（滬教版2023必修第二冊(cè)） 9.3實(shí)系數(shù)一元二次方程（教學(xué)課件）(共15張PPT)

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第9章復(fù)數(shù)

9.3實(shí)系數(shù)一元二次方程

在初中課程中已學(xué)過(guò)了實(shí)系數(shù)一元二次方程，它具有標(biāo)準(zhǔn)

形式

９．３實(shí)系數(shù)一元二次方程

我們已經(jīng)知道可用判別式來(lái)判定這個(gè)方程實(shí)根

的存在性．具體地說(shuō)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)考慮：

（１）當(dāng)Δ＞０時(shí)，該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根

（２）當(dāng)Δ＝０時(shí)，該方程有兩個(gè)相等的實(shí)根（二重根）

（３）當(dāng)Δ＜０時(shí)，該方程沒(méi)有實(shí)根

我們現(xiàn)在再來(lái)討論實(shí)系數(shù)一元二次方程的求根問(wèn)題，但將根

的取值范圍從實(shí)數(shù)拓廣到復(fù)數(shù)．也就是說(shuō)，我們不僅要討論實(shí)

根，還要討論虛根．我們要解決的問(wèn)題實(shí)際上有兩個(gè)：

（Ａ）當(dāng)Δ≥０時(shí)，除了已經(jīng)找到的實(shí)根外，方程在復(fù)數(shù)范圍

還有其他的根嗎？

（Ｂ）當(dāng)Δ＜０時(shí)，方程在復(fù)數(shù)范圍有根嗎？怎樣求出它的根？

回答這兩個(gè)問(wèn)題，關(guān)鍵是對(duì)Δ（它是一個(gè)實(shí)數(shù)）在復(fù)數(shù)范圍的

平方根問(wèn)題有個(gè)準(zhǔn)確的把握．

1實(shí)數(shù)的平方根

設(shè)c∈R，并設(shè)是它的一個(gè)平方根，即

將上式左邊展開(kāi)，得到再根

據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，就得到

從第二個(gè)等式可知，a與b中至少有一個(gè)為零．

當(dāng)c≥０時(shí)，必須b＝０，否則a＝０，從而推出，

與假設(shè)矛盾．于是必是c的一個(gè)實(shí)平方根．這說(shuō)明，

除了已知的實(shí)平方根非負(fù)實(shí)數(shù)犮在復(fù)數(shù)范圍沒(méi)有其他

的平方根．

而當(dāng)c＜０時(shí)，必須a＝０，否則b＝０，從而推出

與假設(shè)矛盾．于是，，從而此時(shí)犮的平

方根有兩個(gè)：它們是兩個(gè)共軛的純虛數(shù)．

例１在復(fù)數(shù)范圍求25與－25的平方根．

解因?yàn)?5＞０，它在復(fù)數(shù)范圍的平方根與實(shí)數(shù)范圍的平方

根是一樣的，都是±５；因?yàn)椋玻担迹埃鼪](méi)有實(shí)平方根，而在復(fù)

數(shù)范圍其平方根是

２實(shí)系數(shù)一元二次方程

我們現(xiàn)在在復(fù)數(shù)范圍求解實(shí)系數(shù)一元二次方程

．用配方法，得到

這就是說(shuō)，是實(shí)數(shù)Δ的平方根．由前面關(guān)于實(shí)數(shù)平方根

的討論，就可以回答本節(jié)引言中所提的兩個(gè)問(wèn)題了，其答案是：

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，

（１）當(dāng)Δ＞０時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根

（２）當(dāng)Δ＝０時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根（二重根）

（３）當(dāng)Δ＜０時(shí)，方程有一對(duì)共軛虛根

例２在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程：

解該方程的判別式Δ＝（－４）２－４×２×５＝－２４＜０，所以

此方程有一對(duì)共軛虛根

如果實(shí)系數(shù)一元二次方程有實(shí)根

與，由必修課程第２章已經(jīng)知道這兩個(gè)根與方程的系數(shù)有如

下關(guān)系（韋達(dá)定理）：

實(shí)系數(shù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系在虛根的情況下仍然成

立，這只要直接把根代入驗(yàn)證就可以了．

例３如果p、q都是實(shí)數(shù)，而關(guān)于x的方程

p＝０有一個(gè)根，求p、q的值．

解方程有一個(gè)虛根－２＋３ｉ，則它的另一

個(gè)根必為其共軛復(fù)數(shù)－２－３ｉ．由根與系數(shù)的關(guān)系，有

從而

例４在復(fù)數(shù)范圍將分解因式．

解例２中已經(jīng)求出方程的兩個(gè)根

與所以

課本練習(xí)

練習(xí)９．３

１．已知k是一個(gè)實(shí)常數(shù)，而關(guān)于x的一元二次方程

有兩個(gè)虛根．求k的取值范圍．

２．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程：

３．若和是方程的兩個(gè)根，求

的值．

隨堂檢測(cè)