第4章-頻域特性分析課件

第四章頻率特性分析時域分析法的缺點：（1）高階系統(tǒng)的分析難以進行；（2）當系統(tǒng)某些元件的傳遞函數(shù)難以列寫時，整個系統(tǒng)的分析工作將無法進行。（3）物理意義欠缺。

§4-0引言*第四章頻率特性分析時域分析法的缺點：§4-0引言*1頻率響應(yīng)法是二十世紀三十年代發(fā)展起來的一種經(jīng)典工程實用方法,是一種利用頻率特性進行控制系統(tǒng)分析的圖解方法,可方便地用于控制工程中的系統(tǒng)分析與設(shè)計。頻率法用于分析和設(shè)計系統(tǒng)有如下優(yōu)點：

（1）不必求解系統(tǒng)的特征根，采用較簡單的圖解方法就可研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于頻率響應(yīng)法主要通過開環(huán)頻率特性的圖形對系統(tǒng)進行分析，因而具有形象直觀和計算量少的特點。（2）系統(tǒng)的頻率特性可用實驗方法測出。頻率特性具有明確的物理意義，它可以用實驗的方法來確定，這對于難以列寫微分方程式的元部件或系統(tǒng)來說，具有重要的實際意義。*頻率響應(yīng)法是二十世紀三十年代發(fā)展起來的一種2（3）可推廣應(yīng)用于某些非線性系統(tǒng)。頻率響應(yīng)法不僅適用于線性定常系統(tǒng)，而且還適用于傳遞函數(shù)中含有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)和部分非線性系統(tǒng)的分析。（4）用頻率法設(shè)計系統(tǒng)，可方便設(shè)計出能有效抑制噪聲的系統(tǒng)。

*（3）可推廣應(yīng)用于某些非線性系統(tǒng)。頻率響應(yīng)法不3機械振動與頻率特性在機械工程中，機械振動與頻率特性有密切的關(guān)系。機械受到一定頻率的作用力時產(chǎn)生強迫振動，由于內(nèi)反饋還會引起自激振動。機械振動學(xué)中的共振頻率、頻譜密度、動剛度、抗振穩(wěn)定性等概念都可歸結(jié)為機械系統(tǒng)在頻率域中表現(xiàn)的特性。頻域法能簡便而清晰地建立這些概念。*機械振動與頻率特性在機械工程中，機械振動與頻率特性有密切的4§4-1頻率特性基本概念一.概念頻率響應(yīng)：系統(tǒng)對正弦信號（或諧波信號）的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。線性定常系統(tǒng)對于正弦信號的響應(yīng)也和其他典型信號響應(yīng)一樣，包含瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，其瞬態(tài)部分不是正弦波形，穩(wěn)態(tài)部分是和輸入正弦信號頻率相同的正弦波形，但是振幅及相位都與輸入量不同。*§4-1頻率特性基本概念一.概念*5例題4－1：機械系統(tǒng)如圖，k為彈簧剛度系數(shù)，單位N∕m，c是阻尼系數(shù)，單位m/s·N，當輸入正弦力f(t)=Fsinωt求其位移x(t)的穩(wěn)態(tài)輸出。式中F是力的振幅，單位N.解：該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為位移輸出x(t)的拉氏變換為f(t)=Fsinωt,T=C/K,時間常數(shù)*例題4－1：f(t)=Fsinωt,T=C/K,時間常數(shù)*6取拉氏反變換加以整理可得到位移輸出x(t)右邊第一項為穩(wěn)態(tài)分量，第二項為瞬態(tài)分量。隨時間t，瞬態(tài)分量衰減為零，所以穩(wěn)態(tài)位移輸出為式中X=A(ω)F為位移的振幅，∞結(jié)論：1）正弦輸入及其穩(wěn)態(tài)輸出是頻率相同的正弦信號。2）位移輸出的幅值X與輸入力的幅值F成比例，比例系數(shù)A(ω)以及輸入輸出間的相位角φ(ω)，兩個量都是頻率ω的函數(shù)，并與系統(tǒng)參數(shù)k、c有關(guān)。*取拉氏反變換加以整理可得到位移輸出x(t)∞結(jié)論：*7顯然，頻率響應(yīng)只是時間響應(yīng)的一個特例。不過當諧波的頻率不同時，上式中的幅值與相位也不同。這恰好提供了有關(guān)系統(tǒng)本身特性的重要信息。從這個意義上說，研究頻率響應(yīng)或者研究下面將要介紹的頻率特性就是在頻域中研究系統(tǒng)的特性。*顯然，頻率響應(yīng)只是時間響應(yīng)的一個特例。不過當諧波的頻率不同時8二、頻率特性及其求法

