【解析】2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)九年級上冊 24.7 向量的線性運算 同步分層訓(xùn)練培優(yōu)卷(滬教版五四制)

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2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)九年級上冊24.7向量的線性運算同步分層訓(xùn)練培優(yōu)卷(滬教版五四制)

一、選擇題

1．（2023·順義模擬）規(guī)定：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如果點P的坐標(biāo)為（m，n），向量可以用點P的坐標(biāo)表示為：＝（m，n）．已知＝（x1，y1），＝（x2，y2），如果x1x2+y1y2＝0，那么與互相垂直．下列四組向量中，互相垂直的是（）

A．，B．，

C．,D．，

【答案】B

【知識點】平面向量及其表示；向量的線性運算

【解析】【解答】解：A：4×（-3）+（-3）×4=-24≠0，不垂直，故不符合題意；

B：（-2）×3+3×2=0，垂直，故符合題意；

C：×（）+1×1＝-2≠0，不垂直，故不符合題意；

D：，不垂直，故不符合題意；

故答案為：B．

【分析】根據(jù)平面向量垂直的判定方法，一一判斷即可．

2．（2023九上·閔行期末）已知：點C在線段AB上，且AC=2BC，那么下列等式一定正確的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知識點】向量的線性運算

【解析】【解答】解：

∵AC＝2BC，

∴BC＝AB，AC＝AB，

∴，

∴，選項A不符合題意；

，選項B不符合題意；

，選項C一定符合題意；

．選項D不符合題意；

ABD等式不成成立,選項C等式符合題意.

故答案為：C．

【分析】由AC＝2BC，可得BC＝AB，AC＝AB，據(jù)此逐一分析判斷即可.

3．（2023八下·徐匯期末）如果點C是線段AB的中點，那么下列結(jié)論中正確的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知識點】向量的線性運算

【解析】【解答】解：由題意得：||=||，且它們的方向相反，

∴有，

故答案為：C．

【分析】根據(jù)平面向量運算的性質(zhì)即可得出正確答案。

4．（2023九上·浦東期中）在梯形ABCD中，AD∥BC，點E，F(xiàn)分別是邊AB，CD的中點，AD=BC，=，那么等于（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】梯形中位線定理；向量的線性運算

【解析】【解答】解：∵AD∥BC，點E、F分別是邊AB、CD的中點，

∴EF=（AD+BC），

∵AD=BC，

∴EF=BC，

∵，

∴．

故選C．

【分析】首先根據(jù)梯形的中位線的性質(zhì)，求得EF=BC，又由，即可求得的值．

5．如圖，在△ABC中，D是邊BC的中點，=，=，那么等于（）

A．-B．-C．-D．-

【答案】D

【知識點】向量的減法法則；向量的線性運算

【解析】【解答】解：因為D是邊BC的中點，

所以所以

因為所以

故選D．

【分析】由D是邊BC的中點與=，即可求得的值，又由，即可求得答案．

6．已知M是△ABC內(nèi)的一點，且=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為，x，y，則+的最小值是（）

A．20B．18C．16D．9

【答案】B

【知識點】實數(shù)與向量相乘的運算律；向量的線性運算

【解析】【解答】解：∵=bccos∠BAC=2，∠BAC=30°，

∴bc=2，

∴bc=4，

∴S△ABC=x+y+=bcsin∠BAC=1，

∴x+y=，

∴+=2（+）×（x+y）

=．

故選B．

【分析】利用向量的數(shù)量積的運算求得bc的值，利用三角形的面積公式求得x+y的值，進而把+轉(zhuǎn)化為2（+）×（x+y），利用基本不等式求得+的最小值．

7．已知=3﹣，=+，那么﹣4等于（）

A．2-B．4-C．2-D．4-

【答案】A

【知識點】實數(shù)與向量相乘運算法則；向量的線性運算

【解析】【解答】解：∵=3﹣，=+，

∴﹣4

=

故選A．

【分析】首先將=3﹣，=+代入﹣4，再利用平面向量的運算法則進行求解即可求得答案．

8．在△ABC中，AB=2，AC=3，=1，則BC=（）

A．B．C．2D．

【答案】A

【知識點】向量的線性運算

【解析】【解答】解：設(shè)＜，＞=θ，θ+B=，||=a，

∵AB=2，=1，

∴2acosθ=-2acosB=1，

∵AC=3，

由余弦定理可得：9=4+a2-4acoB，

∴a2=3，

∴a=，

∴BC=．

故選A．

【分析】利用向量的數(shù)量積，余弦定理，即可求得BC的值．

二、填空題

9．（2023·崇明模擬）已知梯形中，，，設(shè)，，那么可用、表示為．

【答案】/

【知識點】向量的線性運算

【解析】【解答】如圖，過點D作DE//AB，交BC于點E，

∵AD//BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BE=AD，DE=AB，

∵，，，

∴，

∴，

故答案為：.

