函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)

1.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)

1.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性有什么關(guān)系？

復(fù)習(xí)提問

設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果在這個區(qū)間內(nèi)y′>0，那么y=f(x)為這個區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)；如果在這個區(qū)間內(nèi)y′<0，那么y=f(x)為這個區(qū)間內(nèi)的減函數(shù).

2.用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟是什么？

（1）求函數(shù)的定義域.（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′(x).（3）求解不等式f′(x)>0，求得其解集，再根據(jù)解集寫出單調(diào)遞增區(qū)間.求解不等式f′

(x)<0，求得其解集，再根據(jù)解集寫出單調(diào)遞減區(qū)間.注：單調(diào)區(qū)間不以“并集”出現(xiàn).1、什么是極小值，什么是極大值？各有什么特點？（1）極小值點與極小值如圖，函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值_____，且______；而且在點x＝a的左側(cè)_________，右側(cè)________，則把點a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．f′(x)<0f′(x)>0xyoaby=f(x)<0>0f’(a)=0都小f′(a)＝0（2）極大值點與極大值如圖，函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值____，且_______；而且在點x＝b的左側(cè)________，右側(cè)________，則把點b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．_________、_________統(tǒng)稱為極值點，_______和_______統(tǒng)稱為極值．f′(x)>0f′(x)<0極大值點極小值點極大值極小值<0>0xyoaby=f(x)f’(b)=0都大f′(b)＝0展、評、檢：yabx1x2x3x4Ox2、（1）函數(shù)的極大值一定大于極小值嗎？（2）函數(shù)的極大值和極小值是惟一的嗎？（3）區(qū)間的端點能成為極值點嗎？

（3）極大值與極小值沒有必然關(guān)系，極大值可能比極小值還小.

注意：oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1))y=f(x)Q(x2,f(x2))（1）極值是某一點附近的小區(qū)間而言的,是函數(shù)的局部性質(zhì),不是整體的最值;（2）函數(shù)的極值不一定唯一,在整個定義區(qū)間內(nèi)可能有多個極大值和極小值；（4）極值點一定在區(qū)間的內(nèi)部，端點不可能成為極值點.3、導(dǎo)數(shù)為0的點一定是極值點嗎？oxyy=x3，令，則，而不是該函數(shù)的極值點.結(jié)論：若是極值，則；.反之，若，則不一定是極值.

1.函數(shù)的定義域為開區(qū)間導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有（）個極小值點。A.1

B.2

C.3

D.4Af

(x)<0f

(x)>0f

(x)=0注意：數(shù)形結(jié)合以及原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖像的區(qū)別隨堂練習(xí)

2.如圖是函數(shù)y=f(x)

的圖象,試找出函數(shù)y=f(x)

的極值點,并指出哪些是極大值點,哪些是極小值點？abxyx1Ox2x3x4x5x6

解：（1）f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.當(dāng)x變化時，f′(x)與f(x)的變化情況如下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)單調(diào)遞增10單調(diào)遞減－22單調(diào)遞增因此，當(dāng)x＝－1時函數(shù)取得極大值，且極大值為f(－1)＝10；當(dāng)x＝3時函數(shù)取得極小值，且極小值為f(3)＝－22.夯實基礎(chǔ)：例1、求函數(shù)的極值.

求函數(shù)極值（極大值，極小值）的一般步驟：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求方程的根；（3）用方程的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個開區(qū)間，并列成表格；（4）由在方程的根左右的符號，來判斷

在這個根處取極值的情況.若左正右負(fù)，則為極大值；若左負(fù)右正，則為極小值.

求導(dǎo)求導(dǎo)數(shù)值為0的點列表求極值定義域當(dāng)堂演練：1、求函數(shù)的極值.

解：函數(shù)的定義域為，由

解方程，得，

當(dāng)x變化時，f′(x)與f(x)的變化情況如下表：

x(0,e)e(e，＋∞)f′(x)+0-f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞減所以，為函數(shù)的極大值點，極大值為2、已知在與時都取得極值.

（1）求的值；（2）求的極值.

x1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以，函數(shù)的極大值為；極小值為.

3．已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋3ax＋1在區(qū)間(－