)有，可知與的夾角為或其補(bǔ)角，進(jìn)而求其大??；③根據(jù)①②的分析，當(dāng)面時(shí)最大，求其最大值；④確定F的軌跡與到的軌跡相同，且到的軌跡為以中點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓，即可求軌跡長度.

【詳解】對(duì)于①：由，，為邊的中點(diǎn)知且，

易知，，而，面，

故面，又面，所以面面，故①正確；

對(duì)于②：若是的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，則且，

而且，所以且，即為平行四邊形，

故，所以與的夾角為或其補(bǔ)角，

若為中點(diǎn)，即，由①分析易知，

故與的夾角為，故②正確；

對(duì)于③：由上分析知：翻折過程中當(dāng)面時(shí)，最大，

此時(shí)，故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④：由②分析知：且，故的軌跡與到的軌跡相同，

由①知：到的軌跡為以為圓心，為半徑的半圓，而為中點(diǎn)，

故到的軌跡為以中點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓，所以的軌跡長度為，故④正確.

故答案為：①②④.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：應(yīng)用線面、面面垂直的判定判斷面面垂直；根據(jù)線線角的定義，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)找到線線角的平面角并求大小；判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡，由圓的性質(zhì)及棱錐的體積公式求的最大體積以及F的軌跡的長度.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.已知向量，滿足，．

（1）求；

（2）若，求的坐標(biāo)；

（3）若，求．

【答案】（1）

（2）或

（3）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)向量的模的坐標(biāo)公式計(jì)算即可；

（2）設(shè)，再根據(jù)向量的模的坐標(biāo)公式及向量共線的坐標(biāo)公式計(jì)算即可；

（3）由，得，再將平方開再根號(hào)即可得解.

【小問1詳解】

因?yàn)椋裕?/p>

【小問2詳解】

設(shè)，由，，

得，解得或，

所以的坐標(biāo)為或；

【小問3詳解】

若，則，

故.

17.已知．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）由兩角和的正切公式計(jì)算可得；

（2）利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，再代入計(jì)算可得.

【小問1詳解】

因?yàn)椋?/p>

所以.

【小問2詳解】

因?yàn)椋?/p>

所以.

18.如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，M，N分別為，AC的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求證：．

條件①：；條件②：．

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，證明四邊形是平行四邊形，則，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；

（2）先根據(jù)面面垂直性質(zhì)證明平面，選①，證明，再根據(jù)線面垂直的判定定理證明平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證.

選②，取的中點(diǎn)，連接，則且，，先證明，再證明，進(jìn)而得證.

【小問1詳解】

取的中點(diǎn)，連接，

因?yàn)镸，N分別為，AC的中點(diǎn)，

所以且，

又且，

所以且，

所以四邊形是平行四邊形，所以，

又平面，平面，

所以平面；

【小問2詳解】

因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?/p>

平面，

所以平面，

又平面，所以，

選①，由（1）得，

因?yàn)?，所以?/p>

又平面，

所以平面，

又平面，所以.

選②，取的中點(diǎn)，連接，

因?yàn)镸，N分別為，AC的中點(diǎn)，

所以且，，

因?yàn)槠矫妫云矫妫?/p>

又平面，所以，即，

因?yàn)椋裕?/p>

又，

所以，所以，

所以，

又，所以.

19.某工廠生產(chǎn)某款產(chǎn)品，該產(chǎn)品市場平級(jí)規(guī)定：評(píng)分在10分及以上的為一等品，低于10分的為二等品．下面是檢驗(yàn)員從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽樣的10件產(chǎn)品的評(píng)分：

9.610.19.79.810.09.710.09.810.110.2

經(jīng)計(jì)算得，其中為抽取的第件產(chǎn)品的評(píng)分，．

（1）求這組樣本平均數(shù)和方差；

（2）若廠家改進(jìn)生產(chǎn)線，使得生產(chǎn)出的每件產(chǎn)品評(píng)分均提高0.2．根據(jù)以上隨機(jī)抽取的10件產(chǎn)品改進(jìn)后的評(píng)分，估計(jì)改進(jìn)后該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品評(píng)分的平均數(shù)和方差；

（3）在第（2）問前提下，再從改進(jìn)后生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品，估計(jì)這10件產(chǎn)品的平均等級(jí)是否為一等品？說明理由．

【答案】（1）平均數(shù)，方差為，

（2）平均數(shù)，方差為，

（3）見解析

【解析】

【分析】（1）直接利用平均數(shù)的定義和方差的定義求解即可；

（2）根據(jù)平均數(shù)的性質(zhì)和方差的性質(zhì)求解即可；

（3）從平均數(shù)角度分析或從抽樣的隨機(jī)性角度分析即可.

