新人教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊第三章拋物線及其標準方程

3．3拋物線3．3.1拋物線及其標準方程第三章圓錐曲線的方程學習指導核心素養(yǎng)1.了解拋物線的實際背景，感受拋物線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用．2.了解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程．1.數(shù)學抽象：結合教材實例了解拋物線的定義．2.邏輯推理、數(shù)學運算：拋物線的標準方程的推導及求解．01必備知識落實知識點一拋物線的定義(1)定義：我們把平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離_______的點的軌跡叫做拋物線．(2)焦點：點F叫做拋物線的焦點．(3)準線：直線l叫做拋物線的準線．相等拋物線定義的實質可歸結為“一動三定”：一個動點，設為M；一個定點F叫做拋物線的焦點；一條定直線l叫做拋物線的準線；一個定值，即點M到點F的距離和它到直線l的距離之比等于1.1．若動點P到點(3，0)的距離和它到直線x＝－3的距離相等，則動點P的軌跡是(

)A．橢圓 B．拋物線C．直線 D．雙曲線解析：由拋物線定義知，動點軌跡為拋物線．√2．若點P到點F(1，0)的距離和到直線l：x＋y－1＝0的距離相等，則點P的軌跡是(

)A．直線 B．拋物線C．橢圓 D．圓解析：點F在直線x＋y－1＝0上，軌跡為過點F且與l垂直的一條直線．√y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)(1)“p”是拋物線的焦點到準線的距離，所以p>0.(2)拋物線的焦點所在軸(x軸、y軸)由標準方程中的一次項來確定，開口方向(向左、向右、向上、向下)由一次項系數(shù)的符號來確定，可簡記為“焦點位置要看一次項，符號決定開口方向”．

試求滿足下列條件的拋物線的標準方程．(1)過點(－3，2)；(2)焦點在直線x－2y－4＝0上．拋物線標準方程的求法(1)定義法：建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担脪佄锞€的定義列出動點滿足的條件，列出方程，進行化簡，根據(jù)定義求出p，最后寫出標準方程．(2)待定系數(shù)法：由于標準方程有四種形式，因而在求方程時應首先確定焦點在哪一個半軸上，進而確定方程的形式，然后再利用已知條件確定p的值．1．若拋物線y2＝2px的焦點坐標為(1，0)，則p＝________，準線方程為________．2．若焦點在x軸上，焦點到準線的距離是3的拋物線的標準方程為____________．同理，焦點在x軸的負半軸上的拋物線的標準方程為y2＝－6x.故所求拋物線方程為y2＝6x或y2＝－6x.答案：y2＝6x或y2＝－6x3．已知動點P到定點(0，2)的距離和它到直線l：y＝－2的距離相等，則點P的軌跡方程為________．解析：由拋物線定義知P的軌跡是以(0，2)為焦點，直線l：y＝－2為準線的拋物線，所以其方程為x2＝8y.答案：x2＝8y02關鍵能力提升考點一拋物線定義的應用

已知拋物線y2＝2x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，又點A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此時P點的坐標．拋物線定義的兩種應用(1)實現(xiàn)距離轉化．根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線的距離，因此，由拋物線定義可以實現(xiàn)點點距與點線距的相互轉化，從而簡化某些問題．(2)解決最值問題．在拋物線中求解與焦點有關的兩點間距離和的最小值時，往往用拋物線的定義進行轉化，即化折線為直線解決最值問題．1．拋物線x2＝4y上的點P到焦點的距離是10，則P點的坐標為________．解析：設點P(x0，y0)，由拋物線方程x2＝4y，知焦點坐標為(0，1)，準線方程為y＝－1.由拋物線的定義，得|PF|＝y(tǒng)0＋1＝10，所以y0＝9，代入拋物線方程得x0＝±6.所以P點坐標為(±6，9).答案：(±6，9)2．已知點P是拋物線y2＝2x上的一個動點，則點P到點A(0，2)的距離與點P到該拋物線的準線的距離之和的最小值為________．解析：如圖，由拋物線定義知|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PF|，則所求距離之和的最小值轉化為求|PA|＋|PF|的最小值，則當A，P，F(xiàn)三點共線且P在A，F(xiàn)中間時，|PA|＋|PF|取得最小值．考點二拋物線的實際應用

如圖是一種加熱水和食物的太陽灶，上面裝有可旋轉的拋物面形狀的反光鏡，鏡的軸截面是拋物線的一部分，盛水和食物的容器放在拋物線的焦點處，容器由若干根等長的鐵筋焊接在一起的架子支撐．已知鏡口圓的直徑為12m，鏡深2m，若把盛水和食物的容器近似地看作點，求每根鐵筋的長度為多少米．【解】

