2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)人教A版2019題型講義第33講二面角的幾何求法-1

第33講二面角的幾何求法【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一：面與面的夾角（二面角）①二面角定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形稱為二面角，這條直線稱為二面角的棱，這兩個(gè)平面稱為二面角的面.（二面角或者是二面角）圖1圖2二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別做垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角就叫做該二面角的平面角；范圍．法一：定義法在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角，如圖2在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以為垂足，分別在半平面和內(nèi)作垂直于棱的射線和，則射線和所成的角稱為二面角的平面角（當(dāng)然兩條垂線的垂足點(diǎn)可以不相同，那求二面角就相當(dāng)于求兩條異面直線的夾角即可）．法二：三垂線法在面或面內(nèi)找一合適的點(diǎn),作于，過作于，則為斜線在面內(nèi)的射影，為二面角的平面角．如圖3，具體步驟：Step1：找點(diǎn)做面的垂線；即過點(diǎn),作于;Step2：過點(diǎn)（與step1中是同一個(gè)點(diǎn)）做交線的垂線；即過作于，連接;Step3：計(jì)算；為二面角的平面角，在中解三角形．圖3圖4圖5圖6法三：射影面積法凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（,如圖4）求出二面角的大?。弧绢}型目錄】題型一：二面角選填題題型二：二面角解答題【典型例題】題型一：二面角選填題【例1】如圖，已知，，垂足為、，若，則二面角的大小是______．【例2】如圖，大小為的二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A，B，線段PM與NQ分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱l.若，，，則_____________.【例3】攢尖是古代中國(guó)建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，如圖屬重檐四角攢尖，它的上層輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐，若此正四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則側(cè)面與底面的夾角的正切值為___________．【例4】三棱錐中，若二面角所成的平面角均相等，則點(diǎn)P在底面ABC上的投影點(diǎn)為的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【例5】如圖,正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為2,則平面ABC與平面夾角的余弦值為（）A．B．C．D．【例6】（多選題）已知正方體，設(shè)是棱的中點(diǎn)，則（）A．平面B．C．平面與平面所成角的正弦值為D．三棱錐與三棱錐體積相等【題型專練】1.在二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A、B，線段AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，若AB=1，AC=2，BD=3，CD=22，則這個(gè)二面角的大小為（A．30°B．45°C．60°D．90°2．已知是二面角內(nèi)的一點(diǎn)，垂直于于垂直于于，則二面角的大小為__．3．（多選題）在正方體中，分別是的中點(diǎn)，下列說法正確的是（）A．四邊形是菱形B．直線與所成的角為C．直線與平面所成角的正弦值是D．平面與平面所成角的余弦值是4．如圖，若平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，，則二面角的大小為______.題型二：二面角解答題【例1】如圖，在正方體中，(1)求異面直線與所成的角的大?。?2)求二面角的大小.【例2】如圖，直三棱柱中，，.(1)求直線與平面所成的角；(2)求二面角的正切值.【例3】在三棱錐中，平面，點(diǎn)在棱上且是的外心（三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)叫三角形的外心即外接圓的圓心），點(diǎn)是的內(nèi)心（三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)即內(nèi)切圓的圓心），.(1)求證：平面平面；(2)求二面角的正弦值.【例4】如圖所示，在四面體ABCD中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，△ACD是直角三角形，且AD=CD，且BD=2，E為DB的中點(diǎn)．(1)求證：平面ACD⊥平面ABC．(2)求二面角的大?。纠?】如圖，在正三棱柱中，，截面?zhèn)让?(1)求證：；(2)若，求平面與平面所成二面角（銳角）的度數(shù).【題型專練】1．如圖，在正方體中.(1)求證：平面；(2)作出二面角的平面角，并說明理由.2．如圖，正三棱錐中，底面邊長(zhǎng)是3，棱錐的側(cè)面積等于底面積的2倍，M是BC的中點(diǎn)．求：(1)的值；(2)二面角的大?。?3)正三棱錐的體積．3．如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，M是線段EF的中點(diǎn)．(1)求證：平面BDE；(2)求證：平面BDF；(3)求二面角的大小．4．如圖，已知正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為1，M是底面邊上的中點(diǎn)，N是側(cè)棱上的點(diǎn)，且．(1)求