2023年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)二歷年高頻考題帶答案難題附詳解

2023年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)二歷年高頻考題帶答案難題附詳解（圖片大小可自由調(diào)整）第1卷一.歷年考點試題黑鉆版(共50題)1.設(shè)f(x)在x=0的鄰域內(nèi)有定義，f(0)=1，且，則f(x)在x=0處______．A.可導(dǎo)，且f'(0)=0B.可導(dǎo)，且f'(0)=-1C.可導(dǎo)，且f'(0)=2D.不可導(dǎo)2.3.4.二元函數(shù)f(x，y)在點(0，0)處可微的一個充分條件是

A．

B．

C．

D．5.6.設(shè)為可逆矩陣，且，若，則C-1=______．7.8.9.10.11.設(shè)且F可微，證明：12.設(shè)A=(α1，α2，α3，α4)是4階矩陣，A*為A的伴隨矩陣．若(1，0，1，0)T是方程組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系，則A*x=0的基礎(chǔ)解系可為______A.α1，α3．B.α1，α2．C.α1，α2，α3．D.α2，α3，α4．13.設(shè)φ(x)在x=a的某鄰域內(nèi)有定義，f(x)=|x-a|φ(x)．則“φ(x)在x=a處連續(xù)”是“f(x)在x=a處可導(dǎo)”的______A.必要條件而非充分條件．B.充分條件而非必要條件．C.充分必要條件．D.既非充分又非必要條件．14.15.設(shè)an＞0(n=1，2，3，…)且則16.17.設(shè)A為n階矩陣，A*為其伴隨矩陣，已知線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系為解向量ξ1，則A*x=0的基礎(chǔ)解系A(chǔ).不存在．B.僅含一個非零解向量．C.含有n-1個線性無關(guān)的解向量．D.含有n個線性無關(guān)的解向量．18.設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x2)2+(x1-x3)2+(x3-x2)2，

(Ⅰ)求二次型f的秩；

(Ⅱ)求正交變換Q，使二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形．19.20.21.22.試求曲線的拐點，證明不論常數(shù)a取何異于零的數(shù)值，這些拐點總是在一條直線上．23.設(shè)，那么(P-1)2016A(Q2015)-1=

A．

B．

C．

D．24.求連續(xù)函數(shù)f(x)，使它滿足25.26.設(shè)C1，C2是兩個任意常數(shù)，則函數(shù)y=C1e2x+C2e-x-2xe-x滿足的一個微分方程是______A.y"+y'2y=6e-x．B.y"-y'-2y=6e-x．C.y"+y'-2y=3xe-x．D.y"-y'-2y=3xe-x．27.已知函數(shù)28.29.30.已知平面區(qū)域，，，試比較I1，I2，I3的大小______A.I3＜I2＜I1B.I1＜I2＜I3C.I2＜I1＜I3D.I2＜I3＜I131.32.33.設(shè)a為常數(shù)，討論兩曲線y=ex與的公共點的個數(shù)及相應(yīng)的a的取值范圍．34.35.設(shè)f(u，v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足f'u(u，v)+f'v(u，v)=uv。求y(x)=e-2xf(x，x)所滿足的一階微分方程，并求其通解。36.設(shè)A為n階方陣且A2=A，證明：若A的秩為r，則A-E的秩為n-r，其中E是n階單位矩陣．37.yy"=1+y'2滿足初始條件y(0)=1，y'(0)=0的解為______．38.求39.40.若，則a=______，b=______．41.設(shè)A是n階矩陣，α是n維列向量，若秩則線性方程組

A．Ax=α必有無窮多解．

B．Ax=α必有惟一解．

C．

D．42.43.44.計算，其中D是由x2-y2=1及y=0，y=1圍成的平面區(qū)域．45.設(shè)4階方陣A的秩為2，則其伴隨矩陣A*的秩為______．46.設(shè)齊次線性方程組有通解k[1，0，2，-1]T，其中k是任意常數(shù)，A中去掉第i列(i=1，2，3，4)的矩陣記成Ai，則下列方程組中有非零解的方程組是______A.A1y=0B.A2y=0C.A3y=0D.A4y=047.設(shè)n階矩陣A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，γn)，

