關(guān)于極限乘子m的解析解

關(guān)于極限乘子m的解析解

1上限法和下限法極端分析是塑料薄膜機(jī)械中最重要的方法之一。極限分析原理雖然是基于剛塑性模型和正交流動(dòng)法則而建立起來的，但極限乘子對(duì)于彈塑性模型也是一個(gè)重要的尺度。如Johnson一般情況下，即使是采用數(shù)值方法也很難求得令人滿意的極限乘子。因此，通常都是通過上限法和下限法來求得一個(gè)較好的機(jī)動(dòng)乘子m眾所周知三個(gè)乘子之間有不等式關(guān)系：對(duì)于下限法，若設(shè)定的靜力許可應(yīng)力場s恰好就是真實(shí)的應(yīng)力場s式中S表示所有的靜力許可應(yīng)力場。然而對(duì)于上限法，如果所構(gòu)造的機(jī)動(dòng)場v恰好是真實(shí)的機(jī)動(dòng)場v式中V表示所有的機(jī)動(dòng)場。顯然。這個(gè)問題具有理論和實(shí)際兩方面的意義。本文通過一個(gè)簡單算例說明，即使對(duì)于非常規(guī)則的問題，一般情況下我們也不能指望通過上限法取得精確的極限乘子。2材料強(qiáng)度參數(shù)的確定首先讓我們考慮一無限長厚壁圓筒。假設(shè)施加于內(nèi)外表面的邊界條件為軸對(duì)稱且不隨軸向z變化，則其應(yīng)力解σ采用與Mises屈服準(zhǔn)則相關(guān)聯(lián)的正交法則式中利用式（4），我們可以得到以下關(guān)系：代入屈服準(zhǔn)則式中k為材料的強(qiáng)度參數(shù)。由式（7),(8）可知，僅有三個(gè)獨(dú)立的且不依賴于θ和z的應(yīng)力分量σ式中φ為應(yīng)力函數(shù)。式中3受內(nèi)部剪力q假設(shè)在圖1所示的厚壁圓筒的內(nèi)表面作用有均勻分布的剪力q，外表面被固定。這一問題或許可作為某些過盈配合工件的簡化模型。我們將尋求對(duì)應(yīng)于q的極限乘子m4厚壁比對(duì)的極限載荷令m式中a為內(nèi)半徑。由式（11）我們有：由式（13），常數(shù)A為處在塑性區(qū)內(nèi)的應(yīng)力應(yīng)滿足式（9），將式（11）及式（14）代入式（9）得由式（15）可得由以上分析，可知：由此可見，不同于受均布內(nèi)壓作用的厚壁圓筒，該例的極限載荷與圓筒的尺寸無關(guān)。順便指出，對(duì)應(yīng)于5應(yīng)變率張量e任意機(jī)動(dòng)許可場v都要求滿足體積應(yīng)變率為零，即外表面上的速率邊界條件為將式（4）代入式（19）并利用式（20），得v相應(yīng)地，應(yīng)變率張量e也僅有分量e由機(jī)動(dòng)乘子的定義，可得式中Dδeδ為塑性耗散功率，取決于應(yīng)變率張量e。對(duì)于Mises材料式（22）的分子為從而由以上討論可知，無論我們?nèi)∈裁礃拥臋C(jī)動(dòng)許可場v，都無法使其機(jī)動(dòng)乘子m6上限法的限制雖然上限法因比下限法易于實(shí)現(xiàn)而得到更廣泛的應(yīng)用，但是一般情況下，我們不能再指望通過上限法得到精確的極限乘子。這也從一個(gè)側(cè)面說明了下限法可以更精確地逼近極限乘子。為了得到較好的極限乘子，可以通過將有限元技術(shù)、數(shù)學(xué)規(guī)劃方