第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析第六講

第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析第六講第1頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)一階系統(tǒng)的時(shí)域分析第6講

程向紅第2頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證明：第3頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.4.5.3

信號(hào)流圖特征式，它是信號(hào)流圖所表示的方組的系數(shù)矩陣的行列式。在同一個(gè)信號(hào)流圖中不論求圖中任何一對(duì)節(jié)點(diǎn)之間的增益，其分母總是，變化的只是其分子。式中

系統(tǒng)總增益（總傳遞函數(shù)）

前向通路數(shù)

第k條前向通路總增益：―所有不同回路增益乘積之和；―所有任意兩個(gè)互不接觸回路增益乘積之和；―所有任意m個(gè)不接觸回路增益乘積之和。為不與第k條前向通路相接觸的那一部分信號(hào)流圖的值，稱為第k條前向通路特征式的余因子。

上講回顧第4頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

控制系統(tǒng)的分析方法

分析控制系統(tǒng)第一步建立模型第二步分析控制性能，

分析方法包括時(shí)域分析法頻域分析法根軌跡法第5頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法引言一階系統(tǒng)時(shí)域分析二階系統(tǒng)時(shí)域分析高階系統(tǒng)的時(shí)域分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算第6頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法

3.1引言分析控制系統(tǒng)的第一步是建立模型，數(shù)學(xué)模型一旦建立，第二步分析控制性能，分析有多種方法，主要有時(shí)域分析法，頻域分析法，根軌跡法等。每種方法，各有千秋。均有他們的適用范圍和對(duì)象。本章先討論時(shí)域法。實(shí)際上，控制系統(tǒng)的輸入信號(hào)常常是不知的，而是隨機(jī)的。很難用解析的方法表示。只有在一些特殊的情況下是預(yù)先知道的，可以用解析的方法或者曲線表示。例如，切削機(jī)床的自動(dòng)控制的例子。在分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，對(duì)各種控制系統(tǒng)性能得有評(píng)判、比較的依據(jù)。這個(gè)依據(jù)也許可以通過對(duì)這些系統(tǒng)加上各種輸入信號(hào)，比較它們對(duì)特定的輸入信號(hào)的響應(yīng)來(lái)建立。許多設(shè)計(jì)準(zhǔn)則就建立在這些信號(hào)的基礎(chǔ)上，或者建立在系統(tǒng)對(duì)初始條件變化（無(wú)任何試驗(yàn)信號(hào)）的基礎(chǔ)上，因?yàn)橄到y(tǒng)對(duì)典型試驗(yàn)信號(hào)的響應(yīng)特性，與系統(tǒng)對(duì)實(shí)際輸入信號(hào)的響應(yīng)特性之間，存在著一定的關(guān)系；所以采用試驗(yàn)信號(hào)來(lái)評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能是合理的。第7頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.1.1典型試驗(yàn)信號(hào)Typicaltestsignals(1)實(shí)際系統(tǒng)的輸入信號(hào)不可知性(2)典型試驗(yàn)信號(hào)的響應(yīng)與系統(tǒng)的實(shí)際響應(yīng)，存在某種關(guān)系(3)電壓試驗(yàn)信號(hào)是時(shí)間的簡(jiǎn)單函數(shù)，便于分析。突然受到恒定輸入作用或突然的擾動(dòng)。如果控制系統(tǒng)的輸入量是隨時(shí)間逐步變化的函數(shù)，則斜坡時(shí)間函數(shù)是比較合適的。（單位）階躍函數(shù)（Stepfunction）室溫調(diào)節(jié)系統(tǒng)和水位調(diào)節(jié)系統(tǒng)（單位）斜坡函數(shù)（Rampfunction）速度（單位）加速度函數(shù)（Accelerationfunction）拋物線

