年銷售額的回歸模型預(yù)測

#附件2：課程設(shè)計(jì)任務(wù)書學(xué)生姓名：專業(yè)班級：指導(dǎo)教師：工作單位：題目：初始條件：要求完成的主要任務(wù)：（包括課程設(shè)計(jì)工作量及其技術(shù)要求，以及說明書撰寫等具體要求）時間安排:指導(dǎo)教師簽名：年月日系主任（或責(zé)任教師）簽名：年月日年銷售額的回歸模型預(yù)測【摘要】本文首先利用題目所給數(shù)據(jù)做出散點(diǎn)圖，分析自變量與因變量之間的線性關(guān)系，建立基本的線性回歸模型y+Px+￡[i]，對所建立的模型直接用MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱TOC\o"1-5"\h\zt01tt[2]求解，得到的回歸系數(shù)估計(jì)值及其置信區(qū)間（置信水平?-0.05）、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量R2,F,P[3]，將參數(shù)估計(jì)值代入初始模型得到$=-1.4548+0.17628x。tt但是這個模型沒有考慮到題目所給的數(shù)據(jù)是一個時間序列。實(shí)際上，在對時間序列數(shù)據(jù)作回歸分析時，模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)8有可能存在相關(guān)性。違背模型關(guān)于8（對t）tt相互獨(dú)立的基本假設(shè)。所以對原模型進(jìn)行自相關(guān)檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其隨機(jī)誤差存在正自相關(guān)，故對原模型作變量變換：y'二y-Py，x'=x-px得到新的模型：y'二卩'+卩'x'+u，ttt-1ttt-1t01tt其中，卩'=卩G-p）,p'=p。0011對新的模型利用MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱求解，并對新的模型也作一次自相關(guān)檢驗(yàn)，即診斷隨機(jī)誤差u是否還存在自相關(guān)，經(jīng)檢驗(yàn)認(rèn)為新的模型中隨機(jī)誤差不存在自相關(guān)。因t此經(jīng)變換所得到的回歸模型y'=P'+P'x'+u是適用的。TOC\o"1-5"\h\zt01tt最后，將模型y'=P'+卩'x'+u中的y'和x'還原為原始變量y和x，得到結(jié)果為：t01tttttt$=—0.3916+0.6326y+0.1737x—0.1099xtt-1tt-1關(guān)鍵詞：時間序列回歸模型統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)D—W檢驗(yàn)一、問題重述與分析1.1、問題提出某公司（記為A）想用全行業(yè)的銷售額作為自變量來預(yù)測公司的銷售額，表1給出了2006年?2010年公司銷售額和行業(yè)銷售額的分季度數(shù)據(jù)（單位:百萬元）。表1A公司的公司銷售額和行業(yè)銷售額的分季度數(shù)據(jù)（單位:百萬元）年季t公司銷售額y行業(yè)銷售額x年季t公司銷售額y行業(yè)銷售額x20061120.96127.3200831124.54148.32221.40130.041224.30146.43321.96132.7200911325.00150.24421.52129.421425.64153.120071522.39135.031526.36157.32622.76137.141626.98160.73723.48141.2201011727.52164.24823.66142.821827.78165.620081924.10145.531928.24168.721024.01145.342028.78171.71.2、問題分析表1的數(shù)據(jù)是以時間序列為序的，稱為時間序列。由于公司銷售額和行業(yè)銷售額等經(jīng)變量均有一定的滯后性，因此，在這樣的時間序列數(shù)據(jù)中，同一變量的順序觀測值之間出現(xiàn)相關(guān)現(xiàn)象（稱自相關(guān)）是很自然的。然而，一旦數(shù)據(jù)中存在這種自相關(guān)序列，如果仍采用普通的回歸模型直接處理，將會出現(xiàn)不良后果，其觀測也會失去意義，為此，我們必須先來診斷數(shù)據(jù)是否存在自相關(guān)，如果存在，就要考慮自相關(guān)關(guān)系，建立新的模型。二、模型假設(shè)根據(jù)題目所給出的數(shù)據(jù)信息，做出以下簡化假設(shè)：1、假設(shè)只考慮題目所給的信息，不考慮其他因素對公司銷售額的直接影響;2、假設(shè)其他各種隨機(jī)因素對公司銷售額的影響都?xì)w為隨機(jī)誤差；