1.定義：頻率特性就是指線性系統(tǒng)或環(huán)節(jié)在正弦函數(shù)作用下，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之比對頻率的關(guān)系特性。又稱正弦傳遞函數(shù)。頻率特性是個復(fù)數(shù)，可分別用幅值和相角來表示。頻率特性一般可通過以下三種方法得到:(1)根據(jù)已知系統(tǒng)的微分方程或傳遞函數(shù)，把輸入以正弦函數(shù)代入，求其穩(wěn)態(tài)解，取輸出穩(wěn)態(tài)分量和輸入正弦函數(shù)的復(fù)數(shù)之比即得。(2)根據(jù)傳遞函數(shù)來求取。(3)通過實驗測得。*二、頻率特性及其求法1.定義：*9或G(jw)它描述了在穩(wěn)態(tài)情況下，當系統(tǒng)輸入不同頻率的諧波信號時，其幅值的衰減或增大特性。它描述了在穩(wěn)態(tài)情況下，當系統(tǒng)輸入不同頻率的諧波信號時，其相位產(chǎn)生超前[Φ(ω)>0]或滯后[Φ(ω)<0]的特性。規(guī)定按逆時針方向旋轉(zhuǎn)為正值，按順時針方向旋轉(zhuǎn)為負值。對于物理系統(tǒng)，相位一般是滯后的，即一般是負值.幅頻特性與相頻特性一起構(gòu)成系統(tǒng)的頻率特性。

*或G(jw)它描述了在穩(wěn)態(tài)情況下，當系統(tǒng)輸入不同頻率的諧波信10瞬態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)2、頻率特性的求取(1)、定義法：*瞬態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)2、頻率特性的求取(1)、定義法：*11(2).根據(jù)傳遞函數(shù)來求取。*(2).根據(jù)傳遞函數(shù)來求取。*12**13(2).根據(jù)傳遞函數(shù)來求取。

以jw代替s由傳遞函數(shù)得到的頻率特性，對線性定常系統(tǒng)普遍適用。*(2).根據(jù)傳遞函數(shù)來求取。以jw代替s由傳遞函數(shù)得到的14

當實際控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，難以通過解析方法建立其數(shù)學(xué)模型。只有通過試驗方法才能求得頻率特性。具體步驟：1）改變輸入諧波信號的頻率，測出輸出幅值與相移；2）作出幅值比對頻率的函數(shù)曲線，此即幅頻率特性曲線；3）作出相移對頻率的函數(shù)曲線，此即相頻特性曲線。(3)、用試驗方法求取*(3)、用試驗方法求取*15三、頻率特性表示法（頻率特性可用解析式或圖形來表示）

（一）解析表示（頻率特性的矢量圖）頻率特性是一個復(fù)數(shù)，有三種表示：代數(shù)式極坐標式指數(shù)式*三、頻率特性表示法（頻率特性可用解析式或圖形來表示）16（二）系統(tǒng)頻率特性常用的圖解形式1.幅相頻率特性（奈奎斯特圖）在復(fù)平面上，隨ω(0~∞)的變化，向量G(jω)端點的變化曲線（軌跡），稱為系統(tǒng)的幅相頻率特性曲線。得到的圖形稱為系統(tǒng)的奈奎斯特圖或極坐標圖。易知，向量G(

jω)的長度等于A(ω)，即|G(jω)|；由正實軸方向沿逆時針方向繞原點轉(zhuǎn)至向量G(jω)方向的角度等于φ(ω)，即∠G(jω)。

規(guī)定極坐標圖的實軸正方向為相角零度線，逆時針轉(zhuǎn)過的角度為正，順時針轉(zhuǎn)過的角度為負。*（二）系統(tǒng)頻率特性常用的圖解形式1.幅相頻率特性（奈奎斯特17對數(shù)相頻特性記為單位為分貝（dB)對數(shù)幅頻特性記為單位為弧度（rad)

如將系統(tǒng)頻率特性G(j

)的幅值和相角分別繪在半對數(shù)坐標圖上,分別得到對數(shù)幅頻特性曲線（縱軸：對幅值取分貝數(shù)后進行分度；橫軸：對頻率取以10為底的對數(shù)后進行分度:lgw）和相頻特性曲線（縱軸：對相角進行線性分度；橫軸：對頻率取以10為底的對數(shù)后進行分度lgw），合稱為伯德圖(Bode圖)。（二）系統(tǒng)頻率特性常用的圖解形式

2.伯德圖(Bode圖)*對數(shù)相頻特性記為單位為分貝（dB)18（二）系統(tǒng)頻率特性常用的圖解形式3.對數(shù)幅相圖(Nichols圖)以頻率為參變量表示對數(shù)幅值和相角關(guān)系，將Bode圖的兩張圖合二為一。0o180o-180ow0-20dB20dB*（二）系統(tǒng)頻率特性常用的圖解形式0o180o-180ow019四、頻率特性物理意義和數(shù)學(xué)本質(zhì)

