魯教版七上數(shù)學(xué)第一章三角形

1/3第一章三角形【知識(shí)要點(diǎn)】知識(shí)點(diǎn)一三角形的概念1.三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾依次相接所組成的圖形叫做三角形。2.三角形的表示：用符號(hào)“”表示，頂點(diǎn)是A、B、C的三角形記作“ABC”，讀作“三角形ABC”。3.三角形的分類：1）三角形按邊分類：三角形三邊都不相等的三角形2）三角形按角分類：三角形直角三角形4.等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角。5.等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形（特殊的等腰三角形）。6.三角形三邊的關(guān)系：1）三角形的任意兩邊之和大于第三邊。2）三角形的任意兩邊之差小于第三邊。幾何描述：記三角形三邊長(zhǎng)分別是a，b，c，則a＋b＞c或c－b＜a。3）判斷三條線段能否組成三角形，只需判斷上述兩個(gè)條件滿足其一即可?！窘忸}技巧】已知三角形兩邊的長(zhǎng)度分別為a，b，求第三邊長(zhǎng)度的范圍：|a－b|＜c＜a＋b7.三角形的穩(wěn)定性:三角形三條邊的長(zhǎng)度確定之后，三角形的形狀就唯一確定了?！咀⒁馐马?xiàng)】1）三角形具有穩(wěn)定性;2）四邊形及多邊形不具有穩(wěn)定性;3）要使多邊形具有穩(wěn)定性，方法是將多邊形分成多個(gè)三角形，這樣多邊形就具有穩(wěn)定性了?？疾轭}型一三角形的三邊關(guān)系【解題思路】任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，求出a的取值范圍即可得解．典例1．（2021·四川宜賓·中考真題）若長(zhǎng)度分別是a、3、5的三條線段能組成一個(gè)三角形，則a的值可以是（）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【詳解】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得，即，則選項(xiàng)中4符合題意，故選：C．【名師點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握相關(guān)不等關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．變式1-1．（2021·湖南婁底·中考真題）是某三角形三邊的長(zhǎng)，則等于（）A． B． C．10 D．4變式1-2．（2020·貴州黔南·中考真題）已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)等于4，一邊長(zhǎng)等于9，則它的周長(zhǎng)為（）A．9 B．17或22 C．17 D．22變式1-3．（2020·江蘇宿遷·中考真題）在△ABC中，AB=1，BC=，下列選項(xiàng)中，可以作為AC長(zhǎng)度的是（）A．2 B．4 C．5 D．6知識(shí)點(diǎn)二與三角形有關(guān)的線段1.三角形的高概念：從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線。2.常見(jiàn)三角形（△ABC）的高：3.三角形的中線概念：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。4.三角形的重心：三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心，重心一定在三角形內(nèi)。【推論】1）S?ABD2）三角形任意一邊的中線把三角形分割成的兩個(gè)小三角形周長(zhǎng)的差C?ACD5.三角形的角平分線概念：三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線。注意：三角形的角平分線、三角形的高、中線是一條線段，角的平分線是一條射線?？疾轭}型二三角形的角平分線典例2．（2020·四川巴中·中考真題）如圖，在中，，AD平分，，，，則AC的長(zhǎng)為（）A．9 B．8 C．6 D．7【答案】B【提示】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得到，然后由可知，從而得到，所以是等邊三角形，由，即可得出答案．【詳解】解：∵，AD平分，∴，∵，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴故選：B．【名師點(diǎn)撥】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)綜合題．變式2-1．（2021·陜西灞橋·一模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的高，BE是AC邊的中線，CF是∠ACB的角平分線，CF交AD于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)H，下面說(shuō)法正確的是（）①△ABE的面積＝△BCE的面積；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③變式2-2．（2021·遼寧鞍山·二模）在平行四邊形中，的角平分線與邊所在直線交于點(diǎn)，若，，則平行四邊形的周長(zhǎng)為（）A．22 B．16 C．22或18 D．24或16變式2-3．（2021·湖南·常德市模擬）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，CD，則BD的長(zhǎng)是（）A．2 B．2 C．3 D．3知識(shí)點(diǎn)三全等三角形及其性質(zhì)1.全等圖形概念：能完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等圖形。2.