三?模型的符號說明y:表示公司銷售額。tx:表示行業(yè)銷售額。t0:表示線性回歸模型的回歸系數(shù)。i￡：表示各種隨機(jī)因素對y的影響總和，稱為隨機(jī)誤差。tt冷：表示公司銷售額的估計(jì)值。t四、模型的建立與求解4.1、基本回歸模型的建立由于題目中所給數(shù)據(jù)較少，故將每年每季度的銷售額數(shù)據(jù)作為一個單獨(dú)研究的對象，將所有數(shù)據(jù)按年份和季度編號。記該公司的行業(yè)銷售額為x,公司銷售額為y,t=1,2,nG20）。利用MATLAB作出tt因變量y與自變量x的散點(diǎn)圖，如圖1。tt++++0126130135140145150155160165170175126130135140行業(yè)銷售額站圖1公司銷售額y與行業(yè)銷售額x的散點(diǎn)圖TOC\o"1-5"\h\ztt從圖1可以看出，隨著行業(yè)銷售額的增加，公司銷售額也增大，而且兩者有很強(qiáng)的線性關(guān)系，因此可以建立線性回歸模型y二B+Bx+s（1）t01tt上述線性回歸模型中除了行業(yè)銷售額外，影響的其他因素的作用包含在隨機(jī)誤差8t內(nèi)，這里假設(shè)8（對t）相互獨(dú)立，且服從均值為零的正態(tài)分布，t二1,2,…n.t對于初步估計(jì)的回歸模型能否客觀揭示所研究的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中諸因素之間的關(guān)系，是否符合變量之間的客觀規(guī)律性，引入所影響因素是否有效，變量之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系，模型能否付諸應(yīng)用，應(yīng)通過模型檢驗(yàn)決定。4.2、統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)（一）擬合優(yōu)度檢驗(yàn)（R2檢驗(yàn)）A、22A擬合優(yōu)度檢驗(yàn)是檢驗(yàn)回歸方程對樣本觀測值的擬合程度，即檢驗(yàn)所有解釋變量與被解釋變量之間的相關(guān)程度。檢驗(yàn)的方法是構(gòu)造一個可以表征擬合程度的指標(biāo)，這個指標(biāo)是通過對總變差（總離差）的分解而得到。A、22A其中S二工殘總變差平方和S是各個觀察值與樣本均值之差的平方和，反映了全部數(shù)據(jù)之間的總差異；殘差平方和S殘是總變差平方和中未被回歸方程解釋的部分，由解釋變量x,X,…X中未包含的一切因素對被解釋變量y的影響而造成的；回歸平方和S是總變12k回差平方和中由回歸方程解釋的部分。一個擬合得好的回歸模型，體現(xiàn)在總體平方和與回歸平方和的接近程度，即S總中S殘?jiān)叫≡胶?。于是采?=1-^殘6<R2<I）S總對回歸方程的擬合優(yōu)度進(jìn)行檢驗(yàn)。如果所有樣本觀測值都位于回歸方程上，即:

\2Ay-yii丿此時回歸方程完全擬合了樣本觀測值，R2等于1。如果R2越接近1,則說明回歸方程的擬合優(yōu)度越高。R2說明了在被解釋變量y的總變差中，由一組解釋變量x,x,…x的變動所引起的12k百分比。由于R2是一個隨解釋變量個數(shù)的增加而遞增的增函數(shù)，所以為使擬合優(yōu)度檢驗(yàn)指標(biāo)不僅能反映已被解釋的變差與總變差的關(guān)系，而且能反映回歸模型中所包含的解釋變量個數(shù)的影響，需要調(diào)整R2，記為R2。_2S(n-k-1)R2=1-TS/(n-1)丿總式中n-k-1為殘差平方和S的自由度，n-1為總變差平方和S的自由度。故可殘總得：R2=1-(-R2)n-1n—k—1由于擬合優(yōu)度并不是檢驗(yàn)回歸模型的唯一標(biāo)準(zhǔn)，在實(shí)際應(yīng)用中，為了使模型有較合理的經(jīng)濟(jì)解釋，可以在某種程度上犧牲擬合優(yōu)度。即模型合理的經(jīng)濟(jì)解釋是第一位的。方程顯著性檢驗(yàn)(F檢驗(yàn))方程顯著性檢驗(yàn)就是對模型中解釋變量與被解釋變量之間的線性關(guān)系在總體上是否顯著成立作出推斷。即檢驗(yàn)被解釋變量y與所有解釋變量x,x,…x之間的線性關(guān)系12k是否顯著，方程顯著性檢驗(yàn)所應(yīng)用的方法是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中假設(shè)檢驗(yàn)。檢驗(yàn)的原假設(shè)H與對立假設(shè)H1分別為：01H:H:p=p=?-=p=0001k至少有一個P不為零j應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論可以證明：S與S相互獨(dú)立，且當(dāng)H:p=p=???=p=0為真回殘001k時，S回與S殘分別服從自由度為k、"-11的”2分布，故有:F=(回)?F(k,n-k-1)S/G-k-1丿殘即F統(tǒng)計(jì)量服從以(,n-k-1)為自由度的F分布。首先根據(jù)樣本觀測值及回歸值計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量F，于是在給定的顯著性水平?下，若F>F（k,n-k-1）,則拒絕H,判定被解釋變量y與所有解釋變量x,x,…x之間的回a012k歸效果顯著，即確實(shí)存在線性關(guān)系；反之，則不顯著。（三）變量顯著性檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)）R2檢驗(yàn)和F檢驗(yàn)都是將所有的解釋變量作為一個整體來檢驗(yàn)它們與被解釋變量y的相關(guān)程度以及回歸效果，但對于多元回歸模型，方程的總體顯著性并不意味每個解釋變量對被解釋變量y的影響都是顯著的。如果某個解釋變量并不顯著，則應(yīng)該從方程中把它剔除，重新建立更為簡單的方程。所以必須對每個解釋變量進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。等價于對每個解釋變量檢驗(yàn)假設(shè)H:0二0H:0豐00j1j其中j=0,1,2,…k。應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論可以證明：當(dāng)H:0二0為真時，統(tǒng)計(jì)量t服從自由度為（-k-1）0jj的t分布，即：t=匚?t（H一k一1）j=0,1,2,…kjS在給定的顯著性水平a下，若|t>t（n-k-1），則拒絕H，說明解釋變量x對被1ja/20j解釋變量y有顯著影響，即x是影響y的主要因素；反之，接受H，說明解釋變量x對j0j被解釋變量y無顯著影響，則應(yīng)刪除該因素。當(dāng)影響y的主要因素只有一個變量x時，問題變成了一元回歸分析，此時t檢驗(yàn)和F檢驗(yàn)的作用是一樣的，因此可以不用再做F檢驗(yàn)了。4.3、模型的求解根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，對模型（1）直接用MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱求解，得到的回歸系數(shù)估計(jì)值及其置信區(qū)間（置信水平八0-05）、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量R2,F,P的結(jié)果見表2。表2模型（1）的計(jì)算結(jié)果參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間00-1.4548[-1.9047-1.0048]