如圖，在反光鏡的軸截面內建立平面直角坐標系，使反光鏡的頂點(即拋物線的頂點)與原點重合，x軸垂直于鏡口圓的直徑．由已知，得A點坐標是(2，6)，設拋物線方程為y2＝2px(p＞0)，則36＝2p×2，解得p＝9.求解拋物線實際應用題的步驟

如圖是拋物線形拱橋，設水面寬|AB|＝18m，拱頂距離水面8m，一貨船在水面上的部分的橫截面為一矩形CDEF.若|CD|＝9m，那么|DE|不超過多少米才能使貨船通過拱橋？解：如圖所示，以點O為坐標原點，過點O且平行于AB的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，則B(9，－8).03課堂鞏固自測√23412．已知拋物線的焦點在x軸的負半軸上，若p＝2，則其標準方程為(

)A．y2＝－2x B．x2＝－2yC．y2＝－4x D．x2＝－4y解析：因為拋物線的焦點在x軸的負半軸上，所以設拋物線的標準方程為y2＝－2px.又因為p＝2，所以拋物線的標準方程為y2＝－4x.故選C.√23413．(多選)經(jīng)過點P(4，－2)的拋物線的標準方程為(

)A．y2＝x

B．y2＝8xC．y2＝－8x

D．x2＝－8y√√23414．若焦點在y軸上，且拋物線上一點P(m，1)到焦點F的距離為6，求拋物線的標準方程．234104課后達標檢測[A基礎達標]1．以F(1，0)為焦點的拋物線的標準方程是(

)A．x＝4y2 B．y＝4x2C．x2＝4y D．y2＝4x√23456789101112113141516√23456789101112113141516√234567891011121131415164．過點A(3，0)且與y軸相切的圓的圓心軌跡為(

)A．圓 B．橢圓C．直線 D．拋物線解析：如圖，設點P為滿足條件的一點，因為點P到點A的距離等于點P到y(tǒng)軸的距離，所以點P在以點A為焦點，y軸為準線的拋物線上，故點P的軌跡為拋物線．故選D.√23456789101112113141516解析：由拋物線標準方程x2＝4y，可知p＝2，則焦點F(0，1)，準線方程為y＝－1.過點P作PA垂直準線于點A，則|PM|＋|PF|＝|PA|＋|PM|≥3(當且僅當P，A，M三點共線時取等號).故選A.√234567891011121131415166．(多選)對標準形式的拋物線給出下列條件，其中滿足拋物線y2＝10x的有(

)A．焦點在y軸上B．焦點在x軸上C．拋物線上橫坐標為1的點到焦點的距離等于6D．由原點向過焦點的某直線作垂線，垂足坐標為(2，1)√√2345678910111211314151623456789101112113141516234567891011121131415168．已知拋物線y2＝2px經(jīng)過點A(4，4)，則準線方程為________，點A到焦點的距離為________．解析：拋物線y2＝2px經(jīng)過點A(4，4)，可得42＝8p，解得p＝2，所以拋物線的標準方程為y2＝4x，則準線方程為x＝－1，點A到焦點的距離為4－(－1)＝5.答案：x＝－1

5234567891011121131415169．已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上的點P(m，－2)到焦點的距離為4，則實數(shù)m的值為________．

答案：4或－42345678910111211314151623456789101112113141516(2)焦點F在y軸上，點A(m，－2)在拋物線上，且|AF|＝3.23456789101112113141516[B能力提升]11．若動點M(x，y)到點F(4，0)的距離比它到直線x＋5＝0的距離小1，則點M的軌跡方程是(

)A．x＋4＝0 B．x－4＝0C．y2＝8x D．y2＝16x解析：依題意可知，點M到點F的距離等于點M到直線x＝－4的距離，因此其軌跡是拋物線，且p＝8，頂點在原點，焦點在x軸正半軸上，所以其方程為y2＝16x.故選D.√23456789101112113141516√23456789101112113141516√234567891011121131415162345678910111211314151623456789101112113141516(2)求雙曲線的方程．23456789101112113141516234567891011121131415162345678910111211314151616．如圖所示，一隧道內設雙行線公路，其截面由長方形的三條邊和拋物線的某一段構成，為保證安全，要求行駛車輛頂部(設為平頂)與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5m.(1)以拋物線的頂點為原點O，其對稱軸所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系Oxy(如圖)，求該拋物線的方程；23456789101112113141516解：如圖所示．

(1)根據(jù)題意可設該拋物線的方程為x2＝－2py