G(jω)的物理意義：（P65）

(1)頻率特性表示了系統(tǒng)對不同頻率的正弦信號的“復(fù)觀能力”或“跟蹤能力”。在頻率較低時，輸入信號基本上可以按原比例在輸出端復(fù)現(xiàn)出來，而在頻率較高時，輸入信號就被抑制而不能傳遞出去。對于實際的系統(tǒng)，雖然形式不同，但一般均有“低通”濾波及相位滯后作用。(2)頻率特性隨頻率而變化，是因為系統(tǒng)含有儲能元件。它們在能量交換時，對不同的ω信號使系統(tǒng)顯示出不同的特性。(3)頻率特性反映系統(tǒng)本身的特點，系統(tǒng)元件的參數(shù)給定后，頻率特性就完全確定，系統(tǒng)隨ω變化的規(guī)律也就完全確定。就是說，系統(tǒng)具有什么樣的頻率特性，取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)本身，與外界因素無關(guān)。*四、頻率特性物理意義和數(shù)學(xué)本質(zhì)G(jω)的物理意義：（P20四、頻率特性物理意義和數(shù)學(xué)本質(zhì)G(jω)的數(shù)學(xué)本質(zhì)仍然是表達系統(tǒng)運動關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。從不同的角度來揭示出系統(tǒng)的內(nèi)在運動規(guī)律是統(tǒng)一。*四、頻率特性物理意義和數(shù)學(xué)本質(zhì)G(jω)的數(shù)學(xué)本質(zhì)仍然是表21在經(jīng)典控制理論中，頻率特性分析比時間響應(yīng)分析具有明顯的優(yōu)越性。

頻率特性分析法也有其缺點：由于實際系統(tǒng)往往存在非線性，在機械工程中尤其如此，因此，即使能給出準確的輸入諧波信號，系統(tǒng)的輸出也常常不是一個嚴格的諧波信號，這使得建立在嚴格諧波信號基礎(chǔ)上的頻率特性分析與實際的情況之間有一定的距離，也就是使頻率特性分析產(chǎn)生誤差．另外，頻率特性分析難應(yīng)用于時變系統(tǒng)和多輸入—多輸出系統(tǒng)，對系統(tǒng)的在線識別也可說是相當困難的；當然，為克服此困難，目前這方面研究是很有進展。*在經(jīng)典控制理論中，頻率特性分析比時間響應(yīng)分析具有明22【例1】某單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)=1/(s+1),試求輸入信號r(t)=2sin2t時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出?

因=2,則(j2)=0.35-45o則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出為：Xo(t)=0.35*2sin(2t-45o)=0.7sin(2t-45o)解:首先求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)(s)，令s=j得*【例1】某單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H23**24§4-2典型環(huán)節(jié)的幅相頻率特性*§4-2典型環(huán)節(jié)的幅相頻率特性*251.比例環(huán)節(jié):G(s)=K*1.比例環(huán)節(jié):G(s)=K*262.積分環(huán)節(jié):G(s)=1/s*2.積分環(huán)節(jié):G(s)=1/s*273.微分環(huán)節(jié):G(s)=s*3.微分環(huán)節(jié):G(s)=s*284.慣性環(huán)節(jié):G(s)=1/(Ts+1)*4.慣性環(huán)節(jié):G(s)=1/(Ts+1)*295.一階微分環(huán)節(jié):G(s)=Ts+1*5.一階微分環(huán)節(jié):G(s)=Ts+1*306、振蕩環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)：

頻率特性： 實頻特性：

虛頻特性：

*6、振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)： 頻率特性： 實頻特性： 31

振蕩環(huán)節(jié)的Nyquist圖

=0時

=

n時

=

時幅頻特性： 相頻特性： *振蕩環(huán)節(jié)的Nyquist圖=0時=n32NyquistDiagram

=0

=

=0.1

=0.2

=0.5

=1

=0.7ReIm-3-2-10123-6-5-4-3-2-10

=0.3

=

n*NyquistDiagram=0==0.1=3300.20.40.60.811.21.41.61.8201234

=0.05

=0.15

=0.20

=0.25

=0.30

=0.40

=0.50

=0.707

=1.00

/

nA(

)

諧振現(xiàn)象幅頻特性： *00.20.40.60.811.21.41.61.8201234由振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性曲線可見，當

較小時，在

=

n附近，A(

)出現(xiàn)峰值，即發(fā)生諧振。諧振峰值Mr對應(yīng)的頻率

r稱為諧振頻率。由于：A(

)出現(xiàn)峰值相當于其分母：取得極小值。*由振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性曲線可見，當較小時，在=n附35令：解得：即諧振頻率：顯然

r應(yīng)大于0，由此可得振蕩環(huán)節(jié)出現(xiàn)諧振的條件為：諧振峰值：00.10.20.30.40.50.60.70.80.910123456789100102030405060708090100

Mr(dB)Mp(％)MrMp*令：解得：即諧振頻率：顯然r應(yīng)大于0，由此可得振367.二階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：

