線性代數(shù)逆矩陣

線性代數(shù)逆矩陣第1頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月則矩陣稱為A的逆矩陣.在數(shù)的運(yùn)算中，當(dāng)數(shù)時(shí)，有其中為a的倒數(shù)，（或稱a的逆）；單位陣E類似于1在數(shù)的乘法運(yùn)算中的地位.那么，對(duì)于矩陣A，如果存在一個(gè)矩陣,使得對(duì)方陣,有AE=EA=A,2第2頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定義例設(shè)設(shè)A是n階方陣，如果存在n階方陣，使得

則稱A為可逆矩陣，而B(niǎo)稱為A的逆矩陣，記為

說(shuō)明(1)只有方陣才可能可逆;(2)逆陣若存在,則必唯一.證設(shè)B和C都是A的可逆矩陣，則3第3頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月問(wèn)題:(1)什么條件下A才可逆?(2)如果可逆,如何求?若A可逆,兩邊取行列式,若則稱A是非奇異的(或非退化的);

否則稱A為奇異的(或退化的)。是A可逆的必要條件.下面說(shuō)明這個(gè)條件也是充分的.4第4頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定義性質(zhì)證明為A的伴隨矩陣.代數(shù)余子式,稱矩陣回憶行列式按行展開(kāi)公式:

5第5頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月類似有,6第6頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月矩陣A是可逆的充分必要條件是A非奇異。當(dāng)A可逆時(shí)，有

定理證充分性:由若則推論證7第7頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月求方陣的逆矩陣.例1逆矩陣的求法解8第8頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月同理可求得對(duì)于3階以上的矩陣，用伴隨矩陣法求逆矩陣很麻煩，以后將給出另一種求法--初等變換法。

9第9頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2故A可逆的充分必要條件是且例如，10第10頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3對(duì)角陣可逆的充分必要條件是且例如，11第11頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例4解(1)方程兩端左乘矩陣12第12頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月13第13頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5解14第14頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例6證15第15頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)證證16第16頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注意A，B可逆，A+B不一定可逆，即使可逆，一般可逆陣A若對(duì)稱(反對(duì)稱)，則也對(duì)稱(反對(duì)稱).對(duì)稱;反對(duì)稱.對(duì)于可逆矩陣而言，矩陣乘法的消去律成立。證17第17頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性方程組

寫成矩陣形式其中此即克萊姆法則。18第18頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例7證所以19第19頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例8證20第20頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例9解21第21頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)：P