第三章 晶體的宏觀對稱

第三章晶體的宏觀對稱第1頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章晶體的宏觀對稱第2頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月一對稱的概念

對稱就是物體（或圖形）中，其相同部分之間的有規(guī)律的重復(fù).例：蝴蝶、花冠、建筑物、面容、雪花第3頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月各種各樣的對稱各種各樣的對稱第4頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月1)相同部分2)有規(guī)律的重復(fù)強(qiáng)調(diào)第5頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

晶體的對稱表現(xiàn)為晶面、晶棱、角頂作有規(guī)律的重復(fù)——宏觀對稱。

二晶體對稱的特點(diǎn)

晶體的對稱性是由晶體的格子構(gòu)造所決定的，研究晶體的對稱性對于認(rèn)識晶體的各項性質(zhì)和晶體分類具有重要意義。第6頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月完全性：所有晶體都具有對稱性。如L1（質(zhì)點(diǎn)在三維空間有規(guī)律的重復(fù)——格子構(gòu)造所決定的）；

有限性：晶體的對稱要素是有限的。要受到晶體對稱規(guī)律的控制，即不出現(xiàn)5次或高于6次的對稱軸；一致性（表里如一）：晶體的對稱不僅體現(xiàn)在外形上，也體現(xiàn)在物理性質(zhì)上，即：不僅包含幾何意義，還包含物理化學(xué)意義。第7頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月三晶體的宏觀對稱操作和對稱要素

對稱操作:對稱操作（變換）就指能夠使對稱物體中的各個相同部分作有規(guī)律重復(fù)的變換動作。

如：旋轉(zhuǎn)、反映、反伸、旋轉(zhuǎn)反伸等。

第8頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月對稱要素:

對稱要素就是指在進(jìn)行對稱操作時所憑借的幾何要素。

所憑借的點(diǎn)、線和面被分別稱為對稱中心（C）、對稱軸（L）和對稱面（P）。第9頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

1.對稱面（P）

對稱面為一假想的面，相對應(yīng)的對稱操作是對此平面反映，它使圖形平分成兩個鏡像相等的部分。

第10頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月對稱面的分布垂直并平分晶面垂直并平分晶棱包含晶棱并穿過角頂?shù)?1頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月a.晶體中可以沒有對稱面，也可以有對稱面，但最多只能有9個對稱面；b.必須通過晶體中心，其出現(xiàn)的位置多垂直并平分于晶面或晶棱；c.對稱面的數(shù)目寫在前面：如，9P。注意第12頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.對稱軸（Ln）

對稱軸為一假想的直線，相對應(yīng)的對稱操作是圍繞此直線的旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一定角度后可使相同(等）部分有規(guī)律地重復(fù)。

第13頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

L1無實(shí)際意義，高于2次的對稱軸稱為高次軸（L3、L4、L6）第14頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

軸次（n）:旋轉(zhuǎn)一周重復(fù)的次數(shù)；

基轉(zhuǎn)角（α）:重復(fù)時所旋轉(zhuǎn)的最小角度。n=360°/α第15頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月對稱軸的分布通過晶棱中點(diǎn)且垂直該晶棱的直線——L2;通過晶面中心且垂直該晶面的直線——L4;通過角頂?shù)闹本€——L3第16頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

晶體的對稱定律：晶體中只能出現(xiàn)軸次為1、2、3、4、6的對稱軸，而不能出現(xiàn)5次或高于6次的對稱軸。

晶體對稱的有限性所決定第17頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

原理：L5、L7和L8等不符合空間格子的規(guī)律，在空間格子中，垂直對稱軸一定有面網(wǎng)存在，圍繞該對稱軸轉(zhuǎn)動所形成的多邊形應(yīng)該符合于該面網(wǎng)上結(jié)點(diǎn)所圍成的網(wǎng)孔。

圍繞L2、L3、L4、L6所形成的多邊形，都能毫無間隙地布滿平面，都可能符合空間格子的網(wǎng)孔。而垂直于L5、L7和L8等所形成的正五邊形、正七邊形和正八邊形卻不能毫無間隙地布滿平面，不符合空間格子的網(wǎng)孔，所以在晶體中不可能存在5次或高于6次的對稱軸。第18頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

3.對稱中心（C）

對稱中心為一假想的點(diǎn)，相對應(yīng)的對稱操作是對于此點(diǎn)反向延伸，通過此點(diǎn)，等距離兩端必能找到相對應(yīng)的點(diǎn)

。

第19頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

在晶體中可沒有對稱中心，若有則只能有1個，出現(xiàn)在晶體的中心。

若晶體具有對稱中心，其相應(yīng)的晶面、晶棱、角頂都體現(xiàn)反向平行。其晶面必然都是兩兩平行而且相等的，這一點(diǎn)可以用來作為判別晶體有無對稱中心的依據(jù)。規(guī)律第20頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

4.

