第三章 晶體的宏觀對(duì)稱

第三章晶體的宏觀對(duì)稱第1頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第三章晶體的宏觀對(duì)稱第2頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一對(duì)稱的概念

對(duì)稱就是物體（或圖形）中，其相同部分之間的有規(guī)律的重復(fù).例：蝴蝶、花冠、建筑物、面容、雪花第3頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月各種各樣的對(duì)稱各種各樣的對(duì)稱第4頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1)相同部分2)有規(guī)律的重復(fù)強(qiáng)調(diào)第5頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

晶體的對(duì)稱表現(xiàn)為晶面、晶棱、角頂作有規(guī)律的重復(fù)——宏觀對(duì)稱。

二晶體對(duì)稱的特點(diǎn)

晶體的對(duì)稱性是由晶體的格子構(gòu)造所決定的，研究晶體的對(duì)稱性對(duì)于認(rèn)識(shí)晶體的各項(xiàng)性質(zhì)和晶體分類具有重要意義。第6頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月完全性：所有晶體都具有對(duì)稱性。如L1（質(zhì)點(diǎn)在三維空間有規(guī)律的重復(fù)——格子構(gòu)造所決定的）；

有限性：晶體的對(duì)稱要素是有限的。要受到晶體對(duì)稱規(guī)律的控制，即不出現(xiàn)5次或高于6次的對(duì)稱軸；一致性（表里如一）：晶體的對(duì)稱不僅體現(xiàn)在外形上，也體現(xiàn)在物理性質(zhì)上，即：不僅包含幾何意義，還包含物理化學(xué)意義。第7頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三晶體的宏觀對(duì)稱操作和對(duì)稱要素

對(duì)稱操作:對(duì)稱操作（變換）就指能夠使對(duì)稱物體中的各個(gè)相同部分作有規(guī)律重復(fù)的變換動(dòng)作。

如：旋轉(zhuǎn)、反映、反伸、旋轉(zhuǎn)反伸等。

第8頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)稱要素:

對(duì)稱要素就是指在進(jìn)行對(duì)稱操作時(shí)所憑借的幾何要素。

所憑借的點(diǎn)、線和面被分別稱為對(duì)稱中心（C）、對(duì)稱軸（L）和對(duì)稱面（P）。第9頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

1.對(duì)稱面（P）

對(duì)稱面為一假想的面，相對(duì)應(yīng)的對(duì)稱操作是對(duì)此平面反映，它使圖形平分成兩個(gè)鏡像相等的部分。

第10頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)稱面的分布垂直并平分晶面垂直并平分晶棱包含晶棱并穿過(guò)角頂?shù)?1頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月a.晶體中可以沒(méi)有對(duì)稱面，也可以有對(duì)稱面，但最多只能有9個(gè)對(duì)稱面；b.必須通過(guò)晶體中心，其出現(xiàn)的位置多垂直并平分于晶面或晶棱；c.對(duì)稱面的數(shù)目寫在前面：如，9P。注意第12頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

2.對(duì)稱軸（Ln）

對(duì)稱軸為一假想的直線，相對(duì)應(yīng)的對(duì)稱操作是圍繞此直線的旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一定角度后可使相同(等）部分有規(guī)律地重復(fù)。

第13頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

L1無(wú)實(shí)際意義，高于2次的對(duì)稱軸稱為高次軸（L3、L4、L6）第14頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

軸次（n）:旋轉(zhuǎn)一周重復(fù)的次數(shù)；

基轉(zhuǎn)角（α）:重復(fù)時(shí)所旋轉(zhuǎn)的最小角度。n=360°/α第15頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)稱軸的分布通過(guò)晶棱中點(diǎn)且垂直該晶棱的直線——L2;通過(guò)晶面中心且垂直該晶面的直線——L4;通過(guò)角頂?shù)闹本€——L3第16頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

晶體的對(duì)稱定律：晶體中只能出現(xiàn)軸次為1、2、3、4、6的對(duì)稱軸，而不能出現(xiàn)5次或高于6次的對(duì)稱軸。

晶體對(duì)稱的有限性所決定第17頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

原理：L5、L7和L8等不符合空間格子的規(guī)律，在空間格子中，垂直對(duì)稱軸一定有面網(wǎng)存在，圍繞該對(duì)稱軸轉(zhuǎn)動(dòng)所形成的多邊形應(yīng)該符合于該面網(wǎng)上結(jié)點(diǎn)所圍成的網(wǎng)孔。

圍繞L2、L3、L4、L6所形成的多邊形，都能毫無(wú)間隙地布滿平面，都可能符合空間格子的網(wǎng)孔。而垂直于L5、L7和L8等所形成的正五邊形、正七邊形和正八邊形卻不能毫無(wú)間隙地布滿平面，不符合空間格子的網(wǎng)孔，所以在晶體中不可能存在5次或高于6次的對(duì)稱軸。第18頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

3.對(duì)稱中心（C）

對(duì)稱中心為一假想的點(diǎn)，相對(duì)應(yīng)的對(duì)稱操作是對(duì)于此點(diǎn)反向延伸，通過(guò)此點(diǎn)，等距離兩端必能找到相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

。

第19頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

在晶體中可沒(méi)有對(duì)稱中心，若有則只能有1個(gè)，出現(xiàn)在晶體的中心。

若晶體具有對(duì)稱中心，其相應(yīng)的晶面、晶棱、角頂都體現(xiàn)反向平行。其晶面必然都是兩兩平行而且相等的，這一點(diǎn)可以用來(lái)作為判別晶體有無(wú)對(duì)稱中心的依據(jù)。規(guī)律第20頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

4.

