(完整版)相似三角形中幾種常見的輔助線作法(有輔助線)

(完整版)相似三角形中幾種常見的輔助線作法(有輔助線)可以得到DF/EF=FB/GB，又因?yàn)锽E=AD，所以可以得到FB/GB=AC/BC，代入前式得到DF/EF=AC/BC，即EF×BC=AC×DF，證畢。在證明等積式問題中，常常需要構(gòu)造相似三角形來得到比例式，從而證明等積式。為了構(gòu)造相似三角形，需要添加平行線，常見的輔助線有“A”“X”型的平行線。例如，在例1中，通過添加平行線構(gòu)造出“X”型的平行線，得到了相似三角形，從而得到了BE：EF的值。在例4中，通過構(gòu)造“A”型的平行線，得到了相似三角形，從而得到了EF×BC=AC×DF的等積式。例5：已知點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，過D點(diǎn)的直線交AC于E，交BA的延長線于F，求證：AF/AE=BF/CE。解析：由題意可知，DE是BC的中線，所以DE∥AB，因此AE/EC=AD/DB。又因?yàn)锳F/FE=AB/EC，BF/FE=CB/EA，所以AF/AE=AB/EC×FE/AF=AB/EC×FE/(FE+BF)=AB/EC×CB/EA=BF/CE。所以AF/AE=BF/CE，證畢。例6：已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是高，求證：BC2=2AC·CD。解析：由題意可知，AD=DC，所以AC=2AD。又因?yàn)锽D2=AB2-AD2=AB2-DC2，所以BC2=4BD2=4(AB2-DC2)=8AB2-8AC2=2AC·CD，證畢。例7：在三角形ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AC上的一點(diǎn)，連接ED且交AB的延長線于F點(diǎn)，求證：AE/EC=AF/BF。解析：由題意可知，DE是BC的中線，所以DE∥AB，因此AE/EC=AD/DB。又因?yàn)锳F/FE=AB/EC，BF/FE=CB/EA，所以AF/AE=AB/EC×FE/AF=AB/EC×FE/(FE+BF)=AB/EC×CB/EA=BF/CE。因?yàn)锽F+AF=AB，所以BF/AF=AB/AF-1，代入前式得到AE/EC=AF/BF-1，即AE/EC=AF/BF，證畢。例8：在三角形ABC中，AB=AC，AD是中線，P是AD上的一點(diǎn)，過C作CF∥AB，延長BP交AC于E，交CF于F，求證：BP2=PE·PF。解析：由題意可知，因?yàn)锳D是BC的中線，所以AD=DC，又因?yàn)锳B=AC，所以∠ADB=∠ACB，所以△ADB∽△ACB。因此，AE/EC=AD/DB=1/2，所以AE=EC/2。又因?yàn)镃F∥AB，所以∠ECF=∠ACB，所以△ECF∽△ACB，因此，EF/AC=CF/BC=CF/2AD。因?yàn)锽P/PE=BC/CE-1，PF/FE=AC/AE-1，所以BP2/PE=BC/CE×AC/AE=2AC×BC/2CE×2AE=AC×EF/CE=PF，證畢。例9：從ABCD的頂點(diǎn)C向AB和AD的延長線引垂線CE和CF，垂足分別為E、F，求證：AB·AE+AD·AF=AC2。解析：由題意可知，AM=AN，所以AC=2AM。因此，AB·AE+AD·AF=AB·AE+AD·(AC-AE)=AB·AE+AD·AC-AD·AE=AD·AC+AE·(AB-AD)=AD·AC+AE·BD=AD·AC+CE·CF=AC2，證畢。例10：在三角形ABC中，AC=BC，P是AB上的一點(diǎn)，Q是PC上的一點(diǎn)（不是中點(diǎn)），MN過Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求證：PA/PB=CM/CN。解析：由題意可知，PE和PF分別垂直于AC和BC，所以CEPF是矩形，因此，PF=CE，PE=CF。又因?yàn)镸N⊥CP，所以MN∥AB，因此，AQ/QC=AN/NC=AM/MB，所以AM/AC=AQ/(AQ+QC)=AQ/AC-1/2，MB/BC=QC/(AQ+QC)=1/2-AQ/AC，所以AM/MB=AQ/AC-1/AQ/AC-1/2=2AQ/AC-1，所以PA/PB=AM/MB=2AQ/AC-1，CM/CN=AC/2CN-1=2AQ/AC-1，證畢。EPEC即EPCM，所以RtΔPEC與RtΔMCN相似，得到（2）=CM/CN=EC/CC'=PBCN/CMCN。由（1）和（2）可得CM/CN=EC/CC'=PBCN/CMCN=ECCN/CMCN，即CM·CMCN=ECCN·CN，再代入（1）可得CM2=ECCN·DC/EC=2/7，所以△HBC的面積為27。在RtΔABC中，CD為斜邊AB上的高，E為CD的中點(diǎn)，AE的延長線交BC于F，F(xiàn)G交AB于G，要證明FG=CF·BF。雖然ΔBFG與ΔCFG不會(huì)相似，但由E為CD的中點(diǎn)，可以構(gòu)造與ΔBFG相似的三角形AFF'，其中F'為CE的延長線與AB的交點(diǎn)。連接FH，易證RtΔCFH∽RtΔGFB，所以FG·FH=CF·BF，又因?yàn)镕G=FH，所以FG2=CF·BF。在ΔABC中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC邊上，若BD=DC=EC