【小問1詳解】

樣本平均值為，

樣本方差為，

【小問2詳解】

因?yàn)楦倪M(jìn)后隨機(jī)抽取的10件產(chǎn)品是改進(jìn)前抽取的10件產(chǎn)品每個(gè)提高0.2分，

所以估計(jì)改進(jìn)后生產(chǎn)的產(chǎn)品評(píng)分的平均數(shù)，方差為，

【小問3詳解】

可以認(rèn)為是一等品，因?yàn)楦倪M(jìn)后該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品評(píng)分由樣本數(shù)據(jù)估計(jì)平均數(shù)為，

所以可以認(rèn)為這10件產(chǎn)品平均等級(jí)為一等品，

不一定是一等品，因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)具有隨機(jī)性，所以新樣本平均值不一定達(dá)到10分以上，

所以新樣本平均等級(jí)不一定是一等品.

20.在中，，是邊上的點(diǎn)，，．

（1）求的大?。?/p>

（2）求的值；

（3）求的面積．

【答案】（1）

（2）

（3）

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理計(jì)算可得；

（2）令，依題意可得，表示出，，，在中利用正弦定理得到，再由兩角差的正弦公式展開，即可求出；

（3）首先由利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，再代入求出，最后由面積公式計(jì)算可得.

【小問1詳解】

因?yàn)椋?/p>

由余弦定理，又，所以.

【小問2詳解】

如圖，令，因?yàn)?，所以?/p>

所以，，，

在中，由正弦定理得，即，

所以，

即，

所以，解得，即.

【小問3詳解】

由，

所以.

21.如圖，從長、寬，高分別為，，的長方體中截去部分幾何體后，所得幾何體為三棱錐．

（1）求三棱錐的體積；

（2）證明：三棱錐的每個(gè)面都是銳角三角形；

（3）直接寫出一組，，的值，使得二面角是直二面角．

【答案】（1）

（2）證明見解析（3），，（滿足或均可）（答案不唯一）

【解析】

【分析】（1）利用長方體的體積減去四個(gè)角的三棱錐的體積即可得解；

（2）三棱錐的每個(gè)面的三角形的三條邊均為，，，不妨設(shè)，則為最大邊，各面的最大角為，利用余弦定理得到，即可得證；

（3）本題屬于開放性問題，不妨令，，連接交于點(diǎn)，連接、，則為二面角的平面角，求出線段的長度，即可得到，從而得解.

【小問1詳解】

在長方體中，

三棱錐，

同理可得，

所以，所以.

【小問2詳解】

由已知易得三棱錐的每個(gè)面的三角形的三條邊均為，，，

不妨設(shè)，則為最大邊，各面的最大角為，

則，

又，所以各面的最大角為為銳角，

所以三棱錐的每個(gè)面都是銳角三角形.

【小問3詳解】

不妨令，，（滿足或均可）（答案不唯一），

連接交于點(diǎn)，連接、，則，

為的中點(diǎn)，所以，，所以為二面角的平面角，

又，，

，

所以，所以，即，

所以二面角是直二面角.大興區(qū)2022～2023學(xué)年度第二學(xué)期期末檢測試卷

高一數(shù)學(xué)

2023.07

考生須知1．本試卷共4頁，共兩部分，21道小題.滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.2．在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫學(xué)校名稱、班級(jí)、姓名和準(zhǔn)考證號(hào).3．試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.4．在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他題用黑色字跡簽字筆作答.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).

1.復(fù)數(shù)（）

A.0B.2C.D.

2.已知向量與，且，則（）

AB.C.D.

3.某學(xué)?，F(xiàn)有小學(xué)和初中學(xué)生共2000人，為了解學(xué)生的體質(zhì)健康合格情況，決定采用分層抽樣的方法從全校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為400的樣本，其中被抽到的初中學(xué)生人數(shù)為180，那么這所學(xué)校的初中學(xué)生人數(shù)為（）

A.800B.900C.1000D.1100

4.已知在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）

A.3B.4

C.5D.

5.已知平面，，直線，則“”是“”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.設(shè)，為非零向量，且滿足，則（）

A0B.－1C.1D.2

7.在中，，，，則（）

A.B.C.5D.7

8.某校舉辦知識(shí)競賽，將人的成績整理后畫出的頻率分布直方圖如下．則根據(jù)頻率分布直方圖，下列結(jié)論正確的是（）

A.中位數(shù)估計(jì)為B.眾數(shù)估計(jì)為

C.平均數(shù)估計(jì)為D.第百分位數(shù)估計(jì)為

9.已知邊長為的正方形，點(diǎn)是邊上動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（）

A.B.C.D.

10.已知點(diǎn)P在棱長為2的正方體表面運(yùn)動(dòng)，且，則線段AP的長的取值范圍是（）

A.B.C.D.

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.復(fù)數(shù)滿足為純虛數(shù)，則的實(shí)部為___________．

12.對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，，，，，，，則第百分位數(shù)是___________．

13.已知向量，在正方形網(wǎng)格中位置如圖所示，則，的夾角的余弦為___________．

14.一個(gè)鐵制的底面半徑為，側(cè)面積為的實(shí)心圓柱的體積為___________，將這個(gè)實(shí)心圓柱熔化后鑄成一個(gè)實(shí)心球體，則這個(gè)鐵球的半徑為___________．

15.如圖，已知菱形中，，，為邊的中點(diǎn)，將沿翻折成（點(diǎn)位于平面上方），連接和