旋轉(zhuǎn)反伸軸(倒轉(zhuǎn)軸、反軸、反演軸)（Lin）

旋轉(zhuǎn)反伸軸為一假想的直線和此直線上的一個(gè)定點(diǎn)，相對(duì)應(yīng)的對(duì)稱操作是圍繞此直線的旋轉(zhuǎn)和對(duì)此直線上的一個(gè)定點(diǎn)（相當(dāng)于對(duì)稱中心）反伸的復(fù)合操作，圖形圍繞此直線旋轉(zhuǎn)一定角度后，再對(duì)直線上的一個(gè)定點(diǎn)進(jìn)行反伸，可使相等部分重復(fù)。

第21頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Li4的四方四面體及赤平投影※其輔助的對(duì)稱操作有2個(gè)※旋轉(zhuǎn)+反伸第22頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Li1=C各種旋轉(zhuǎn)反伸軸的圖解Li6=L3+P⊥Li4Li3=L3+CLi2=P第23頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

5.旋轉(zhuǎn)反映軸(映轉(zhuǎn)軸)（Lsn）

旋轉(zhuǎn)反映軸為一假想的直線和垂直此直線的一個(gè)平面

，相對(duì)應(yīng)的對(duì)稱操作是圍繞此直線的旋轉(zhuǎn)后對(duì)對(duì)垂直此直線上的一個(gè)平面的反映的復(fù)合操作，操作后可使圖形相等的部分重復(fù)。

第24頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月各種旋轉(zhuǎn)反映軸的圖解第25頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月四對(duì)稱要素的組合

在結(jié)晶多面體中，當(dāng)幾種對(duì)稱要素同時(shí)存在時(shí)，任意兩種對(duì)稱要素的組合必定要導(dǎo)出第三種對(duì)稱要素。其作用等于前兩種對(duì)稱要素作用之和。但對(duì)稱要素的組合不是任意的,必須符合對(duì)稱要素的組合規(guī)律。第26頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理1（L2和Ln的組合,軸式組合）

如果一個(gè)L2垂直于Ln時(shí)，則①必有n個(gè)L2同時(shí)垂直此Ln;②相鄰兩個(gè)L2的夾角為L(zhǎng)n的基轉(zhuǎn)角的一半。

Ln×L2（⊥）→LnnL2

例：3L2、L33L2、L44L2、L66L2

逆定理：如果兩個(gè)L2相交,在交點(diǎn)上并垂直兩個(gè)L2必產(chǎn)生一個(gè)Ln，其基轉(zhuǎn)角是兩個(gè)L2夾角的2倍,并導(dǎo)出其他n個(gè)在垂直Ln平面內(nèi)的L2。

第27頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

定理2(P、Ln和C的組合,中心式組合)

如果有一個(gè)對(duì)稱面P垂直偶次對(duì)稱軸Ln（n為偶數(shù)），則在其交點(diǎn)存在對(duì)稱中心C。

Ln

×C=Ln

×P（⊥）→LnPC（n為偶數(shù)）

例：L2PC、L4PC、L6PC

逆定理：如果有一個(gè)偶次對(duì)稱軸L2n與對(duì)稱中心共存，則通過(guò)C且垂直該對(duì)稱軸必有一對(duì)稱面P?；蛉绻幸粋€(gè)對(duì)稱面P與對(duì)稱中心C共存，則過(guò)C且垂直P必有一個(gè)L2（這個(gè)L2可能包含在其他偶次軸中而不獨(dú)立出現(xiàn)）。第28頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理3（P和Ln的組合,面式組合）

如果有一個(gè)對(duì)稱面（P）包含一個(gè)對(duì)稱軸Ln，則①必有n個(gè)P同時(shí)包含此Ln；②相鄰兩個(gè)P的夾角為L(zhǎng)n的基轉(zhuǎn)角的一半。

Ln

×P(‖)→LnnP例：L22P、L33P、L44P、L66P

逆定理：如果有兩個(gè)對(duì)稱面相交，則P的交線必為一個(gè)Ln，其基轉(zhuǎn)角等于相鄰兩個(gè)P的夾角的2倍，并導(dǎo)出其他n個(gè)包含Ln的P。第29頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理4（P和Lin的組合,倒轉(zhuǎn)面式組合）

如果有1個(gè)L2垂直于n次旋轉(zhuǎn)反伸軸Lin，或有一個(gè)P包含n次旋轉(zhuǎn)反伸軸Lin時(shí)，則當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，必有n個(gè)共點(diǎn)的L2垂直此Lin和n個(gè)P同時(shí)包含此Lin；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，必有n/2個(gè)共點(diǎn)的L2垂直此Lin和n/2個(gè)P同時(shí)包含此Lin。