相頻特性：

實頻特性：虛頻特性：*7.二階微分環(huán)節(jié)*37二階微分環(huán)節(jié)的Nyquist圖ω=0時A(ω)=A(0)=1φ(ω)=

φ(0)=0。ω=時A(ω)=2ξφ(ω)＝90。ω=∞時A(ω)=∞

φ(ω)＝180。*二階微分環(huán)節(jié)的Nyquist圖*38**398.延遲環(huán)節(jié)01

=0ReIm

NyquistDiagram*8.延遲環(huán)節(jié)01=0ReImNyquistDiag40**41**42**43例：*例：*44由以上各例可知，系統(tǒng)的頻率特性為：當G(s)包含有振蕩環(huán)節(jié)時，不改變上述結(jié)論。*由以上各例可知，系統(tǒng)的頻率特性為：當G(s)包含有振蕩環(huán)節(jié)時45§4-3典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性:伯德圖(Bode圖)幅相頻率特性的優(yōu)點：在一張圖上把頻率ω由0到無窮大區(qū)間內(nèi)各個頻率的幅值和相位都表示出來。

缺點：在幅相頻率特性圖上，很難看出系統(tǒng)是由哪些環(huán)節(jié)組成的，并且繪圖較麻煩。

對數(shù)頻率特性(Bode圖)能避免上述缺點，因而在工程上得到廣泛的應(yīng)用。

幅值相乘、相除，變?yōu)橄嗉?，相減，簡化作圖；

對數(shù)坐標拓寬了圖形所能表示的頻率范圍；

兩個系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù)時，其對數(shù)幅頻特性曲線關(guān)于零分貝線對稱，相頻特性曲線關(guān)于零度線對稱；

可以利用漸近直線繪制近似的對數(shù)幅頻特性曲線；

將實驗獲得的頻率特性數(shù)據(jù)繪制成對數(shù)頻率特性曲線，可以方便地確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；*§4-3典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性:伯德圖(Bode圖)46**47

幾點說明

在對數(shù)頻率特性圖中，由于橫坐標采用對數(shù)分度，因此

=0不可能在橫坐標上表示出來，橫坐標上表示的最低頻率由所感興趣的頻率范圍確定；

此外，橫坐標一般只標注

的自然數(shù)值；

在對數(shù)頻率特性圖中，角頻率

變化的倍數(shù)往往比其變化的數(shù)值更有意義。為此通常采用頻率比的概念：頻率變化十倍的區(qū)間稱為一個十倍頻程，記為decade或簡寫為

dec；頻率變化兩倍的區(qū)間稱為一個二倍頻程，記為octave或簡寫為oct。它們也用作頻率變化的單位。可以注意到，頻率變化10倍，在對數(shù)坐標上是等距的，等于一個單位。

*幾點說明在對數(shù)頻率特性圖中，由于橫坐標采用對數(shù)分度，因48比例環(huán)節(jié)(K)幅值等于(*比例環(huán)節(jié)(K)幅值等于(*492.積分環(huán)節(jié)(G(s)=1/s)*2.積分環(huán)節(jié)(G(s)=1/s)*503.微分環(huán)節(jié)(G(s)=s)*3.微分環(huán)節(jié)(G(s)=s)*514.慣性環(huán)節(jié)(G(s)=1/(Ts+1))

低頻段(

<<1/T)即低頻段可近似為0dB的水平線，稱為低頻漸近線。對數(shù)相頻特性：

(

)=-arctgT

對數(shù)幅頻特性：

高頻段(

>>1/T)即高頻段可近似為斜率為-20dB/dec的直線，稱為高頻漸近線。*4.慣性環(huán)節(jié)(G(s)=1/(Ts+1))低頻段(52

轉(zhuǎn)折頻率（

＝

1/T)低頻漸近線和高頻漸近線的相交處的頻率點

＝

1/T，稱為轉(zhuǎn)折頻率（截止頻率）。*轉(zhuǎn)折頻率（＝1/T)低頻漸近線和高頻漸近線的相交53在轉(zhuǎn)折頻率處，L(

)

-3dB，

(

)＝-45

。慣性環(huán)節(jié)具有低通濾波特性。漸近線誤差-4-3-2-100.1110

T轉(zhuǎn)折頻率慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性漸近線誤差曲線轉(zhuǎn)角頻率處：低于漸近線3dB低于或高于轉(zhuǎn)角頻率一倍頻程處：低于漸近線1dB*在轉(zhuǎn)折頻率處，L()-3dB，()＝-45。慣54**555.一階微分環(huán)節(jié)G(s)=Ts+1*5.一階微分環(huán)節(jié)G(s)=Ts+1*56010203090°45°0°1/TL(

)/(dB)

(

)

(rad/sec)0.1/T10/T轉(zhuǎn)折頻率實際幅頻特性漸近線20dB/dec*010203090°45°0°1/TL()/(dB)576.振蕩環(huán)節(jié)*6.振蕩環(huán)節(jié)*58**59振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性的誤差修正曲線*振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性的誤差修正曲線*60由圖可見，當ξ較小時，由于在ω=ωn