全等圖形的性質(zhì)：①形狀相同。②大小相等。③對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等。④周長(zhǎng)、面積相等。3.全等三角形概念：能完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形?！狙a(bǔ)充】?jī)蓚€(gè)三角形全等，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。4.表示方法：全等用符號(hào)“≌”，讀作“全等于”。書寫三角形全等時(shí)，要注意對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)字母要寫在對(duì)應(yīng)位置上。5.全等變換定義：只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小的變換。變換方式（常見(jiàn)）：平移、翻折、旋轉(zhuǎn)。全等三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等?？疾轭}型三全等三角形的性質(zhì)典例3．（2020·山東淄博·中考真題）如圖，若△ABC≌△ADE，則下列結(jié)論中一定成立的是（）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED【答案】B【詳解】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式3-1．（2021·山東淄博·一模）已知圖中的兩個(gè)三角形全等，則∠α等于（）A．50° B．60° C．70° D．80°變式3-2．（2021·浙江婺城·二模）三個(gè)全等三角形按如圖的形式擺放，則∠1+∠2+∠3的度數(shù)是（）A． B． C． D．變式3-3．（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABD≌△CDB，且AB，CD是對(duì)應(yīng)邊．下面四個(gè)結(jié)論中不正確的是（）A．∠A+∠ABD=∠C+∠CBD B．△ABD和△CDB的周長(zhǎng)相等C．△ABD和△CDB的面積相等 D．AD∥BC，且AD=BC知識(shí)點(diǎn)四全等三角形的判定（重點(diǎn)）一般三角形直角三角形判定邊角邊（SAS）、角邊角（ASA）角角邊（AAS）、邊邊邊（SSS）具備一般三角形的判定方法斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等（HL）性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等、周長(zhǎng)、面積相等對(duì)應(yīng)中線相等，對(duì)應(yīng)高相等，對(duì)應(yīng)角平分線相等【備注】判定兩個(gè)三角形全等必須有一組邊對(duì)應(yīng)相等。2.證題的思路（重點(diǎn)）：考查題型四證明三角形全等（一）利用SSS證明三角形全等典例4．（2021·江蘇鹽城·中考真題）工人師傅常常利用角尺構(gòu)造全等三角形的方法來(lái)平分一個(gè)角．如圖，在的兩邊、上分別在取，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點(diǎn)、重合，這時(shí)過(guò)角尺頂點(diǎn)的射線就是的平分線．這里構(gòu)造全等三角形的依據(jù)是（）A． B． C． D．【答案】D【提示】根據(jù)全等三角形的判定條件判斷即可．【詳解】解：由題意可知在中∴(SSS)∴∴就是的平分線故選：D【名師點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)、角平分線的判定、熟練掌握全等三角形的判定是關(guān)鍵．變式4-1．（2021·臺(tái)灣·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形ABCD、中，A點(diǎn)在BE上若矩形ABCD的面積為20，的面積為24，則的面積為何？（）A．10 B．12 C．14 D．16變式4-2．（2021·山西陽(yáng)泉·一模）如圖①，已知，用尺規(guī)作它的角平分線．如圖②，步驟如下：第一步：以B為圓心，以a為半徑畫弧，分別交射線，于點(diǎn)D，E；第二步：分別以D，E為圓心，以b為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)部交于點(diǎn)P；第三步；畫射線，射線即為所求．下列敘述不正確的是（）A． B．作圖的原理是構(gòu)造三角形全等C．由第二步可知， D．的長(zhǎng)變式4-3．（2021·廣東坪山·二模）按以下步驟進(jìn)行尺規(guī)作圖：（1）以點(diǎn)О為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交的兩邊OA、OB于D、E兩點(diǎn)；（2）分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C；（3）作射線OC，并連接CD、CE．下列結(jié)論不正確的是（）A．OC垂直平分DE B．C． D．（二）利用SAS證明三角形全等典例5．如圖，與交于點(diǎn)與交于點(diǎn)．求證：．【分析】由“”可證，可得，由“”可證，可得．【詳解】證明：在和中，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．變式5-1．（2020·湖南永州·中考真題）如圖，已知．能直接判斷的方法是（）A． B． C． D．變式5-2．如圖，A、D、F、B在同一直線上，AD=BF，AE=BC，且AE∥BC．求證：△AEF≌△BCD．變式5-3．如圖，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．求證：△ABD≌△ACE．（三）利用ASA證明三角形全等典例6．