令向量組(Ⅰ)：α1，α2，…，αn；(Ⅱ)：β1，β2，…，βn；(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γn，若向量(Ⅲ)線性相關(guān)，則______．A.向量組(Ⅰ)與向量組(Ⅱ)都線性相關(guān)B.向量組(Ⅰ)線性相關(guān)C.向量組(Ⅱ)線性相關(guān)D.向量組(Ⅰ)與(Ⅱ)至少有一個線性相關(guān)48.求心臟線ρ=4(1+cosθ)和直線θ=0及圍成的圖形繞極軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體體積為______．49.50.設(shè)f(0)=0，則f(x)在x=0處可導(dǎo)的充要條件為______

A．

B．

C．

D．第1卷參考答案一.歷年考點試題黑鉆版1.參考答案：B[解析]

而

所以，選B．2.參考答案：B3.參考答案：C4.參考答案：C[解析]二元函數(shù)在一點連續(xù)，可導(dǎo)，可微和偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的概念以及它們的相互關(guān)系是多元函數(shù)微分學(xué)的基本內(nèi)容，這些就是本題要考查的知識點．只要了解各選項中等式的意義，就會得到正確的選項．本題主要利用基本概念和推理，所以有一定的難度．

選項A的等式是函數(shù)f(x，y)在點(0，0)處連續(xù)的定義，故它不是f(x，y)在點(0，0)處可微的充分條件；

選項B的兩個等式就是f'x(0，0)=0，f'y(0，0)=0，兩個偏導(dǎo)數(shù)存在當(dāng)然不是可微的充分條件；

選項C的等式就是函數(shù)f(x，y)在點(0，0)處可微的定義，故是正確的；

由于C是正確的選項，故選項D被排除．也可舉反例：

因為

故

同理

但是在(0，0)處，有

故函數(shù)在(0，0)處不可微．

注意選項D中表示的極限是一元的極限，分別表示一元函數(shù)f'x(x，0)在x=0處與f'y(0，y)在y=0處連續(xù)，不要誤以為是表示一階偏導(dǎo)連續(xù)．5.參考答案：D6.參考答案：[解析]觀察C和A的關(guān)系，C可由A的1、2行互換后，再將第3列加到第1列得到，即C=E12AE13(1)，故C-1=[E12AE13(1)]-1=[E13(1)]-1A-1(E12)-1，其中(E12)-1=E12，[E13(1)]-1=E13(-1)，故

7.參考答案：B8.參考答案：C9.參考答案：[解析]

10.參考答案：[解析]參見數(shù)學(xué)一模擬156填空第(2)題解析.11.參考答案：[證明]兩邊對x求偏導(dǎo)得解得兩邊對y求偏導(dǎo)得，解得，于是12.參考答案：D[解析]由題意知，矩陣A的基礎(chǔ)解系只含有一個向量，即n-r(A)=1，r(A)=3，r(A*)=1．那么n-r(A*)=4-1=3．故A*x=0的基礎(chǔ)解系含有3個線性無關(guān)的解，排除A、B．又(1，0，1，0)T為Ax=0的解，所以得α1+α3=0，α1，α3線性相關(guān)．α1，α2，α3線性相關(guān)，排除C，故選D．13.參考答案：D[解析]下面舉兩個例子說明應(yīng)選D．

①設(shè)φ(x)在x=0處連續(xù)，但f(x)=|x|φ(x)在x=0處不可導(dǎo)的例子如下：取φ(x)≡1，但f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo)．

②設(shè)φ(x)在x=0的某鄰域內(nèi)有定義，但在x=0處不連續(xù)，而f(x)=|x|φ(x)在x=0處卻可導(dǎo)的例子如下：設(shè)

φ(x)在x=0處不連續(xù)，但

所以f(x)在x=0處可導(dǎo)，f'(0)=1．14.參考答案：15.參考答案：1[解析]記

其中16.參考答案：17.參考答案：C[解析]方陣A的秩與方陣A*的秩的關(guān)系如下：

本題中說“線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系為解向量ξ1”，故r(A)=n-1，故r(A*)=1，故A*x=0的基礎(chǔ)解系含有n-1個線性無關(guān)的解向量．18.參考答案：由于f=2x12+2x22+2x32-2x1x2-2x2x3-2x1x3，二次型對應(yīng)的矩陣為A，則有

