平面向量的概念及線(xiàn)性運(yùn)算練習(xí)題

平面向量的概念及線(xiàn)性運(yùn)算練習(xí)題1.已知兩個(gè)非零向量a，b滿(mǎn)足|a+b|=|a-b|，則a⊥b。2.對(duì)于非零向量a，b，“a+b=0”是“a∥b”的充分不必要條件。3.設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，BC+BA=2BP，則PA+PC=0。4.已知向量a=(x,2)，b=(3，-1)，若(a+b)∥(a-2b)，則實(shí)數(shù)x的值為-6。5.在四邊形ABCD中，AB=a+2b，BC=-4a-b，CD=-5a-3b，則四邊形ABCD是梯形。6.已知△ABC和點(diǎn)M滿(mǎn)足MA+MB+MC=0，若存在實(shí)數(shù)m，使得AB+AC=mAM，則m=3。7.已知點(diǎn)O為△ABC外接圓的圓心，且OA+OB+OC=0，則△ABC的內(nèi)角A等于90°。AB＝(1－m)OA＋nOB．若A，P，B三點(diǎn)共線(xiàn)，則有→AP＝kAB(k∈R且k≠0)，→→→→→→→→→所以k(1－m)OA＋knOB＝(1－m)OA＋nOB，∴k(1－m)＝1－m，即k＝1/m，∴n＝1－m，∴m＋n＝1．證畢．(2)若m＋n＝1，則有→AB＝(1－m)OA＋nOB＝(n＋1－m)OA＋mOB，令k＝n＋1－m，則有→AB＝kOA＋mOB，若A，P，B三點(diǎn)共線(xiàn)，則有→AP＝kAB，→→→→→→→→→即→AP＝kOA＋mOB，令l＝1/k，則有→OA＝lAP－mOB，∴→OP＝(l－m)AP，∴m＝l－m，∴m＋n＝1．證畢．根據(jù)向量代數(shù)知識(shí)，我們可以將上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)化和改寫(xiě)。首先，我們可以將OP向量拆分成OA和OB的向量和，得到OP=mOA+nOB。接著，我們將OB向量移到等式左邊，得到OP-OB=m(OA-OB)。我們?cè)賹⒌仁絻蛇呁瑫r(shí)乘以(1-m)，得到(1-m)(OP-OB)=m(OA-OB)。進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得OB=m(OA-OB)/(1-m)，即BP=mBA。因?yàn)锽P與BA共線(xiàn)，且BA不為0，所以BP與BA有公共點(diǎn)B，且A、P、B三點(diǎn)共線(xiàn)。反過(guò)來(lái)，如果A、P、B三點(diǎn)共線(xiàn)，則BP與BA共線(xiàn)，即存在實(shí)數(shù)λ使得BP=λBA。因此，OB=λ(OA-OB)，即OP=λOA+(1-λ)OB。由OP=mOA+nOB得，mOA+nOB=λOA+(1-λ)OB。因?yàn)镺、A、B