【分析】利用向量的線性運算的計算方法求解即可。

10．（2023·閔行模擬）如圖，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，如果，，那么=（用，表示）．

【答案】

【知識點】向量的線性運算

【解析】【解答】∵梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，=，∴=2=2，∵，∴=+=2+．故答案為：2+．

【分析】利用向量的線性運算的計算方法求解即可。

11．（2023·楊浦模擬）在中，點D是的中點，，，那么．（用、表示）．

【答案】

【知識點】向量的線性運算

【解析】【解答】解：在中，

∵，，

∴．

∵點D是的中點，

∴．

∴．

故答案為：．

【分析】利用向量的線段運算的計算方法求解即可。

12．（2023·徐匯模擬）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位線，AH∥CD分別交EF、BC于點G、H，若＝，＝，則用、表示＝．

【答案】.

【知識點】向量的線性運算

【解析】【解答】∵在梯形ABCD中，AD∥BC，則AD∥HC，AH∥CD，

∴四邊形AHCD是平行四邊形．

∴AD＝HC．

又EF是梯形ABCD的中位線，

∴EF＝，且GF＝AD．

∴EG＝EF﹣GF＝﹣AD＝．

∵＝，＝，

∴＝.

故答案是：.

【分析】根據(jù)平行四邊形判定定理，兩組對邊分別平行得四邊形AHCD是平行四邊形。故AD=GF。根據(jù)梯形中位線定理得EF=，然后進行平面相量的基本加減運算。

三、解答題

13．（2023九上·金山期末）如圖，已知平行四邊形ABCD，點M、N分別是邊DC、BC的中點，設(shè)，，求向量關(guān)于、的分解式．

【答案】解：連接BD,

∵點M、N分別是邊DC、BC的中點，∴MN是△BCD的中位線，

∴MN∥BD，MN=BD，

∵，

∴

【知識點】向量的線性運算

【解析】【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，又由點M、N是邊DC、BC的中點，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，即可求得向量MN；

四、作圖題

14．（2023九上·普陀期中）如圖，已知向量、，求作向量，滿足．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫出結(jié)論）

【答案】解：∵，

∴，

∴

如圖：

，

∴

∴

則即為所求．

【知識點】向量的加法運算律；向量的線性運算

【解析】【分析】先求出，再求出，最后計算求解即可。

五、綜合題

15．（2023·奉賢模擬）如圖，在中，點D在邊上，，E是的中點．

（1）求證：；

（2）設(shè)，，用向量、表示向量．

【答案】（1）證明：∵E是的中點，

∴，

∴，

又，

∴，

∴

（2）解：∵，，

∴，

∵

∴，

∴，

∴

【知識點】相似三角形的判定與性質(zhì)；平面向量及其表示；向量的線性運算

【解析】【分析】（1）先證出，再利用相似三角形的性質(zhì)可得；

（2）根據(jù)，可得，再利用向量的線性運算可得。

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2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)九年級上冊24.7向量的線性運算同步分層訓(xùn)練培優(yōu)卷(滬教版五四制)

一、選擇題

1．（2023·順義模擬）規(guī)定：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如果點P的坐標(biāo)為（m，n），向量可以用點P的坐標(biāo)表示為：＝（m，n）．已知＝（x1，y1），＝（x2，y2），如果x1x2+y1y2＝0，那么與互相垂直．下列四組向量中，互相垂直的是（）

A．，B．，

C．,D．，

2．（2023九上·閔行期末）已知：點C在線段AB上，且AC=2BC，那么下列等式一定正確的是（）

A．B．

C．D．

3．（2023八下·徐匯期末）如果點C是線段AB的中點，那么下列結(jié)論中正確的是（）

A．B．

C．D．

4．（2023九上·浦東期中）在梯形ABCD中，AD∥BC，點E，F(xiàn)分別是邊AB，CD的中點，AD=BC，=，那么等于（）

A．B．C．D．

5．如圖，在△ABC中，D是邊BC的中點，=，=，那么等于（）

A．-B．-C．-D．-

6．已知M是△ABC內(nèi)的一點，且=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為，x，y，則+的最小值是（）

A．20B．18C．16D．9

7．已知=3﹣，=+，那么﹣4等于（）

A．2-B．4-C．2-D．4-

8．在△ABC中，AB=2，AC=3，=1，則BC=（）

A．B．C．2D．

二、填空題

9．（2023·崇明模擬）已知梯形中，，，設(shè)，，那么可用、表示為．

10．（2023·閔行模擬）如圖，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，如果，，那么=（用，表示）．

