選修4-1幾何證明選講

選修4-1

幾何證明選講第一講相似三角形的判定和有關(guān)性質(zhì)若直線l1∥l2∥l3

，AC∥A1C1

，AB=BC.那么A1B1與B1C1

是否相等呢？ABCA1B1C1l2l1l3觀察與思考ABCA1B1C1l1l3l2如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等.一、平行線等分線段定理ABCA1B1C1l2l1l3圖1圖2ABCA1B1C1l1l3l2？？AEBCF推論1經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線，必平分第三邊。符號(hào)語(yǔ)言：∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB∴AF=FC推論2經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰。？？ABCDEF符號(hào)語(yǔ)言：∵在梯形ABCD中，AD∥EF∥BC，AE=EB∴DF=FCADBCE例1:D、E分別是△ABC中AB邊和AC邊的中點(diǎn).求證:DE//BC且FE′作DE//BCE

與E重合作DF//ACBF=FC=DE二、平行線分線段成比例定理除此之外，還有其它對(duì)應(yīng)線段成比例嗎？ABCDEFl1l2l3ll

?反比合比合比反比合比平行線等分線段成比例定理三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.l2l3l1l3ll

推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.ABCDEl2ABCDEl1ll

平行線分線段成比例定理與平行線等分線段定理有何聯(lián)系？ABCDEFABCDEF結(jié)論：后者是前者的一種特殊情況！例2：如圖,△ABC中,DE//BC,DF//AC,AE=4,EC=2,BC=8.求BF和CF的長(zhǎng).FACB分析:運(yùn)用平行線分線段成比例定理的推論分別列出比例式求解.解∵DE//BC∵DF//ACDE例3：如圖,△ABC中,DE//BC,EF//CD.

求證:AD是AB和AF的比例中項(xiàng).FEBACD分析:分別在△ABC及△ADC中利用平行線分線段成比例定理的推論證明∴AD2=AB

AF,即AD是AB和AF的比例中項(xiàng)例4：用平行于三角形一邊且和其他兩邊相交的直線截三角形,所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例.FEBACD已知:如圖,DE//BC,DE分別交AB、AC于點(diǎn)D、EDE//BCEF//ABDE=BF如圖,直線l1,l2被三個(gè)平行平面

,,所截,直線l1與它們的交點(diǎn)分別為A,B,C,直線l2分別為D,E,F探究：三相似三角形的判定及性質(zhì)1.相似三角形的定義對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比值叫做相似比(或相似的系數(shù)).BACA

C

B

判定兩個(gè)三角形相似的簡(jiǎn)單方法(1)兩角對(duì)應(yīng)相等,兩三角形相似;(2)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似;(3)三邊對(duì)應(yīng)成比例,兩三角形相似.BACA

C

B

如何

證明？EBACD∠A=∠A△ADE∽△ABCDE//BC∠ADE=∠B∠AED=∠C在△ABC中，D、E分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DE∥BC，則在△ABC中有：∠EAD=∠CAB∠ADE=∠ABC∠AED=∠ACBEF//DBED//BCFBDE為

ED=FBAECBDF作EF//DB交CB延長(zhǎng)線于F△ADE∽△ABC預(yù)備定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.AECBDEBACD判定定理1對(duì)于任意兩個(gè)三角形,如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似.簡(jiǎn)述:兩角對(duì)應(yīng)相等,兩三角形相似CBA已知,如圖,在△ABC和△A

B

C

中,∠A=∠A,

∠B=∠B,求證:△ABC∽△A

B

C

A

B

C

DE證明:在△ABC的邊AB(或AB的延長(zhǎng)線)上,截取AD=A’B’,過點(diǎn)D作DE//BC,交AC于點(diǎn)E.由預(yù)備定理得:△ADE∽△ABC∵∠ADE=∠B,∠B=∠B

∴∠ADE=∠B∵∠A=∠A,AD=A

B

∴△ADE≌△A

B

C

∴△A

B

C∽△ABCA

B

C

CBADE判定定理2對(duì)于任意兩個(gè)三角形,如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例,并且夾角相等,那么這兩個(gè)三角形相似.簡(jiǎn)述:兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似A

B

C

CBADE已知:如圖,在△ABC和△A

B

C

中,∠A=∠A,求證:△ABC∽△A

B

C

△ADE≌△A

B

C

?DE//BC△ABC∽△ADECBADE已知:如圖△ABC中,點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且求證：DE//BCE

證明:

作DE//BC,交AC于E∴AE=AE

因此E與點(diǎn)E

重合即DE

與DE重合,所以DE//BC采用了“同一法”的間接證明引理

如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊.當(dāng)一個(gè)命題的條件和結(jié)論所指的概念唯一存在時(shí)，若直接證明有困難，就不妨改為去證它的逆否命題，然后根據(jù)唯一性的原理斷言命題為真，這種解題方法叫做同一法