（單位）脈沖函數(shù)（Impulsefunction）

正弦函數(shù)（Simusoidalfunction）Asinut，當(dāng)輸入作用具有周期性變化時(shí)。通常運(yùn)用階躍函數(shù)作為典型輸入作用信號(hào)，這樣可在一個(gè)統(tǒng)一的基礎(chǔ)上對(duì)各種控制系統(tǒng)的特性進(jìn)行比較和研究。本章討論系統(tǒng)對(duì)非周期信號(hào)（Step、Ramp、對(duì)正弦試驗(yàn)信號(hào)相應(yīng)，將在第五章頻域分析法，第六章校正方法中討論）第8頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.1.2動(dòng)態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程

瞬時(shí)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)TransientResponse&Steady_stateResponse在典型輸入信號(hào)作用下，任何一個(gè)控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)。1瞬態(tài)響應(yīng)指系統(tǒng)從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。由于實(shí)際控制系統(tǒng)具有慣性、摩擦、阻尼等原因。2穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是指當(dāng)t趨近于無(wú)窮大時(shí)，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)，表征系統(tǒng)輸入量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度。3.1.3絕對(duì)穩(wěn)定性，相對(duì)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差A(yù)bsoluteStability,RelativeStability,Steady_stateError在設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，我們能夠根據(jù)元件的性能，估算出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性?？刂葡到y(tǒng)動(dòng)態(tài)特性中，最重要的是絕對(duì)穩(wěn)定性，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的，還是不穩(wěn)定的。如果控制系統(tǒng)沒有受到任何擾動(dòng)，或輸入信號(hào)的作用，系統(tǒng)的輸出量保持在某一狀態(tài)上，控制系統(tǒng)便處于平衡狀態(tài)。如果線性定?？刂葡到y(tǒng)受到擾動(dòng)量的作用后，輸出量最終又返回到它的平衡狀態(tài)，那么，這種系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果線性定常控制系統(tǒng)受到擾動(dòng)量作用后，輸出量顯現(xiàn)為持續(xù)的振蕩過程或輸出量無(wú)限制的偏離其平衡狀態(tài)，那么系統(tǒng)便是不穩(wěn)定的。第9頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第10頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)不穩(wěn)定產(chǎn)生的后果實(shí)際上，物理系統(tǒng)輸出量只能增加到一定的范圍，此后或者受到機(jī)械止動(dòng)裝置的限制，或者使系統(tǒng)遭到破壞，也可能當(dāng)輸出量超過一定數(shù)值后，系統(tǒng)變成非線性的，而使線性微分方程不再適用。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性在第六章。

第11頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月穩(wěn)態(tài)誤差：如果在穩(wěn)態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的輸出量與輸入量不能完全吻合，就認(rèn)為系統(tǒng)有穩(wěn)態(tài)誤差。這個(gè)誤差表示系統(tǒng)的準(zhǔn)確度。穩(wěn)態(tài)特性：穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動(dòng)能力的一種度量。相對(duì)穩(wěn)定性：因?yàn)槲锢砜刂葡到y(tǒng)包含有一些貯能元件，所以當(dāng)輸入量作用于系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)的輸出量不能立即跟隨輸入量的變化，而是在系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)之前，表現(xiàn)為瞬態(tài)響應(yīng)過程。對(duì)于實(shí)際控制系統(tǒng)，在達(dá)到穩(wěn)態(tài)以前，它的瞬態(tài)響應(yīng)，常常表現(xiàn)為阻尼振蕩過程。——稱動(dòng)態(tài)過程。第12頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在分析控制系統(tǒng)時(shí)，我們既要研究系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，如達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)所需的時(shí)間，同時(shí)也要研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性，以確定對(duì)輸入信號(hào)跟蹤的誤差大小。動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)：在許多實(shí)際情況中，控制系統(tǒng)所需要的性能指標(biāo)，常以時(shí)域量值的形式給出。通常，控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)，系統(tǒng)在初使條件為零（靜止?fàn)顟B(tài)，輸出量和輸入量的各階導(dǎo)數(shù)為0），對(duì)（單位）階躍輸入信號(hào)的瞬態(tài)響應(yīng)。實(shí)際控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，在達(dá)到穩(wěn)態(tài)以前，常常表現(xiàn)為阻尼振蕩過程，為了說明控制系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入信號(hào)的瞬態(tài)響應(yīng)特性，通常采用下列一些性能指標(biāo)。