旋轉(zhuǎn)反伸軸(倒轉(zhuǎn)軸、反軸、反演軸)（Lin）

旋轉(zhuǎn)反伸軸為一假想的直線和此直線上的一個定點(diǎn)，相對應(yīng)的對稱操作是圍繞此直線的旋轉(zhuǎn)和對此直線上的一個定點(diǎn)（相當(dāng)于對稱中心）反伸的復(fù)合操作，圖形圍繞此直線旋轉(zhuǎn)一定角度后，再對直線上的一個定點(diǎn)進(jìn)行反伸，可使相等部分重復(fù)。

第21頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月Li4的四方四面體及赤平投影※其輔助的對稱操作有2個※旋轉(zhuǎn)+反伸第22頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月Li1=C各種旋轉(zhuǎn)反伸軸的圖解Li6=L3+P⊥Li4Li3=L3+CLi2=P第23頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

5.旋轉(zhuǎn)反映軸(映轉(zhuǎn)軸)（Lsn）

旋轉(zhuǎn)反映軸為一假想的直線和垂直此直線的一個平面

，相對應(yīng)的對稱操作是圍繞此直線的旋轉(zhuǎn)后對對垂直此直線上的一個平面的反映的復(fù)合操作，操作后可使圖形相等的部分重復(fù)。

第24頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月各種旋轉(zhuǎn)反映軸的圖解第25頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月四對稱要素的組合

在結(jié)晶多面體中，當(dāng)幾種對稱要素同時存在時，任意兩種對稱要素的組合必定要導(dǎo)出第三種對稱要素。其作用等于前兩種對稱要素作用之和。但對稱要素的組合不是任意的,必須符合對稱要素的組合規(guī)律。第26頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月定理1（L2和Ln的組合,軸式組合）

如果一個L2垂直于Ln時，則①必有n個L2同時垂直此Ln;②相鄰兩個L2的夾角為Ln的基轉(zhuǎn)角的一半。

Ln×L2（⊥）→LnnL2

例：3L2、L33L2、L44L2、L66L2

逆定理：如果兩個L2相交,在交點(diǎn)上并垂直兩個L2必產(chǎn)生一個Ln，其基轉(zhuǎn)角是兩個L2夾角的2倍,并導(dǎo)出其他n個在垂直Ln平面內(nèi)的L2。

第27頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

定理2(P、Ln和C的組合,中心式組合)

如果有一個對稱面P垂直偶次對稱軸Ln（n為偶數(shù)），則在其交點(diǎn)存在對稱中心C。

Ln

×C=Ln

×P（⊥）→LnPC（n為偶數(shù)）

例：L2PC、L4PC、L6PC

逆定理：如果有一個偶次對稱軸L2n與對稱中心共存，則通過C且垂直該對稱軸必有一對稱面P?；蛉绻幸粋€對稱面P與對稱中心C共存，則過C且垂直P必有一個L2（這個L2可能包含在其他偶次軸中而不獨(dú)立出現(xiàn)）。第28頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3（P和Ln的組合,面式組合）

如果有一個對稱面（P）包含一個對稱軸Ln，則①必有n個P同時包含此Ln；②相鄰兩個P的夾角為Ln的基轉(zhuǎn)角的一半。

Ln

×P(‖)→LnnP例：L22P、L33P、L44P、L66P

逆定理：如果有兩個對稱面相交，則P的交線必為一個Ln，其基轉(zhuǎn)角等于相鄰兩個P的夾角的2倍，并導(dǎo)出其他n個包含Ln的P。第29頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月定理4（P和Lin的組合,倒轉(zhuǎn)面式組合）

如果有1個L2垂直于n次旋轉(zhuǎn)反伸軸Lin，或有一個P包含n次旋轉(zhuǎn)反伸軸Lin時，則當(dāng)n為奇數(shù)時，必有n個共點(diǎn)的L2垂直此Lin和n個P同時包含此Lin；當(dāng)n為偶數(shù)時，必有n/2個共點(diǎn)的L2垂直此Lin和n/2個P同時包含此Lin。

