四元數(shù)矩陣方程axb,xd=e,f的最小范數(shù)最小二乘hermiian解

四元數(shù)矩陣方程axb,xd=e,f的最小范數(shù)最小二乘hermiian解

1方興未艾的數(shù)值研究在本規(guī)范中，r是代表真理域的范圍，q是代表四位數(shù)的除環(huán)。矩陣方程的求解問題是矩陣?yán)碚摵蛿?shù)值代數(shù)研究中的重要課題,近幾十年來,其研究方興未艾在實數(shù)域、復(fù)數(shù)域以及四元數(shù)除環(huán)上已經(jīng)做了一些研究,見文獻(xiàn)本文研究下面的問題:問題1.1設(shè)問題1.1的解X本文后面的內(nèi)容安排如下.第2部分給出了一些預(yù)備知識;第3部分應(yīng)用四元數(shù)矩陣的實表示矩陣以及實表示矩陣的特殊結(jié)構(gòu),研究了問題1.1的解;在第4部分中,給出了問題1.1的數(shù)值算法與數(shù)值例子,說明算法的有效性;最后,第5部分總結(jié)了全文.2.2.2最有效的四元數(shù)矩陣方程的最小二乘四元數(shù)矩陣A∈Q從A四元數(shù)矩陣A的F范數(shù)定義為:不難驗證它滿足所以當(dāng)方程(1)有Hermitian解時,其解集為(5)式.進一步地,根據(jù)數(shù)值代數(shù)中的結(jié)論可得方程(1)有唯一Hermitian解的充要條件為r(GUVW)=2n注3.1通過定理3.1,可以看出求解四元數(shù)矩陣方程(AXB,CXD)=(E,F)的最小二乘Hermitian解的問題可以轉(zhuǎn)化為求解相應(yīng)的實矩陣方程的最小二乘解的問題因此,避免了復(fù)雜的四元數(shù)運算與不穩(wěn)定的復(fù)數(shù)運算.并且與文獻(xiàn)4算法4.1.2誤差檢驗在本部分,首先利用第3部分的結(jié)論,給出問題1.1的數(shù)值算法,然后給出兩個數(shù)值例子說明方法的有效性.數(shù)值算法如下.算法4.1步驟1:輸入步驟2:求出A步驟3:根據(jù)(3)式計算問題1.1的唯一的最小范數(shù)最小二乘Hermitian解X下面提供兩個數(shù)值例子來說明算法的有效性.在例4.1中,計算了不同階數(shù)的四元數(shù)矩陣方程(1)按照算法4.1得到的最小范數(shù)最小二乘Hermitian解和相應(yīng)的實際的最小范數(shù)最小二乘Hermitian解之間的誤差.在例4.2中,利用算法4.1與文獻(xiàn)例4.1考慮四元數(shù)矩陣方程(AXB,CXD)=(E,F),其中令a=rand(n),b=rand(n),c=rand(n),d=rand(n),則令E=AXB,F=CXD,則四元數(shù)矩陣方程(AXB,CXD)=(E,F)有唯一的Hermitian解X.顯然X也是唯一的最小范數(shù)最小二乘Hermitian解.另外,再通過算法4.1求出唯一的最小范數(shù)最小二乘Hermitian解X從圖1可以看出ε<-11.5,也即是∥X例4.2考慮四元數(shù)矩陣方程(AXB,CXD)=(E,F),其中A,B,C,D,E,F為隨機生成的四元數(shù)矩陣,具體如下:令m=n=s=t=2K,用本文中的算法4.1與文獻(xiàn)從圖2可以看出,本文提出的算法4.1在求解問題1.1時花費的時間少,大約是文獻(xiàn)5算法1.2.2引理介紹本文利用四元數(shù)矩陣的實表示矩陣以及實表示矩陣的特殊結(jié)構(gòu),把四元數(shù)矩陣方程轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的實矩陣方程,求出了問題1.1的解的表達(dá)式并給出了相應(yīng)的算法.由于所得到的結(jié)果只涉及到實矩陣,相應(yīng)的算法只涉及到實運算,因此非常有效,并用兩個數(shù)值例子加以說明.引理2.1引理2.2引理2.3設(shè)其中引理2.3可以通過兩邊計算驗證得到,這里省去它的證明.定義2.1定義定義2.2定義引理2.43有條件無條件下的四元數(shù)矩陣方程的最小二乘解本部分中,利用四元數(shù)矩陣的實表示矩陣、實表示矩陣的特殊結(jié)構(gòu)、矩陣的Kronecker積與矩陣的Moore-Penrose逆研究問題1.1的解.定理3.1設(shè)記其中問題1.1的唯一解證明根據(jù)Frobenius范數(shù)的性質(zhì),可得到以下關(guān)系等價因此,問題1.1中的集合HQ根據(jù)引理2.1-引理2.3,有由由引理2.4,得因此從而根據(jù)數(shù)值代數(shù)中的結(jié)論,實矩陣方程的最小二乘解可以表示為其中因此問題1.1中的集合HQ其中這即證明了(2)式成立.進一步也可得問題1.1的唯一解根據(jù)定理3.1,可得四元數(shù)矩陣方程(1)有Hermitian解的條件及Hermitian解集.推論3.1設(shè)記則四元數(shù)矩陣方程(1)有Hermitian解的充要條件為當(dāng)方程(1)有Hermitian解時,其Hermitian解集為其中進一步,若方程(1)有Hermitian解,有唯一Hermitian解的充要條件為并且唯一的Hermitian解證證明四元數(shù)矩陣方程(1)有Hermitian解的充要條件為