第九講結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題的有限元法

第九講結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題的有限元法第1頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月工程中受動載荷的產(chǎn)品：受道路載荷的汽車；受風(fēng)載的雷達(dá)；受海浪沖擊的海洋平臺；受偏心離心力作用的旋轉(zhuǎn)機械等。動態(tài)分析的必要性：當(dāng)產(chǎn)品受到隨時間變化的動載荷時，需要進行動態(tài)分析，以了解產(chǎn)品動態(tài)特性。第2頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月第3頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月動載荷（又稱動力分析）固有特性分析響應(yīng)分析固有頻率振型位移響應(yīng)速度響應(yīng)加速度響應(yīng)動應(yīng)變動應(yīng)力第4頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月固有特性：是一組模態(tài)參數(shù)構(gòu)成，它由結(jié)構(gòu)本身（質(zhì)量與剛度分布）決定，而與外部載荷無關(guān)，但決定了結(jié)構(gòu)對動載荷的響應(yīng)；響應(yīng)分析：是計算結(jié)構(gòu)對給定動載荷的各種響應(yīng)特性。第5頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)動態(tài)分析有限元法的特點一、載荷特點結(jié)構(gòu)所受的載荷是隨時間變化的動載荷。這是與靜力分析的一個根本區(qū)別。二、位移特點