用同一法解題一般有三個(gè)步驟：①先作出一個(gè)符合結(jié)論的圖形，然后推證出所作的圖形符合已知條件；②根據(jù)唯一性，證明所作出的圖形與已知的圖形是全等的或重合的；

③從而說(shuō)明已知圖形符合結(jié)論．例如圖,在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)D,連接AD和BD.點(diǎn)E在△ABC外,∠EBC=∠ABD,∠ECB=∠DAB.求證:△DBE∽△ABC.BACDE分析:好容易得出∠ABC=∠DBE只需要再證明即證只要證明△ABD∽△CBE判定定理3對(duì)于任意兩個(gè)三角形,如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)三角形相似.簡(jiǎn)述:三邊對(duì)應(yīng)成比例,兩三角形相似A

B

C

CBA已知:如圖,在△ABC和△A

B

C

中求證:△ABC∽△A’B’C’證明:

在△ABC的邊AB(或延長(zhǎng)線)上截取AD=A

B,過點(diǎn)D作DE//BC,交AC于點(diǎn)E.DE△ADE∽△ABC∵

AD=A

B

∴△ADE≌△A

B

C

∴△ABC∽△A

B

C

例如圖,已知D、E、F分別是△ABC三邊、BC、CA、AB的中點(diǎn).求證：△DEF∽△ABCFDEBAC證明:∵線段EF、FD、DE都是△ABC的中位線∴△DEF∽△ABC直角三角形相似的判定定理如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)直角三角形相似.(1)如果兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等,那么它們相似;(2)如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例,那么它們相似.(1)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比；(2)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；(3)相似三角形面積的比等于相似比的平方；2.相似三角形的性質(zhì)

已知:梯形ABCD中AD∥BC,AD=36cm,BC=60cm,延長(zhǎng)兩腰BA,CD交于點(diǎn)O,OF⊥BC,交AD于E,EF=32cm,則OF=_______.ABCDEFOF80cm問題1、兩個(gè)相似三角形的外接圓的直徑比、周長(zhǎng)比、面積比與相似比有什么關(guān)系？OABCD問題2、兩個(gè)相似三角形的內(nèi)切圓的直徑比、周長(zhǎng)比、面積比與相似比有什么關(guān)系？結(jié)論：1．相似三角形外接圓的直徑比、周長(zhǎng)比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方．2．相似三角形內(nèi)切圓的直徑比、周長(zhǎng)比等于相似比，內(nèi)切圓的面積比等于相似比的平方．四直角三角形的射影定理1.射影點(diǎn)在直線上的正射影從一點(diǎn)向一直線所引垂線的垂足，叫做這個(gè)點(diǎn)在這條直線上的正射影。一條線段在直線上的正射影線段的兩個(gè)端點(diǎn)在這條直線上的正射影間的線段。A′AANMNMABA′B′點(diǎn)和線段的正射影簡(jiǎn)稱射影探究：△ABC是直角三角形，CD為斜邊AB上的高。你能從射影的角度來(lái)考察AC與AD，BC與BD等的關(guān)系。你能發(fā)現(xiàn)這些線段之間的某些關(guān)系嗎？ABDC∽∽∽射影定理直角三角形斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的比例中項(xiàng)。ABDC用勾股定理能證明嗎?∵AB2=AC2+BC2∴(AD+BD)2=AC2+BC2即2AD·BD=AC2-AD2+BC2-BD2∵AC2-AD2=CD2，BC2-BD2=CD2∴2AD·BD=2CD2∴CD2=AD·BD而AC2=AD2+CD2=AD2+AD·BD=AD(AD+BD)=AD·AB同理可證得BC2=BD·ABABDCO例1

如圖,圓O上一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D.AD=2,DB=8,求CD,AC和BC的長(zhǎng).總結(jié)：已知“直角三角形斜邊上的高”這一基本圖形中的六條線段中的任意兩條線段，就可以求出其余四條線段，有時(shí)需要用到方程的思想。ABDC習(xí)題1.41.ABDC直角△ABC中已知:CD=60AD=25

求：BD,AB,AC,BC的長(zhǎng)BD=144,AB=169,AC=65,BC=1562.(2007廣州一模)如圖所示，圓O上一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D，CD=4，BD=8，則圓O的半徑等于_____．BACDO5例2△ABC中，頂點(diǎn)C在AB邊上的射影為D，且CD2=AD·DB求證：△ABC是直角三角形。ABDC證明:在△CDA和△BDC中,∽總結(jié)：

1、知識(shí)：學(xué)習(xí)了直角三角形中重要的比例式和比例中項(xiàng)的表達(dá)式——射影定理。

2、方法：利用射影定理的基本圖形求線段和證明線段等積式。

3、能力：會(huì)從較復(fù)雜的圖形中分解出射影定理的基本圖形的能力。

4、數(shù)學(xué)思想：方程思想和轉(zhuǎn)化思想。平行線等分線段定理平行線分線段成比例定理推論1推論2推論1.2節(jié)例3引理預(yù)備定理判定定理3判定定理1判定定理2相似三角形概念直角三角形