附近存在諧振，幅頻特性漸近線與實際特性存在較大的誤差，ξ越小，誤差越大。當0.38<ξ<0.7時，誤差不超過3dB。因此，在此ξ范圍內(nèi)，可直接使用漸近對數(shù)幅頻特性，而在此范圍之外，應(yīng)使用準確的對數(shù)幅頻曲線。準確的對數(shù)幅頻曲線可在漸近線的基礎(chǔ)上，通過誤差曲線修正而獲得或直接計算。*由圖可見，當ξ較小時，由于在ω=ωn附近存在諧振，幅頻特61振蕩環(huán)節(jié)精確的*振蕩環(huán)節(jié)精確的*627.二階微分*7.二階微分*638.滯后(延時)環(huán)節(jié)*8.滯后(延時)環(huán)節(jié)*64典型環(huán)節(jié)的Bode圖*典型環(huán)節(jié)的Bode圖*65典型環(huán)節(jié)的Bode圖*典型環(huán)節(jié)的Bode圖*66**67典型環(huán)節(jié)的Bode圖*典型環(huán)節(jié)的Bode圖*68典型環(huán)節(jié)Bode圖比較：關(guān)于對數(shù)幅頻特性(注意橫坐標):積分環(huán)節(jié)為過點(1,0)、斜率為-20dB/dec的直線；微分環(huán)節(jié)為過點(1,0)、斜率為20dB/dec的直線；慣性環(huán)節(jié)的低頻漸近線為0dB，高頻漸近線為始于點(ωT，0)、斜率為-20dB/dec的直線；導(dǎo)前環(huán)節(jié)的低頻漸近線為0dB線，高頻漸近線為始于點(ωT，0)、斜率為20dB/dec的直線；振蕩環(huán)節(jié)的低頻漸近線為0dB線，高頻漸近線為始于點(1，0)、斜率為-40dB/dec的直線；二階微分環(huán)節(jié)的低頻漸近線為0dB線，高頻漸近線為始于點(1，0)、斜率為40dB/dec的直線．關(guān)于對數(shù)相頻特性(ωT為相應(yīng)環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率)：積分環(huán)節(jié)為過-900的水平線;微分環(huán)節(jié)為過900的水平線；慣性環(huán)節(jié)為在0～-900范圍內(nèi)變化的對稱于點(ωT,-450)的曲線；導(dǎo)前環(huán)節(jié)為在0～900范圍內(nèi)變化的對稱于點(ωT,450)的曲線；振蕩環(huán)節(jié)為在0～-1800范圍內(nèi)變化的對稱于點(1,-900)的曲線；二階微分環(huán)節(jié)為在0～1800范圍內(nèi)變化的對稱于點(1,900)的曲線。*典型環(huán)節(jié)Bode圖比較：關(guān)于對數(shù)幅頻特性(注意橫坐標):關(guān)69一、系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性§4-3系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性(Bode圖)的繪制系統(tǒng)開環(huán)傳函由多個典型環(huán)節(jié)相串聯(lián)：那麼，系統(tǒng)對數(shù)幅頻和對數(shù)相頻特性曲線為：*一、系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性§4-3系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性(B70系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅值等于各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅值之和；相位等于各環(huán)節(jié)的相位之和。因此，開環(huán)對數(shù)幅值曲線及相位曲線分別由各串聯(lián)環(huán)節(jié)對數(shù)幅值曲線和相位曲線疊加而成。典型環(huán)節(jié)的對數(shù)漸近幅頻對數(shù)曲線為不同斜率的直線或折線，故疊加后的開環(huán)漸近幅頻特性曲線仍為不同斜率的線段組成的折線。

因此，需要首先確定低頻起始段的斜率和位置，然后確定線段轉(zhuǎn)折頻率（交接頻率）以及轉(zhuǎn)折后線段斜率的變化，那么，就可繪制出由低頻到高頻的開環(huán)對數(shù)漸近幅頻特性曲線。*系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅值等于各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅值之和；相位等71控制系統(tǒng)一般由多個環(huán)節(jié)組成，在繪制系統(tǒng)Bode圖時，應(yīng)先將系統(tǒng)傳遞函數(shù)分解為典型環(huán)節(jié)乘積的形式，再逐步繪制。二、系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻特性曲線的繪制將系統(tǒng)開環(huán)頻率特性改寫為各個典型環(huán)節(jié)的乘積形式后,確定各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率,并將轉(zhuǎn)折頻率由低到高依次標注到半對數(shù)坐標紙上（不妨設(shè)為：w1、w2、w3、w4……）*控制系統(tǒng)一般由多個環(huán)節(jié)組成，在繪制系統(tǒng)Bod72（一般步驟）*（一般步驟）*73**74Bode圖11/T11/T220lgKdB

0dB0o-90o-45o45o*Bode圖11/T11/T220lgKdB0dB0o-90750.12040-2030100-10-20-40202110-20-60-402）確定各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，作出各環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性的漸進線。*0.12040-2030100-10-20-40202110760.12101100*0.12101100*77