1、節(jié)點位移{q}不僅是坐標(biāo)的函數(shù)，而且也是時間的函數(shù)。仍以節(jié)點位移{q}作為基本未知量。

2、節(jié)點具有速度加速度。

第6頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月3、利用節(jié)點位移插值表示單元內(nèi)任一點的位移一般仍采用與靜力分析相同的形函數(shù)，[N]。當(dāng)單元數(shù)量較多時，上述插值可以得到較好的插值精度。4、在線彈性條件下，單元內(nèi)的應(yīng)變和應(yīng)力與節(jié)點位移的關(guān)系仍為但這時的位移、應(yīng)變和應(yīng)力都是某一時刻的瞬時值，它們都是隨時間t變化的函數(shù)。第7頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月5、由于節(jié)點具有速度和加速度，結(jié)構(gòu)將受到阻尼和慣性力的作用。根據(jù)達(dá)朗伯原理，引入慣性力和阻尼力之后結(jié)構(gòu)仍處于平衡狀態(tài)，因此動態(tài)分析中仍可采用虛位移原理來建立單元特性方程，然后再集成。整個結(jié)構(gòu)的平衡方程為式又稱運動方程，它不再是靜力問題那樣的線性方程，而是一個二階常微分方程組。求解過程復(fù)雜，建立有限元模型時要特別注意控制模型規(guī)模。第8頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)動態(tài)分析有限元法的一般步驟第9頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月一、結(jié)構(gòu)離散該步驟與靜力分析完全相同，只是應(yīng)該分析內(nèi)容不同，對網(wǎng)格形式的要求有可能不一樣。靜力分析：要求在應(yīng)力集中部位加密網(wǎng)格；動態(tài)分析：由于固有頻率和振型主要與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度分布有關(guān)，要求整個結(jié)構(gòu)采用盡可能均勻的網(wǎng)格形式。第10頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月二、單元分析單元分析的任務(wù)仍是建立單元特性矩陣，形成單元特性方程。動態(tài)分析中，單元特性矩陣：剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣。動態(tài)分析中，仍采用虛位移原理建立單元特性矩陣。第11頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月在動載荷作用下，對于任一瞬時，設(shè)單元節(jié)點發(fā)生虛位移，則單元內(nèi)也產(chǎn)生相應(yīng)的虛位移和虛應(yīng)變。單元內(nèi)產(chǎn)生的虛應(yīng)變能為:單元除受動載荷外，還有加速度和速度引起的慣性力和阻尼力，其中ρ為材料密度，v是線性阻尼系數(shù)。外力所做的虛功為：式中，{Pv}、{Ps}、{Pc}分別為作用于單元上的動態(tài)體力、動態(tài)面力和動態(tài)集中力；V為單元面積；A為單元面積。第12頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月由于且形函數(shù)僅為坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)，與時間無關(guān)，因此有根據(jù)虛位移原理，有代入經(jīng)整理，可得單元運動方程為第13頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月式中分別稱為單元的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣，它們就是決定單元動態(tài)性能的特性矩陣。稱為單元節(jié)點動載荷列陣，它是作用在單元上的體力、面力和集中力向單元節(jié)點移置的結(jié)果。在動態(tài)分析和靜力分析中，單元的剛度矩陣是相同的，外部載荷的移置原理也一樣。第14頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月單元質(zhì)量矩陣根據(jù)其形成過程分為一致質(zhì)量陣和集中質(zhì)量陣，各有自身的優(yōu)點和缺點。1.一致質(zhì)量矩陣在離散后的結(jié)構(gòu)中，取出一個單元，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，單位體積上作用的慣性力為：慣性力是分布力，按分布力向節(jié)點等效的原則和實施過程，有：第15頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月1.一致質(zhì)量矩陣于是，令第16頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月1.一致質(zhì)量矩陣的計算式是通式，并因為計算質(zhì)量矩陣和剛度矩陣使用的形狀函數(shù)一致，因此被稱為一致質(zhì)量陣。2.集中質(zhì)量矩陣在工程實際中，為了求解方便，有人把單元質(zhì)量平均分到單元的各個節(jié)點上，如平面三角形單元的質(zhì)量可分配為：第17頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月2.集中質(zhì)量矩陣單元質(zhì)量矩陣為：3.常用單元的一致質(zhì)量矩陣●一次桿單元第18頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月3.常用單元的一致質(zhì)量矩陣●二次桿單元第19頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月3.常用單元的一致質(zhì)量矩陣●三次梁單元第20頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月3.常用單元的一致質(zhì)量矩陣●三角形平面問題單元第21頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月3.常用單元的一致質(zhì)量矩陣●矩形平面問題單元第22頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月在動態(tài)分析中，單元的質(zhì)量矩陣通常采用以下兩種形式。1、一致質(zhì)量矩陣按形成的單元質(zhì)量矩陣稱為一致質(zhì)量矩陣，因為它采用了和剛度一致的形函數(shù)。這種質(zhì)量矩陣取決于單元的類型和形函數(shù)的形式。第23頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月2、集中質(zhì)量矩陣集中質(zhì)量矩陣將單元的分布質(zhì)量按等效原則分配在各個節(jié)點上，等效原則就是要求不改變原單元的質(zhì)量中心，這樣形成的質(zhì)量矩陣稱為集中質(zhì)量矩陣。集中質(zhì)量矩陣是一個對角陣，第24頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月集中質(zhì)量矩陣：是一個對角陣，因而可簡化動態(tài)計算，減小存儲容量。利用這種矩陣計算出的結(jié)構(gòu)固有頻率偏低。不過有限元模型本身比實際結(jié)構(gòu)偏剛，兩者相互補償，計算出的固有頻率反而更接近真實值。一致質(zhì)量矩陣：由于分布較合理，因此可以求得更精確的振型，另外，整個模型的質(zhì)量分布還受網(wǎng)格劃分形式的影響。第25頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月二、單元阻尼矩陣的計算

阻尼矩陣非常復(fù)雜，主要是阻尼本身的復(fù)雜性引起的，一般均為假設(shè)，如阻尼力正比于單元的運動速度，此時得到的阻尼矩陣正比于單元質(zhì)量矩陣；也可以假設(shè)阻尼力正比于單元的應(yīng)變速度，此時得到的阻尼矩陣則正比于單元剛度矩陣，還有一些其他類型的假設(shè)，如上述兩者的組合，分別有：第26頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月二、單元阻尼矩陣的計算

對于組合阻尼，如已知結(jié)構(gòu)的阻尼比及結(jié)構(gòu)的固有頻率，其計算方法有：如果則第27頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月三、總體矩陣集成總體矩陣集成的任務(wù)是將各單元特性矩陣裝配成整個結(jié)構(gòu)的特性矩陣，從而建立整體平衡方程，即式中，{q}為所以節(jié)點位移分量組成的n階列陣，n為結(jié)構(gòu)總自由度數(shù)；（i為節(jié)點數(shù)），稱為節(jié)點載荷列陣；[K]、[M]、[C]分別為結(jié)構(gòu)的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣。第28頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月其中[K]與靜力分析中的總剛度矩陣完全相同，矩陣[M]、[C]也采用與[K]相同的集成方式，即矩陣[K]、[M]和[C]均為n階對稱陣。第29頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月四、固有特性分析結(jié)構(gòu)的固有特性由結(jié)構(gòu)本身決定，與外部載荷無關(guān)，它由一組模態(tài)參數(shù)定量描述。包括：固有頻率、模態(tài)振型、模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度和模態(tài)阻尼比等。