Lin

×P(‖)=Lin

×L2（⊥）→

LinnL2nPLinn/2L2n/2P當(dāng)n為偶數(shù)時，例：Li42L22P；Li63L23P

當(dāng)n為奇數(shù)時，例：Li33L23P＝L33L23PC第30頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

定理4逆定理：如果有一個L2與一個P斜交，則P的法線與L2的交角為δ，則平行于P且垂直于L2的直線必為一Lin，n＝360°/2δ。

定理5(歐拉定理,對稱軸之間的組合)兩個對稱軸的適當(dāng)組合將產(chǎn)生第三個對稱軸第31頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月五32個對稱型(點(diǎn)群)及其推導(dǎo)1.對稱型的概念晶體形態(tài)中，全部對稱要素的組合稱為該晶體的對稱型。由于全部對稱要素都通過一點(diǎn)(幾何點(diǎn))，進(jìn)行對稱操作時該點(diǎn)不移動，因此對稱型也稱為點(diǎn)群。

第32頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月2.32種對稱型

由于晶體對稱要素的有限性，對稱要素組合的有規(guī)律性，因此，晶體中的對稱型也是有限的。這種有限性表現(xiàn)在實(shí)際晶體中只有32種對稱型（赫賽爾Hessel，1830）。第33頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月3.32種對稱型的推導(dǎo)32種對稱型可以分成A類（27種）和B類（5種）。A、B類對稱型都可以用投影的方式表達(dá)（推導(dǎo)）出來。32種對稱型要求重點(diǎn)掌握的對稱型有11種。第34頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月第35頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

A類對稱型的推導(dǎo)原始式:L1、L2、L3、L4、L6倒轉(zhuǎn)原始式:Li4、Li6中心式(×C):C、L3C、L4PC、L6PC軸式(×L2（⊥）):3L2、L33L2、L44L2、L66L2面式(×P(‖)):P、L22P、L33P

、L44P、L66P倒轉(zhuǎn)面式(×P(‖)C):Li42L22P、Li63L23P

面軸式(×P(‖)×L2（⊥）):L2PC、3L23PC、L33L23PC、L44L25PC、L66L27PC第36頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月B類對稱型——推導(dǎo)從略共有5種：

原始式3L24L3中心式3L24L33PC軸式

3L24L36L2面式3Li44L36P面軸式3L44L36L29PC第37頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月3.對稱型的符號

A習(xí)慣符號習(xí)慣符號（全面符號）以對稱要素總和的形式來代表對稱型。

如：3L23PC

這種表示方法可以使全部對稱要素一目了然，但它不能反映出各對稱要素間的組合關(guān)系。第38頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月B國際符號在現(xiàn)代文獻(xiàn)中一般都采用的比較簡明的對稱型符號。由Hermann和Mauguin創(chuàng)立的，亦稱HM符號。

國際符號既能表明了對稱要素的組合，也能表明了對稱要素的方位，這就要求讀者要有明確的晶體定向的空間概念。第39頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

國際符號中以1，2，3，4，6（n）和1，2，3，4，6（n）分別表示各種軸次的對稱軸和旋轉(zhuǎn)反伸軸；以m表示對稱面。

若對稱面與對稱軸垂直,則兩者之間以斜線或橫線隔開,如：L2PC以2/m表示;L4PC以4/m表示。在國際符號中有1-3個序位,每一序位代表一定的方向,并且在不同晶系中,同一序位所代表的方向不同。第40頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月各晶系對稱型的國際符號中各位序所代表的方向晶系國際符號中的位序代表的方向等軸晶系123x或y或z軸方向(a)三次軸方向(a+b+c)x、y或x、z或y、z軸之間(a+b)三方及六方晶系123六次或三次軸，即z軸方向(c)與六次或三次軸垂直,在x或y或u軸方向上(a)與六次或三次軸垂直,與位2的方向成30°角(2a+b)四方晶系123四次軸,即z軸方向(c)與四次軸垂直,在x或y軸方向(a)與四次軸垂直,與位2成45°角(a+b）斜方晶系123x軸方向(a)y軸方向(b)c軸方向(c)單斜晶系1y軸方向(b)三斜晶系1任意方向第41頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月C圣弗利斯符號

Schoenflies早期根據(jù)對稱要素組合的規(guī)律創(chuàng)立的符號。

Cn表示L