例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下：試繪制系統(tǒng)的開環(huán)Bode圖。解：易知系統(tǒng)開環(huán)包括了五個典型環(huán)節(jié)：*例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下：試繪制系統(tǒng)的開環(huán)Bode圖。78轉(zhuǎn)折頻率：

2=2rad/s轉(zhuǎn)折頻率：

4=0.5rad/s轉(zhuǎn)折頻率：

5=10rad/s*轉(zhuǎn)折頻率：2=2rad/s轉(zhuǎn)折頻率：4=0.5rad79開環(huán)對數(shù)幅頻及相頻特性為：*開環(huán)對數(shù)幅頻及相頻特性為：*80BodeDiagram-60-40-20020400.1-270-180-900901100

(

)/(deg)L(

)/(dB)

(rad/sec)L1L2L3L4L5L(

)

(

)

1

2

3

4

5-20dB/dec-40-20-60

2

4

5=10*BodeDiagram-60-40-20020400.1-812.順序頻率法Bode圖繪制步驟將開環(huán)傳遞函數(shù)表示為典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)：確定各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率：并由小到大標示在對數(shù)頻率軸上。計算20lgK，在

＝1rad/s處找到縱坐標等于

20lgK的點，過該點作斜率等于-20vdB/dec

的直線，向左延長此線至所有環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率之左，得到最低頻段的漸近線。*2.順序頻率法Bode圖繪制步驟將開環(huán)傳遞函數(shù)表示為典82向右延長最低頻段漸近線，每遇到一個轉(zhuǎn)折頻率改變一次漸近線斜率。對漸近線進行修正以獲得準確的幅頻特性。相頻特性曲線由各環(huán)節(jié)的相頻特性相加獲得。

Bode圖繪制步驟*向右延長最低頻段漸近線，每遇到一個轉(zhuǎn)折對漸近線進行修正以83**84總結(jié)：Bode圖特點最低頻段的斜率取決于積分環(huán)節(jié)的數(shù)目v，斜率為－20vdB/dec。注意到最低頻段的對數(shù)幅頻特性可近似為：當

＝1rad/s時，L(

)=20lgK，即最低頻段的對數(shù)幅頻特性或其延長線在

＝1rad/s時的數(shù)值等于20lgK。*總結(jié)：Bode圖特點最低頻段的斜率取決于積分環(huán)節(jié)的數(shù)目v，85如果各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性用漸近線表示，則對數(shù)幅頻特性為一系列折線，折線的轉(zhuǎn)折點為各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。對數(shù)幅頻特性的漸近線每經(jīng)過一個轉(zhuǎn)折點，其斜率相應(yīng)發(fā)生變化，斜率變化量由當前轉(zhuǎn)折頻率對應(yīng)的環(huán)節(jié)決定。對慣性環(huán)節(jié)，斜率下降20dB/dec；振蕩環(huán)節(jié)，下降40dB/dec；一階微分環(huán)節(jié)，上升20dB/dec；二階微分環(huán)節(jié)，上升40dB/dec。*如果各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性用漸近線表示，對數(shù)幅頻特性的漸近86說明：對數(shù)曲線求斜率ωL(ω)dB0dBabLaLbωaωb斜率=對邊斜邊=La-Lbωa-ωb×lgωa-lgωb2023/8/10說明：對數(shù)曲線求斜率ωL(ω)dB0dBabLaLbωaωb87三、最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)

極點和零點全部位于S左半平面系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。反之，稱為非最小相位系統(tǒng)。非最小相位一般由兩種情況產(chǎn)生:系統(tǒng)內(nèi)包含有非最小相位元件(如延遲因子);內(nèi)環(huán)不穩(wěn)定。