第13頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)

延遲時(shí)間：（DelayTime）響應(yīng)曲線第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的一半所需的時(shí)間。

上升時(shí)間（RiseTime）響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%，所需的時(shí)間。上升時(shí)間越短，響應(yīng)速度越快

峰值時(shí)間（PeakTime）：響應(yīng)曲線達(dá)到過調(diào)量的第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間。

第14頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)調(diào)節(jié)時(shí)間：（SettlingTime）響應(yīng)曲線達(dá)到并永遠(yuǎn)保持在一個(gè)允許誤差范圍內(nèi)，所需的最短時(shí)間。用穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)（通常取5%或2%）作，

超調(diào)量（MaximumOvershoot）：指響應(yīng)的最大偏離量h(tp)于終值之差的百分比，即

或評(píng)價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)速度；同時(shí)反映響應(yīng)速度和阻尼程度的綜合性指標(biāo)。評(píng)價(jià)系統(tǒng)的阻尼程度。第15頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.2一階系統(tǒng)的時(shí)域分析

用一階微分方程描述的控制系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。圖3-3（a）所示的RC電路，其微分方程為

其中C(t)為電路輸出電壓，r(t)為電路輸入電壓，T=RC為時(shí)間常數(shù)。當(dāng)初使條件為零時(shí)，其傳遞函數(shù)為

這種系統(tǒng)實(shí)際上是一個(gè)非周期性的慣性環(huán)節(jié)。

下面分別就不同的典型輸入信號(hào)，分析該系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)。第16頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.2.1單位階躍響應(yīng)

Unit-StepResponseofFirst-orderSystem

因?yàn)閱挝浑A躍函數(shù)的拉氏變換為，則系統(tǒng)的輸出由下式可知為

對(duì)上式取拉氏反變換，得

注**：R(s)的極點(diǎn)形成系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量。傳遞函數(shù)的極點(diǎn)是產(chǎn)生系統(tǒng)響應(yīng)的瞬態(tài)分量。這一個(gè)結(jié)論不僅適用于一階線性定常系統(tǒng)，而且也適用于高階線性定常系統(tǒng)。響應(yīng)曲線在時(shí)的斜率為，如果系統(tǒng)輸出響應(yīng)的速度恒為，則只要t＝T時(shí)，輸出c(t)就能達(dá)到其終值。

第17頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由于c(t)的終值為1，因而系統(tǒng)階躍輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為零。

動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)：

第18頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.2.2一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

Unit-impulseresponseoffirst-ordersystems當(dāng)輸入信號(hào)為理想單位脈沖函數(shù)時(shí)，R(s)＝1，輸出量的拉氏變換與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相同，即

這時(shí)相同的輸出稱為脈沖響應(yīng)記作g(t)，因?yàn)?其表達(dá)式為

第19頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.2.3一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)

Unit-rampResponseoffirst-orderSystems

當(dāng)對(duì)上式求拉氏反變換，得：因?yàn)樗砸浑A系統(tǒng)跟蹤單位斜坡信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差為上式表明：①一階系統(tǒng)能跟蹤斜坡輸入信號(hào)。穩(wěn)態(tài)時(shí)，輸入和輸出信號(hào)的變化率完全相同

②由于系統(tǒng)存在慣性，從0上升到1時(shí)，對(duì)應(yīng)的輸出信號(hào)在數(shù)值上要滯后于輸入信號(hào)一個(gè)常量T，這就是穩(wěn)態(tài)誤差產(chǎn)生的原因。