11．（2023·楊浦模擬）在中，點D是的中點，，，那么．（用、表示）．

12．（2023·徐匯模擬）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位線，AH∥CD分別交EF、BC于點G、H，若＝，＝，則用、表示＝．

三、解答題

13．（2023九上·金山期末）如圖，已知平行四邊形ABCD，點M、N分別是邊DC、BC的中點，設(shè)，，求向量關(guān)于、的分解式．

四、作圖題

14．（2023九上·普陀期中）如圖，已知向量、，求作向量，滿足．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫出結(jié)論）

五、綜合題

15．（2023·奉賢模擬）如圖，在中，點D在邊上，，E是的中點．

（1）求證：；

（2）設(shè)，，用向量、表示向量．

答案解析部分

1．【答案】B

【知識點】平面向量及其表示；向量的線性運算

【解析】【解答】解：A：4×（-3）+（-3）×4=-24≠0，不垂直，故不符合題意；

B：（-2）×3+3×2=0，垂直，故符合題意；

C：×（）+1×1＝-2≠0，不垂直，故不符合題意；

D：，不垂直，故不符合題意；

故答案為：B．

【分析】根據(jù)平面向量垂直的判定方法，一一判斷即可．

2．【答案】C

【知識點】向量的線性運算

【解析】【解答】解：

∵AC＝2BC，

∴BC＝AB，AC＝AB，

∴，

∴，選項A不符合題意；

，選項B不符合題意；

，選項C一定符合題意；

．選項D不符合題意；

ABD等式不成成立,選項C等式符合題意.

故答案為：C．

【分析】由AC＝2BC，可得BC＝AB，AC＝AB，據(jù)此逐一分析判斷即可.

3．【答案】C

【知識點】向量的線性運算

【解析】【解答】解：由題意得：||=||，且它們的方向相反，

∴有，

故答案為：C．

【分析】根據(jù)平面向量運算的性質(zhì)即可得出正確答案。

4．【答案】C

【知識點】梯形中位線定理；向量的線性運算

【解析】【解答】解：∵AD∥BC，點E、F分別是邊AB、CD的中點，

∴EF=（AD+BC），

∵AD=BC，

∴EF=BC，

∵，

∴．

故選C．

【分析】首先根據(jù)梯形的中位線的性質(zhì)，求得EF=BC，又由，即可求得的值．

5．【答案】D

【知識點】向量的減法法則；向量的線性運算

【解析】【解答】解：因為D是邊BC的中點，

所以所以

因為所以

故選D．

【分析】由D是邊BC的中點與=，即可求得的值，又由，即可求得答案．

6．【答案】B

【知識點】實數(shù)與向量相乘的運算律；向量的線性運算

【解析】【解答】解：∵=bccos∠BAC=2，∠BAC=30°，

∴bc=2，

∴bc=4，

∴S△ABC=x+y+=bcsin∠BAC=1，

∴x+y=，

∴+=2（+）×（x+y）

=．

故選B．

【分析】利用向量的數(shù)量積的運算求得bc的值，利用三角形的面積公式求得x+y的值，進而把+轉(zhuǎn)化為2（+）×（x+y），利用基本不等式求得+的最小值．

7．【答案】A

【知識點】實數(shù)與向量相乘運算法則；向量的線性運算

【解析】【解答】解：∵=3﹣，=+，

∴﹣4

=

故選A．

【分析】首先將=3﹣，=+代入﹣4，再利用平面向量的運算法則進行求解即可求得答案．

8．【答案】A

【知識點】向量的線性運算

【解析】【解答】解：設(shè)＜，＞=θ，θ+B=，||=a，

∵AB=2，=1，

∴2acosθ=-2acosB=1，

∵AC=3，

由余弦定理可得：9=4+a2-4acoB，

∴a2=3，

∴a=，

∴BC=．

故選A．

【分析】利用向量的數(shù)量積，余弦定理，即可求得BC的值．

9．【答案】/

【知識點】向量的線性運算

【解析】【解答】如圖，過點D作DE//AB，交BC于點E，

∵AD//BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BE=AD，DE=AB，

∵，，，

∴，

∴，

故答案為：.

【分析】利用向量的線性運算的計算方法求解即可。

10．【答案】

【知識點】向量的線性運算

【解析】【解答】∵梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，=，∴=2=2，∵，∴=+=2+．故答案為：2+．

【分析】利用向量的線性運算的計算方法求解即可。

11．【答案】

【知識點】向量的線性運算

【解析】【解答】解：在中，

∵，，

∴．

∵點D是的中點，

∴．

∴．

故答案為：．

【分析