機械結(jié)構(gòu)的振動固有頻率和振型問題，在有限元方法求解，對應(yīng)的數(shù)學(xué)問題既是矩陣的特征值和特征向量問題。固有特性分析就是對模態(tài)參數(shù)進行計算，其目的一是避免結(jié)構(gòu)出現(xiàn)共振和有害的振型，二是為響應(yīng)分析提供必要依據(jù)。第30頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

由于固有特性與外載荷無關(guān)，且阻尼對固有頻率和振型影響不大，因此可通過無阻尼自由振動方程計算固有特性。式中，ω為簡諧振動圓頻率；{Φ}為節(jié)點振幅列向量。由于自由振動可分解為一系列簡諧振動的疊加，因此上式的解可設(shè)為第31頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

將解代入振動方程中，同時消去因子ejωt，可得振型{Φi}是結(jié)構(gòu)按頻率ωi振動時各自由度方向振幅間的相對比例關(guān)系，它反映了結(jié)構(gòu)振動的形式，并不是振幅的絕對大小。上式為一廣義特征問題。根據(jù)線性代數(shù)可知，求解該問題可以求出n個特征值和相對應(yīng)的n個特征向量。其中特征值ωi(i=1,2,…..,n)就是結(jié)構(gòu)的i階固有頻率，特征向量{Φi}i(i=1,2,…..,n)就是結(jié)構(gòu)的i階模態(tài)振型。第32頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

固有特性分析實際上就是求解廣義特征值問題。求解的數(shù)值方法主要有1、變換法基本思想是通過一系列矩陣變換，將矩陣[M][K]化為對角陣，變換后的特征值不變，即原問題與特征值問題具有相同的特征值。先求特征值，再求特征向量，而且是一次性求出所以特征值和特征向量。該方法主要用于一些小型問題的求解。第33頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

2、迭代法是對一選取的初始向量和迭代公式求一向量序列使它收斂于與絕對值最大的特征值相應(yīng)的特征向量，在滿足收斂精度時，以作為的特征量，再求出相應(yīng)的特征值。先求特征向量，再求特征值，且從低階到高階依次求出各階特征對，該法只適合求解3～5個低階特征對。子空間迭代法，求大型結(jié)構(gòu)的少數(shù)特征對。這種方法用于求解基頻或最高階頻是很有效的，并且能得到相應(yīng)的特征向量第34頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月即有●迭代步驟令代入求得再代入以此類推收斂條件第35頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月兩邊同左乘，得到在計算過程中，引入?yún)?shù)將其代入無阻尼自由振動運動方程，則有在工程實際中，人們一般關(guān)心的主要是結(jié)構(gòu)的低階頻率。因此，在進行迭代過程中作適當(dāng)?shù)淖儞Q，使矩陣不按為特征值進行迭代，而是按為特征值進行迭代，從而得到的最大值，也是的最小值。第36頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月依次類推采用前述的迭代步驟，用代替，即可得到值直到停止迭代得到此時為低階特性第37頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月五、響應(yīng)分析響應(yīng)分析的目的是計算結(jié)構(gòu)在動載荷作用下，節(jié)點位移、速度和加速度的變化規(guī)律。因此響應(yīng)分析的任務(wù)就是求解二階常微分方程組，求解主要有1、振型疊加法根據(jù)結(jié)構(gòu)振動理論，在動載荷作用下，結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)可以表示為其各階主模態(tài)振型的線性疊加，即2、直接積分法是一種純粹的數(shù)值方法。連續(xù)時間區(qū)域離散為n＋1離散點時間間隔T/n每個時間間隔上的狀態(tài)向量第38頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月瞬態(tài)分析-術(shù)語和概念

求解方法求解運動方程直接積分法模態(tài)疊加法隱式積分顯式積分完整矩陣法縮減矩陣法完整矩陣法縮減矩陣法第39頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月五、約束處理和求解線性方程組

第40頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月制作振型動畫：PlotCtrls>Animate>ModeShape...循環(huán)對稱結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析

觀察結(jié)果（接上頁）典型命令：ANMODE，10，0.05第41