如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，，，，交于O，求證：．【分析】由平行線的性質(zhì)得出證出，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，證明，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，；∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．變式6-1．如圖，已知AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2，求證：△AEC≌△ADE．.\變式6-2．如圖，∠A=∠B，AE=BE，點(diǎn)D在AC邊上，∠1=∠2，AE和BD相交于點(diǎn)O．求證：△AEC≌△BED；（四）利用AAS證明三角形全等典例7．已知：如圖，，，點(diǎn)、在上，．求證：．【分析】首先根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得出，再根據(jù)，即可證明．【詳解】證明：∵，∴，∵點(diǎn)、在上，，又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定、平行線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理．變式7-1．如圖，是上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，若，，則的長(zhǎng)是()A．0.5 B．1 C．1.5 D．2變式7-2．10.如圖，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，求證：△ABD≌△ACE.變式7-3.已知：如圖所示，△ABC中，∠ABC=45°，高AE與高BD交于點(diǎn)M，BE=4，EM=3．（1）求證：BM=AC；（2）求△ABC的面積．知識(shí)點(diǎn)五利用尺規(guī)作圖1、尺規(guī)作圖的定義：尺規(guī)作圖是指用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)作圖。最基本,最常用的尺規(guī)作圖,通常稱基本作圖。一些復(fù)雜的尺規(guī)作圖都是由基本作圖組成的。2、作一條線段等于已知線段。已知：如圖，線段a.求作：線段AB，使AB=a.作法：作射線AP；在射線AP上截取AB=a.則線段AB就是所求作的圖形。3、作一個(gè)角等于已知角。已知：如圖，∠AOB。求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB作法：（1）作射線O’A’；（2）以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)度為半徑畫弧，交OA于M，交OB于N；（3）以O(shè)’為圓心，以O(shè)M的長(zhǎng)為半徑畫弧，交O’A’于M’；（4）以M’為圓心，以MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，交前弧于N’；（5）連接O’N’并延長(zhǎng)到B’。則∠A’O’B’就是所求作的角。典例8．已知：，求作：，使．要求：用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，保留作圖痕跡，不寫作圖過(guò)程．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的作圖方法作圖即可．【詳解】解：如圖，即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了作一個(gè)角等于已知角，掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵．變式8-1．已知：兩邊及其夾角，線段a，c，．求作：，使，，（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）．變式8-2．題目：尺規(guī)作圖：作一個(gè)角等于已知角．如圖①，已知：∠AOB．求作：∠，使∠=∠AOB．作法：（1）如圖②，以點(diǎn)①為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交0A、OB于點(diǎn)C、D；（2）作射線，以點(diǎn)為圓心，②____長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)；（3）以點(diǎn)為圓心，③_______長(zhǎng)為半徑畫弧，與第(2)步中所畫的弧相交于點(diǎn)；（4）經(jīng)過(guò)點(diǎn)畫射線，則∠=∠AOB．連接CD、．根據(jù)以上作法證得△≌△COD（④填理論依據(jù))．根據(jù)以上作圖和求證過(guò)程完成以上填空：②③④知識(shí)點(diǎn)六利用三角形全等測(cè)距離1.當(dāng)兩點(diǎn)之間可以直接到達(dá)時(shí)，可以直接測(cè)量出兩點(diǎn)之間的距離；當(dāng)兩點(diǎn)之間不能直接到達(dá)時(shí)，可以構(gòu)造全等三角形，將不能到達(dá)的兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化到能夠到達(dá)的兩點(diǎn)來(lái)進(jìn)行測(cè)量．2.通過(guò)構(gòu)造全等三角形來(lái)進(jìn)行測(cè)量有以下幾種方法：構(gòu)造兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)全等三角形；構(gòu)造兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)全等三角形；構(gòu)造三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)全等三角形.