最小相位系統(tǒng)的幅值特性和相角特性有一一單值對應(yīng)關(guān)系(Bode定理)。故用Bode分析最小相位系統(tǒng)時，常只畫對數(shù)幅頻曲線即可。*三、最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)極點和零點全部位于S88**89四、閉環(huán)頻率特性設(shè)系統(tǒng)的前向和反饋傳遞函數(shù)分別為G(S)和H(S)，則系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性為:上式還可表示成:GB(jw)的幅值和相位可分別表示成:*四、閉環(huán)頻率特性設(shè)系統(tǒng)的前向和反饋傳遞函數(shù)分別為G(S)和H90§4-4頻域性能指標與時域性能指標間的關(guān)系如圖所示，在頻域分析時要用到的一些有關(guān)頻率的特征量或頻域性能指標有：：截止頻率：諧振頻率：諧振峰值：零頻幅值：復(fù)現(xiàn)頻率A(0)Amax*§4-4頻域性能指標與時域性能指標間的關(guān)系如圖所示，在頻域91wA(w)A(0)0.707A(0)0wMwrwbGKXiXo+-對于單位負反饋系統(tǒng)，若A(0)=1，說明系統(tǒng)輸出對輸入的跟隨性好。1、零頻幅值A(chǔ)(0).2023/8/10wA(w)A(0)0.707A(0)0wMwrwbGKXiX923、諧振頻率wr；相對諧振峰值Mr使幅頻特性曲線出現(xiàn)峰值的頻率稱為諧振頻率。諧振峰值A(chǔ)max與A(0)的比值，稱為相對諧振峰值Mr=Amax/A(0)wA(w)A(0)0.707A(0)0wMwrwb2023/8/103、諧振頻率wr；相對諧振峰值Mr使幅頻特性曲線出現(xiàn)峰值的頻93wA(w)A(0)0.707A(0)0wbwXi(w)wb系統(tǒng)G(jw)wXo(w)wb1系統(tǒng)的截止帶寬或帶寬表示超過此頻率后，輸出就急劇衰減，跟不上輸入，形成系統(tǒng)響應(yīng)的截止狀態(tài)。對于隨動系統(tǒng)，系統(tǒng)的帶寬表征系統(tǒng)允許工作的最高頻率范圍，若此帶寬大，則系統(tǒng)的動態(tài)性能好。對于低通濾波器，希望帶寬要小，即只允許頻率較低的輸入信號通過系統(tǒng)，而頻率稍高的輸入信號均被濾掉。對系統(tǒng)響應(yīng)的快速性而言，帶寬越大，響應(yīng)的快速性越好，即過渡過程的上升時間越小。

2023/8/10wA(w)A(0)0.707A(0)0wbwXi(w)wb系94

1．零頻值M(0)：它表示頻率接近于零時，系統(tǒng)輸出的幅值與輸入的幅值之比，在頻率極低時，對單位反饋系統(tǒng)而言，若輸出幅值能完全準確地反映輸入幅值，則M(0)=1,M(0)越接近于1，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差越小。：截止頻率：諧振頻率：諧振峰值：零頻幅值：復(fù)現(xiàn)頻率2．復(fù)現(xiàn)頻率與復(fù)現(xiàn)帶寬0--ωM:若事先規(guī)定一個Δ作為反映低頻輸入信號的允許誤差，那么，ωM就是幅頻特性值與M(0)的差第一次達到Δ時的頻率值，稱為復(fù)現(xiàn)頻率。當頻率超過ωM

，輸出就不能“復(fù)現(xiàn)”輸入，所以，0--ωM表征復(fù)現(xiàn)低頻輸入信號的帶寬，稱為復(fù)現(xiàn)帶寬。3．諧振頻率ωr及相對諧振峰值Mr：在M(0)=l時，Mr與Mmax一在數(shù)值上相同(為最大幅值)．一般在二階系統(tǒng)中，希望選取Mr<1.4，因為這時階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量Mp<25％，系統(tǒng)能有較滿意的過渡過程。這兩個指標反映瞬態(tài)響應(yīng)的速度和相對穩(wěn)定性。4.截止頻率ωb和截止帶寬0-ωb:

一般規(guī)定由M(0)下降3dB時的頻率，亦即M(jω)由M(0)下降到0.707M(0)時的頻率稱為系統(tǒng)的截止頻率．因為，對單位反饋系統(tǒng)，M(0)＝1時，有20lg0.707=－3dB。

頻率0--ωb稱為系統(tǒng)的截止帶寬或帶寬。它表示超過此頻率后，輸出就急劇衰減，跟不上輸入，形成系統(tǒng)響應(yīng)的截止狀態(tài)。對于隨動系統(tǒng)，系統(tǒng)的帶寬表征系統(tǒng)允許工作的最高頻率范圍，若此帶寬大，則系統(tǒng)的動態(tài)性能好。對于低通濾波器，希望帶寬要小，即只允許頻率較低的輸入信號通過系統(tǒng)，而頻率稍高的輸入信號均被濾掉。對系統(tǒng)響應(yīng)的快速性而言，帶寬越大，響應(yīng)的快速性越好，即過渡過程的上升時間越小。

*1．零頻值M(0)：它表示頻率接近于零時，系統(tǒng)輸出的幅值與95一.系統(tǒng)的頻域指標*一.系統(tǒng)的頻域指標*96**97對于二階系統(tǒng)

系統(tǒng)的諧振頻率為

諧振峰值為

系統(tǒng)的頻寬為*對于二階系統(tǒng)系統(tǒng)的諧振頻率為諧振峰值為系統(tǒng)的頻寬為*98二、一階、二階系統(tǒng)閉環(huán)頻率指標與時域指標1、一階系統(tǒng)R(s)C(s)_閉環(huán)頻域指標：閉環(huán)階躍響應(yīng)時域指標：*二、一階、二階系統(tǒng)閉環(huán)頻率指標與時域指標1、一階系統(tǒng)R(s)992、二階系統(tǒng)R(s)C(s)_*2、二階系統(tǒng)R(s)C(s)_*100閉環(huán)頻域指標：閉環(huán)階躍響應(yīng)時域指標：*閉環(huán)頻域指標：閉環(huán)階躍響應(yīng)時域指標：*101因此，若知道頻域指標中的任兩個，就可解算出，從而求出時域指標。反之，給出時域指標的任兩個，就可確定閉環(huán)頻域指標。在學(xué)習(xí)系統(tǒng)頻域性能指標時，要充分注意到時域性能指標和頻域性能指標一樣，從不同的側(cè)面描述了系統(tǒng)的動態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性，要注意兩類性能指標之間的聯(lián)系。