卩10.17628[0.17320.1793]R2=1F=14888P=0.0000將參數(shù)估計(jì)值代入模型（1）得到Ay(2)=_1.4548+0.17628x結(jié)果分析：表2顯示，R2=1指因變量y幾乎100%可由模型確定，(2)=_1.4548+0.17628xt檢驗(yàn)的臨界值，P遠(yuǎn)小于，可以計(jì)算剩余標(biāo)準(zhǔn)差僅為0.081。因而模型（2）從整體上看是可用的。利用MATLAB中rstool命令也可得到相應(yīng)的結(jié)果，在rstool交互式畫面中點(diǎn)擊左下方的Export,可輸出模型的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，得剩余標(biāo)準(zhǔn)差s=0.081。產(chǎn)生的交互式畫面見圖2。PredictedY124.569

+/-

0.051307X1圖2回歸分析中的rstool交互式畫面X14.4、自相關(guān)性診斷與處理方法從表面上看得到的基本模型（2）的擬合度非常之高（R2二1），應(yīng)該很滿意了。但是這個模型沒有考慮到我們的數(shù)據(jù)是一個時間序列。實(shí)際上，在對時間序列數(shù)據(jù)作回歸分析時，模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)8有可能存在相關(guān)性。違背模型關(guān)于8（對t）相互獨(dú)立的tt基本假設(shè)。為了對8的自相關(guān)性作定量診斷，并在確診后得到新的結(jié)果，我們考慮如下t模型：(3)y=B+Bx+8(3)t01tt8=p8+utt—1t其中p是自相關(guān)系數(shù)，|p|Wl,u相互獨(dú)立且服從均值為零的正態(tài)分布。模型（3）

中若P二0，則退化為普通的回歸模型；若P>0，則隨機(jī)誤差8存在正的自相關(guān)；若tP<中若P二0，則退化為普通的回歸模型；若P>0，則隨機(jī)誤差8存在正的自相關(guān)；若tP<0，則隨機(jī)誤差8存在負(fù)的自相關(guān)。大多數(shù)與經(jīng)濟(jì)有關(guān)的時間序列數(shù)據(jù)，在經(jīng)濟(jì)規(guī)t律作用下，一般隨著時間的推移有一種向上或向下變動的趨勢，其隨機(jī)誤差表現(xiàn)出正相關(guān)性。D—W檢驗(yàn)是一種常用的診斷自相關(guān)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)方法。首先根據(jù)模型（2）得到的殘差計(jì)算DW統(tǒng)計(jì)量如下：工(e-e》tt—1DW=Ye2(4)tt=1其中n是觀察值個數(shù)，殘差e=y—夕為隨機(jī)誤差8的估計(jì)值。當(dāng)n較大時,ttttYeett—1■t=2Ye2tt=1(5)而（5）式右端e2正是自相關(guān)系數(shù)p的估計(jì)值p，t于是(6)DW沁2(1—P、(6)I丿由于—1<p<1，所以0<DW<4，并且，若p在0附近，則DW在2附近，8的t自相關(guān)性很弱；若P在土1附近，則DW接近0或4，8的自相關(guān)性很強(qiáng)。t要根據(jù)DW的具體數(shù)值確定8是否存在自相關(guān)，應(yīng)該在給定的檢驗(yàn)水平下，依照樣t本容量和回歸變量數(shù)目，查D—W分布表，得到檢驗(yàn)的臨界d和d，然后由表3中DWLu所在的區(qū)間來決定。表3與DW值對應(yīng)的自相關(guān)狀態(tài)DW值檢驗(yàn)結(jié)果0<DW<dL否定假設(shè)，存在正自相關(guān)d<DW<dLU檢驗(yàn)無結(jié)論（不能確定）d<DW<4—dUU接受假設(shè)，不存在自相關(guān)