典例9.小強(qiáng)為了測(cè)量一幢高樓高AB，在旗桿CD與樓之間選定一點(diǎn)P.測(cè)得旗桿頂C視線PC與地面夾角∠DPC＝36°，測(cè)樓頂A視線PA與地面夾角∠APB＝54°，量得P到樓底距離PB與旗桿高度相等，等于10米，量得旗桿與樓之間距離為DB＝36米，小強(qiáng)計(jì)算出了樓高，樓高AB是多少米？解析：根據(jù)題意可得△CPD≌△PAB(ASA)，進(jìn)而利用AB＝DP＝DB－PB求出即可．解：∵∠CPD＝36°，∠APB＝54°，∠CDP＝∠ABP＝90°，∴∠DCP＝∠APB＝54°.在△CPD和△PAB中，∵∠CDP＝∠ABP，DC＝PB，∠DCP＝∠APB，∴△CPD≌△PAB(ASA)，∴DP＝AB.∵DB＝36米，PB＝10米，∴AB＝36－10＝26(米)．答：樓高AB是26米．方法總結(jié)：在現(xiàn)實(shí)生活中會(huì)遇到一些難以直接測(cè)量的距離問(wèn)題，可以利用三角形全等將這些距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到測(cè)量目的．變式9-1要測(cè)量圓形工件的外徑，工人師傅設(shè)計(jì)了如圖所示的卡鉗，點(diǎn)O為卡鉗兩柄交點(diǎn)，且有OA＝OB＝OC＝OD，如果圓形工件恰好通過(guò)卡鉗AB，則此工件的外徑必是CD的長(zhǎng)，其中的依據(jù)是全等三角形的判定條件()A．SSSB．SASC．ASAD．AAS【易錯(cuò)經(jīng)典練習(xí)題】選擇題1．若三角形的兩個(gè)內(nèi)角的和是85°，那么這個(gè)三角形是()A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．不能確定2．如圖，AE⊥BC于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，CD⊥AB于點(diǎn)D，則△ABC中AC邊上的高是線段()A．AE B．CD C．BF D．AF3．如圖，△ABC≌△EDF，AF＝20，EC＝8，則AE等于()A．6 B．8 C．10 D．124．下列各條件中，能作出唯一的△ABC的是()A．AB＝4，BC＝5，AC＝10B．AB＝5，BC＝4，∠A＝30°C．∠A＝90°，AB＝10D．∠A＝60°，∠B＝50°，AB＝55．如圖，AB∥ED，CD＝BF，若要說(shuō)明△ABC≌△EDF，則還需要補(bǔ)充的條件可以是()A．AC＝EF B．AB＝ED C．∠B＝∠ED．不用補(bǔ)充6．如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線分別為BE，CD，BE與CD相交于點(diǎn)F，∠A＝60°，則∠BFC等于()A．118° B．119° C．120° D．121°7．如果某三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和7，第三邊的長(zhǎng)為偶數(shù)，那么這個(gè)三角形的周長(zhǎng)可以是()A．14 B．17 C．22 D．268．如圖，下列四個(gè)條件：①BC＝B′C；②AC＝A′C；③∠A′CA＝∠B′CB；④AB＝A′B′.從中任取三個(gè)為條件，余下的一個(gè)為結(jié)論，則最多可以構(gòu)成正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2 C．3 D．49．如圖，在△ABC中，E是BC上的一點(diǎn)，EC＝2BE，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，設(shè)△ABC，△ADF，△BEF的面積分別為S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝12，則S△ADF－S△BEF等于()A．1 B．2 C．3 D．410．如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的點(diǎn)P1，把△ABC分成3個(gè)互不重疊的小三角形；△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的點(diǎn)P1，P2，把△ABC分成5個(gè)互不重疊的小三角形；△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的點(diǎn)P1，P2，P3，把△ABC分成7個(gè)互不重疊的小三角形；△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的點(diǎn)P1，P2，P3，…，Pn，把△ABC分成()個(gè)互不重疊的小三角形．A．2n B．2n＋1 C．2n－1D．2(n＋1)二、填空題(每題3分，共24分)11．一個(gè)三角形的其中兩個(gè)內(nèi)角為88°，32°，則這個(gè)三角形的第三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為_(kāi)_______．12．要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A，B間的距離(AB垂直于河岸BF)，先在BF上取兩點(diǎn)C，D，使CD＝CB，再作出BF的垂線DE，且使A，C，E三點(diǎn)在同一條直線上，如圖，可以得到△EDC≌△ABC，所以ED＝AB.因此測(cè)得ED的長(zhǎng)就是AB的長(zhǎng)．判定△EDC≌△ABC的理由是____________．13．如圖，E點(diǎn)為△ABC的邊AC的中點(diǎn)，∥AB，若MB＝6cm，＝4cm，則AB＝________．14．用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，如圖所示，則要說(shuō)明∠A′O′B′＝