Lin

×P(‖)=Lin

×L2（⊥）→

LinnL2nPLinn/2L2n/2P當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，例：Li42L22P；Li63L23P

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，例：Li33L23P＝L33L23PC第30頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

定理4逆定理：如果有一個(gè)L2與一個(gè)P斜交，則P的法線與L2的交角為δ，則平行于P且垂直于L2的直線必為一Lin，n＝360°/2δ。

定理5(歐拉定理,對(duì)稱軸之間的組合)兩個(gè)對(duì)稱軸的適當(dāng)組合將產(chǎn)生第三個(gè)對(duì)稱軸第31頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月五32個(gè)對(duì)稱型(點(diǎn)群)及其推導(dǎo)1.對(duì)稱型的概念晶體形態(tài)中，全部對(duì)稱要素的組合稱為該晶體的對(duì)稱型。由于全部對(duì)稱要素都通過(guò)一點(diǎn)(幾何點(diǎn))，進(jìn)行對(duì)稱操作時(shí)該點(diǎn)不移動(dòng)，因此對(duì)稱型也稱為點(diǎn)群。

第32頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.32種對(duì)稱型

由于晶體對(duì)稱要素的有限性，對(duì)稱要素組合的有規(guī)律性，因此，晶體中的對(duì)稱型也是有限的。這種有限性表現(xiàn)在實(shí)際晶體中只有32種對(duì)稱型（赫賽爾Hessel，1830）。第33頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.32種對(duì)稱型的推導(dǎo)32種對(duì)稱型可以分成A類（27種）和B類（5種）。A、B類對(duì)稱型都可以用投影的方式表達(dá)（推導(dǎo)）出來(lái)。32種對(duì)稱型要求重點(diǎn)掌握的對(duì)稱型有11種。第34頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第35頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

A類對(duì)稱型的推導(dǎo)原始式:L1、L2、L3、L4、L6倒轉(zhuǎn)原始式:Li4、Li6中心式(×C):C、L3C、L4PC、L6PC軸式(×L2（⊥）):3L2、L33L2、L44L2、L66L2面式(×P(‖)):P、L22P、L33P

、L44P、L66P倒轉(zhuǎn)面式(×P(‖)C):Li42L22P、Li63L23P

面軸式(×P(‖)×L2（⊥）):L2PC、3L23PC、L33L23PC、L44L25PC、L66L27PC第36頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月B類對(duì)稱型——推導(dǎo)從略共有5種：

原始式3L24L3中心式3L24L33PC軸式

3L24L36L2面式3Li44L36P面軸式3L44L36L29PC第37頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.對(duì)稱型的符號(hào)

A習(xí)慣符號(hào)習(xí)慣符號(hào)（全面符號(hào)）以對(duì)稱要素總和的形式來(lái)代表對(duì)稱型。

如：3L23PC

這種表示方法可以使全部對(duì)稱要素一目了然，但它不能反映出各對(duì)稱要素間的組合關(guān)系。第38頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月B國(guó)際符號(hào)在現(xiàn)代文獻(xiàn)中一般都采用的比較簡(jiǎn)明的對(duì)稱型符號(hào)。由Hermann和Mauguin創(chuàng)立的，亦稱HM符號(hào)。

國(guó)際符號(hào)既能表明了對(duì)稱要素的組合，也能表明了對(duì)稱要素的方位，這就要求讀者要有明確的晶體定向的空間概念。第39頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

國(guó)際符號(hào)中以1，2，3，4，6（n）和1，2，3，4，6（n）分別表示各種軸次的對(duì)稱軸和旋轉(zhuǎn)反伸軸；以m表示對(duì)稱面。

若對(duì)稱面與對(duì)稱軸垂直,則兩者之間以斜線或橫線隔開(kāi),如：L2PC以2/m表示;L4PC以4/m表示。在國(guó)際符號(hào)中有1-3個(gè)序位,每一序位代表一定的方向,并且在不同晶系中,同一序位所代表的方向不同。第40頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月各晶系對(duì)稱型的國(guó)際符號(hào)中各位序所代表的方向晶系國(guó)際符號(hào)中的位序代表的方向等軸晶系123x或y或z軸方向(a)三次軸方向(a+b+c)x、y或x、z或y、z軸之間(a+b)三方及六方晶系123六次或三次軸，即z軸方向(c)與六次或三次軸垂直,在x或y或u軸方向上(a)與六次或三次軸垂直,與位2的方向成30°角(2a+b)四方晶系123四次軸,即z軸方向(c)與四次軸垂直,在x或y軸方向(a)與四次軸垂直,與位2成45°角(a+b）斜方晶系123x軸方向(a)y軸方向(b)c軸方向(c)單斜晶系1y軸方向(b)三斜晶系1任意方向第41頁(yè)，課件共47頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月C圣弗利斯符號(hào)

Schoenflies早期根據(jù)對(duì)稱要素組合的規(guī)律創(chuàng)立的符號(hào)。

Cn表示L