*因此，若知道頻域指標中的任兩個，就可解算出102ξ4.5由Bode圖確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由Bode圖確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)，與繪制系統(tǒng)Bode圖相反。即由實驗測得的Bode圖，經(jīng)過分析和測算，確定系統(tǒng)所包含的各個典型環(huán)節(jié)，從而建立起被測系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。信號源對象記錄儀【Asinwt

由頻率特性測試儀記錄的數(shù)據(jù),可以繪制最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性,對該頻率特性進行處理，即可確定系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線。1、頻率響應(yīng)實驗

*ξ4.5由Bode圖確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)信號源對象記錄儀【A1032、傳遞函數(shù)確定（1）對實驗測得的系統(tǒng)對數(shù)幅頻曲線進行分段處理。即用斜率為

20dB/dec整數(shù)倍的直線段來近似測量到的曲線。（2）當某

處系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性漸近線的斜率發(fā)生變化時，此

即為某個環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。①當斜率變化+20dB/dec時,可知

處有一個一階微分環(huán)節(jié)Ts+1;②若斜率變化+40dB/dec時，則

處有一個二階微分環(huán)節(jié)(s2/

2n+2

s/

n+1)或一個二重一階微分環(huán)節(jié)(Ts+1)2；③若斜率變化-20dB/dec時,則

處有一個慣性環(huán)節(jié)1/(Ts+1);④若斜率變化-40dB/dec時，則

處有一個二階振蕩環(huán)節(jié)1/(s2/

2n+2

s/

n+1)或一個二重慣性環(huán)節(jié)1/(Ts+1)2；。

*2、傳遞函數(shù)確定（1）對實驗測得的系統(tǒng)對數(shù)幅頻曲線進行分段104（3）系統(tǒng)最低頻率段的斜率由開環(huán)積分環(huán)節(jié)個數(shù)決定。低頻段斜率為--20

dB/dec,則系統(tǒng)開環(huán)傳遞有

個積分環(huán)節(jié)，系統(tǒng)為

型系統(tǒng)。（4）開環(huán)增益K的確定：(P75/P93，圖4-19/圖5-23,5-25)①由

=1作垂線，此線與低頻段(或其延長線)交點的分貝值=20lgK(dB),由此求處K值。②低頻段斜率為-20dB/dec時,此線(或其延長線)與0dB線交點處的

值等于開環(huán)增益K值。③當?shù)皖l段斜率為-40dB/dec時,此線(或其延長)與0dB線交點處的

值即等于K1/2。④其他幾種常見情況如下表所示。*（3）系統(tǒng)最低頻率段的斜率由開環(huán)積分環(huán)節(jié)個數(shù)決定。低頻段斜率105a、b、cdefgh幾種常見系統(tǒng)Bode圖的K值

*a、b、cdefgh幾種常見系統(tǒng)Bode圖的K值*106幾種常見系統(tǒng)Bode圖的K值

*幾種常見系統(tǒng)Bode圖的K值*107

對應(yīng)最小相位系統(tǒng)，根據(jù)開環(huán)頻率特性L(ω)能唯一確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。[例1]①寫傳遞函數(shù)②求時間常數(shù)③求k∴k=82023/8/10對應(yīng)最小相位系統(tǒng)，根據(jù)開環(huán)頻率特性L(ω)能唯一108例2

已知L(w)曲線，求G(s)。解求K=？2023/8/10例2已知L(w)曲線，求G(s)。解求K=？2023109例3

已知L(w)曲線，求G(s)，畫出j(w)和G(jw)。解（1）求K=？（2）疊加作圖得j(w)（3）G(jw)曲線如圖2023/8/10例3已知L(w)曲線，求G(s)，畫出j(w)110[例4]①傳遞函數(shù)②時間常數(shù)③求k2023/8/10[例4]①傳遞函數(shù)②時間常數(shù)③求k2023/8/2111例5最小相位系統(tǒng)對數(shù)幅頻漸近特性如圖所示。試確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)。

解由圖知此為分段線性曲線,在各交接頻率處,漸近特性斜率發(fā)生變化,由斜率的變化情況可確定各轉(zhuǎn)折頻率處的典型環(huán)節(jié)類型。

=0.1處,斜率變化+20dB/dec,為一階微分環(huán)節(jié);

1處,斜率變化-20dB/dec,為慣性環(huán)節(jié);

2處,斜率變化-20dB/dec,為慣性環(huán)節(jié);

3處,斜率變化-2