所以矩陣A的秩為2．

(Ⅱ)記二次型f的矩陣為A，則

∣λE-A∣==λ(λ-3)2，

可知λ1=0，λ2=λ3=3．

又當(dāng)λ1=0時，特征向量η1=(1,1,1)T，將η1單位化后得r1=．

當(dāng)λ2=λ3=3時，特征向量η2=(-1，1，0)T，η3=(-1，0，1)T，對η2，η3施行施密特正交化得

β2=η2=(-1，1，0)T，

β3=η3-=(-1,0,1)T-(-1,1,0)T=(，，1)T，

再將β2，β3單位化，得r2=，r3=．

故正交變換矩陣Q=，且有x=Qy,使f=．[考點]二次型的標(biāo)準(zhǔn)化．

先寫出二次型的矩陣，進(jìn)而求矩陣的秩、特征值和單位正交的特征向量．19.參考答案：3[解析]20.參考答案：[解析]令可用三種不同的方法來求I．第一種方法最直接，首先從f'(x)=arcsin(1-x)用積分法求出函數(shù)f(x)，然后再計算I，第二種方法是利用變限定積分表示函數(shù)f(x)可得把它代入I后交換所得累次積分的積分次序即可求得，的值．第三種方法是利用分部積分法計算I，比較起來，后兩種方法比較簡單.

方法1°

首先求函數(shù)f(x)，由f'(x)=arcsin(1-x)與f(0)=0可得

代入即得

其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤x}，因D又可表為D={(x，y)|0≤y≤1，y≤x≤1}，

從而交換累次積分的積分次序即得

21.參考答案：C22.參考答案：先求y'，y"；再分別令y'=0，y"=0求出拐點；最后求出兩個拐點的直線方程，然后將另一個拐點代入，若滿足直線方程即證得三點在同一條直線上．

令y"=0，即2(x-a)(x2+4ax+a2)=0，從而得

將x1，x2，x3分別代入，得

對拐點的判斷如下：

y"=2(x-x1)(x-x2)(x-x3)，

x1＜x2＜x3．

由上表可知拐點分別為

可求得過B，C點的直線的斜率為

且由點斜式可求得過B，C點的直線方程為

①

將A代入直線方程①，兩端相等，可見A也在B，C的直線上，即三個拐點A，B，C在同一條直線上．23.參考答案：B[解析]P、Q均初等矩陣，因為P-1=P，且P左乘A相當(dāng)于互換矩陣A的1、3兩行，那么P2016A表示把A的1、3兩行互換2016次，從而(P-1)2016A=P2016A=A．

又(Q2015)-1=(Q-1)2015且．而Q-1右乘A相當(dāng)于把矩陣A的第2列加至

第1列，那么A(Q-1)2015表示把矩陣A第2列的2015倍加至第1列，所以應(yīng)選B．24.參考答案：方程兩邊對x求導(dǎo)得f'(x)+2f(x)=2x，

令x=0，由原方程得f(0)=0．

于是，原問題就轉(zhuǎn)化為求微分方程f'(x)+2f(x)=2x滿足初始條件f(0)=0的特解．

由一階線性微分方程的通解公式，得

代入初始條件f(0)=0，得，從而[考點]先在等式兩邊對x求導(dǎo)，消去變限積分，將原方程化為關(guān)于未知函數(shù)f(x)的微分方程，再求解該微分方程．25.參考答案：解：由麥克勞林展開式

故可得

26.參考答案：B[解析]由題設(shè)知所求微分方程的特征根分別是λ1=2與λ2=-1，從而特征方程是(λ-2)(λ+1)=0，即λ2-λ-2=0．由此可見所求方程的形狀是y"-y'-2y=f(x)．

記，則方程的右端項．由于，，故f(x)=2(2-x)e-x-2(x-1)e-x+4xe-x=6e-x，代人即得相應(yīng)的微分方程是y"-y'-2y=6e-x．27.參考答案：f[f(x)]=128.參考答案：29.參考答案：D30.參考答案：A[解析]因為，，所以I2＜I1，I3＜I1．