③減少時(shí)間常數(shù)T不僅可以加快瞬態(tài)響應(yīng)的速度，還可減少系統(tǒng)跟蹤斜坡信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差。

第20頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.2.4一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)

上式表明，跟蹤誤差隨時(shí)間推移而增大，直至無(wú)限大。因此，一階系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)對(duì)加速度輸入函數(shù)的跟蹤。第21頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月表3-1一階系統(tǒng)對(duì)典型輸入信號(hào)的響應(yīng)輸入信號(hào)時(shí)域輸入信號(hào)頻域輸出響應(yīng)傳遞函數(shù)11(t)t微分

微分

等價(jià)關(guān)系：系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)；系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)積分的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的積分；積分常數(shù)由零初始條件確定。第22頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析

Transient-ResponseAnalysisandSteady-StateErrorAnalysisofSecond-orderSystems二階系統(tǒng)：凡以二階系統(tǒng)微分方程作為運(yùn)動(dòng)方程的控制系統(tǒng)。3.3.1二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型隨動(dòng)系統(tǒng)AServoSystem（位置控制系統(tǒng)）如圖3-6所示。第23頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月⑴該系統(tǒng)的任務(wù)：控制機(jī)械負(fù)載的位置。使其與參考位置相協(xié)調(diào)。⑵工作原理：用一對(duì)電位計(jì)作系統(tǒng)的誤差測(cè)量裝置，它們可以將輸入和輸出位置信號(hào)，轉(zhuǎn)換為與位置成正比的電信號(hào)。輸入電位計(jì)電刷臂的角位置，由控制輸入信號(hào)確定，角位置就是系統(tǒng)的參考輸入量，而電刷臂上的電位與電刷臂的角位置成正比，輸出電位計(jì)電刷臂的角位置，由輸出軸的位置確定。

第24頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月電位差就是誤差信號(hào)。

橋式電位器的傳遞函數(shù)該信號(hào)被增益常數(shù)為的放大器放大，（應(yīng)具有很高的輸入阻抗和很低的輸出阻抗）放大器的輸出電壓作用到直流電動(dòng)機(jī)的電樞電路上。電動(dòng)機(jī)激磁繞組上加有固定電壓。如果出現(xiàn)誤差信號(hào)，電動(dòng)機(jī)就產(chǎn)生力矩以轉(zhuǎn)動(dòng)輸出負(fù)載，并使誤差信號(hào)減少到零。

第25頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(3)當(dāng)激磁電流固定時(shí)，電動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的力矩（電磁轉(zhuǎn)距）為：

（3-10）電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)矩系數(shù)為電樞電流對(duì)于電樞電路（3-11）電動(dòng)機(jī)電樞繞組的電感和電阻。電動(dòng)機(jī)的反電勢(shì)常數(shù)，電動(dòng)機(jī)的軸的角位移。電動(dòng)機(jī)的力矩平衡方程為：（3-12）J:為電動(dòng)機(jī)負(fù)載和齒輪傳動(dòng)裝置，折合到電動(dòng)機(jī)軸上的組合轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。f:為電動(dòng)機(jī)負(fù)載和齒輪傳動(dòng)裝置，折合到電動(dòng)機(jī)軸上的粘性摩擦系數(shù)。

（3-13）第26頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月開環(huán)傳遞函數(shù)（即前向通路傳遞函數(shù)）因?yàn)榉答伝芈穫鬟f函數(shù)為1（3-14）如果略去電樞電感（3-15）增益阻尼系數(shù)，由于電動(dòng)機(jī)反電勢(shì)的存在，增大了系統(tǒng)的粘性摩擦。開環(huán)增益機(jī)電時(shí)間常數(shù)不考慮負(fù)載力矩，隨動(dòng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)簡(jiǎn)化為：（3-16）第27頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月不考慮負(fù)載力矩，隨動(dòng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)簡(jiǎn)化為：（3-16）相應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

（3-17）為了使研究的結(jié)果具有普遍意義，可將式（3-17