4—d<DW<4—dUL檢驗(yàn)無結(jié)論（不能確定）4—d<DW<4L否定假設(shè)，存在負(fù)自相關(guān)從表3中可知，DW檢驗(yàn)存在無結(jié)論區(qū)域，當(dāng)計(jì)算的DW統(tǒng)計(jì)量落到無結(jié)論區(qū)域時，決策者就不能作出回歸模型是否存在自相關(guān)現(xiàn)象的結(jié)論。在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)DW統(tǒng)計(jì)量的值在2左右時，則無須查表檢驗(yàn)即可判定回歸模型不存在自相關(guān)，此時回歸模型有效。4.5、加入自相關(guān)后的模型根據(jù)（4）式可計(jì)算出DW二0.7347，對于顯著性水平a二0.01，n二20，q二1，查D—W分布表，得到檢驗(yàn)的臨界值d=0.95和d=1.15，現(xiàn)在DW<d，由表3可以認(rèn)TOC\o"1-5"\h\zLuL為隨機(jī)誤差存在正自相關(guān)，且P的估計(jì)值可由（6）式得。作變量變換：(7)(8)y'二y-Py(7)(8)ttt—1x'二x—pxttt—1則模型（3）化為:y'二卩'+P'x'+ut01tt其中，P'=PG—p)，p'=p0011以p的估計(jì)值代入（7）式作變換，利用變換后的數(shù)據(jù)y'，x'估計(jì)模型（8）的參數(shù)，得tt到的結(jié)果見表4,可以得到其剩余標(biāo)準(zhǔn)差為0.067.表4模型（8）的計(jì)算結(jié)果變換變量y'二y—py和x'二x—pxttt—1ttt—1回歸系數(shù)估計(jì)回歸系數(shù)置信區(qū)間p'0b'=—0.39160[-0.7441-0.0390]p'1b'=0.17371[0.16750.1800]R2二1F二3432.3P二0.0000對模型（8）也作一次自相關(guān)檢驗(yàn)，即診斷隨機(jī)誤差u是否還存在自相關(guān)，從模型t（8）的殘差可計(jì)算出DW二1.6519，對于顯著性水平a二0.01、q二1以及n二19時，檢驗(yàn)的臨界值為d=0.93，d二1.13，故d<DW<4-d，所以可以認(rèn)為隨機(jī)誤差不存在TOC\o"1-5"\h\zLuuu自相關(guān)。因此經(jīng)變換（7）所得到的回歸模型（8）是適用的。最后，將模型（8）中的y'和x'還原為原始變量y和x，得到結(jié)果為：tttt9=-0.3916+0.6326y+0.1737x-0.1099x（9）tt—1tt—14.6、結(jié)果分析及預(yù)測從機(jī)理上看，對于帶滯后性的經(jīng)濟(jì)規(guī)律作用下的時間序列數(shù)據(jù)，加入自相關(guān)的模型（9）更為合理，而且在本例中，衡量與實(shí)際數(shù)據(jù)擬合程序的指標(biāo)——剩余標(biāo)準(zhǔn)差從模型（2）的0.081減少到0.0671。當(dāng)用模型（9）對公司的銷售額y作預(yù)測時，先估計(jì)t未來的全行業(yè)銷售額x，比如，設(shè)t=21時，x=174.1，容易由模型（9）得到9=29.1860。ttt五、模型的意義和推廣企業(yè)預(yù)測是企業(yè)編制計(jì)劃、做出正確決策的重要前提。預(yù)測的目的是為企業(yè)經(jīng)營規(guī)劃和決策提供信息。企業(yè)為了規(guī)劃經(jīng)營活動，必須對各項(xiàng)重要的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)如銷售、利潤、成本、資金等進(jìn)行科學(xué)的預(yù)測，以便對未來的經(jīng)營發(fā)展趨勢做出正確的分析與判斷。回歸分析預(yù)測法是通過預(yù)測對象和影響因素的統(tǒng)計(jì)整理和分析，找出