所以I3＜I2，所以I3＜I2＜I1，故選A．31.參考答案：32.參考答案：33.參考答案：[解]若a=0，則易知y=ex與y=0無公共點，以下設(shè)a≠0．討論y=ex與交點的個數(shù)，等同于討論方程的根的個數(shù)，亦即等同于討論函數(shù)f(x)=xex-a

的零點個數(shù)．

得唯一駐點x0=-1．當(dāng)x＜-1時，f'(x)＜0；當(dāng)x＞-1時，f'(x)＞0．所以

minf(x)=f(-1)=-e-1-a．

又

①設(shè)-e-1-a＞0，即設(shè)a＜-e-1，則minf(x)＞0，f(x)無零點；

②設(shè)-e-1-a=0，即設(shè)a=-e-1，則f(x)有唯一零點x0=-1；

③設(shè)-e-1-a＜0，即設(shè)a＞-e-1．又分兩種情形：

(i)設(shè)-e-1＜a＜0，則有f(-∞)=-a＞0，f(-1)=-e-1-a＜0，f(+∞)＞0．而在區(qū)間(-∞，-1)內(nèi)f(x)單調(diào)減少，在區(qū)間(-1，+∞)內(nèi)f(x)單調(diào)增加，故f(x)有且僅有兩個零點；

(ii)設(shè)a＞0．易知f(x)=xex-a在區(qū)間(-∞，0]內(nèi)無零點，而在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)，f(0+)=-a＜0，f(+∞)=+∞，f'(x)=(x+1)ex＞0，所以f(x)在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)剛好有1個零點．討論完畢．

綜上，有結(jié)論：

當(dāng)a＜-e-1或a=0時，無交點；當(dāng)a=-e-1時，有唯一交點(切點)；當(dāng)-e-1＜a＜0時，有兩個交點；當(dāng)a＞0時，在區(qū)間(-∞，0]內(nèi)無交點，而在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)，即第一象限內(nèi)有唯一交點．34.參考答案：35.參考答案：解：方法一：由y(x)=e-2xf(x，x)，兩邊對x求導(dǎo)有

y'=-2e-2xf(x，x)+e-2xf'1(x，x)+e-2xf'2(x，x)

=-2e-2xf(x，x)+e-2x[f'1(x，x)+f'2(x，x)]

=-2y+e-2x[f'1(x，x)+f'2(x，x)]。

已知f'u(u，v)+f'v(u，v)=uv，即f'1(u，v)+f'2(u，v)=uv，則f'1(x，x)+f'2(x，x)=x2。

因此，y(x)滿足一階微分方程y'+2y=x2e-2x。由一階線性微分方程的通解公式得

方法二：由y(x)=e-2xf(x，x)有

f(x，x)=e2xy(x)，

(1)

已知f(u，v)滿足

f'u(u，v)+f'v(u，v)=uv，

(2)

這是一個偏微分方程，當(dāng)u=x，v=x時，(2)式變?yōu)閒'1(x，x)+f'2(x，x)=x2，即

將(1)式代入，有[e2xy(x)]'=x2，即

2e2xy(x)+e2xy'(x)=x2，

化簡得

y'(x)+2y(x)=x2e-2x，

由一階線性微分方程的通解公式得

36.參考答案：[解]因為A2=A，所以A(A-E)=0，

所以0=r(A(A-E))≥r(A)+r(A-E)-n，

即得-r(A)+r(A-E)≤n

①

又因為r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)≥r(A+E-A)=r(E)=n即r(A)+r(A-E)≤n

②

由①②得r(A)+r(A-E)=n．所以r(A-E)=n-r．37.參考答案：±x[解析]令y'=p，則，即，解得ln(1+p2)=lny2+lnC1，則1+p2=C1y2，由y(0)=1，y'(0)=0得，，由y(0)=1得G2=0，所以特解為38.參考答案：解：

令則

所以

所以[解析]題設(shè)積分中含反三角函數(shù)，利用分部積分法．

被積函數(shù)中為兩種不同類型函數(shù)乘積且無法用湊微分法求解時，要想到用分部積分法計算；對含根式的積分，要想到分式有理化及根式代換．39.參考答案：D40.參考答案：1，-