第十章 散度旋度曲線積分

2013-2014學(xué)年第二學(xué)期期中考試知識點求全微分多元函數(shù)連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)存在,可微,偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)之間的關(guān)系求曲面的切平面方程求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)二重積分的計算各種方法計算三重積分各類積分的對稱性第一類曲線積分的計算計算曲線型構(gòu)件的質(zhì)心第二類曲線積分的計算格林公式曲線積分與路徑無關(guān)的條件

解全微分方程第一類曲面積分的計算第二類曲面積分的計算高斯公式各類積分的幾何、物理背景三、向量場的散度設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的密度為1,速度場為理意義可知,設(shè)為場中任一有向曲面,單位時間通過曲面的流量為則由對坐標(biāo)的曲面積分的物若為方向向外的閉曲面,

當(dāng)

>0時,說明流入的流體質(zhì)量少于當(dāng)

<0時,說明流入的流體質(zhì)量多于流出的,則單位時間通過的流量為當(dāng)

=0時,說明流入與流出的流體質(zhì)量相等.流出的,表明內(nèi)有源（正源）;表明

內(nèi)有洞（負源）;注：反映了內(nèi)源的性質(zhì)和強度定義:設(shè)有向量場divergence

M(x,y,z)為場內(nèi)一點

稱此極限值為向量場A

在點M

的散度，記為方向向外的任一閉曲面

,

記所圍域為,是包含點

M且的體積為V,如果極限存在表明該點處有正源,表明該點處有負源,表明該點處無源,散度絕對值的大小反映了源的強度.若向量場A

處處有,則稱A

為無源場.例如,

勻速場故它是無源場.注:

散度是通量對體積的變化率,且定理:設(shè)有向量場其中P,Q,R

具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則

證：注：1．高斯公式：2．性質(zhì)例.置于原點,電量為q

的點電荷產(chǎn)生的場強為解:

計算結(jié)果與僅原點有點電荷的事實相符.

第七節(jié)斯托克斯公式與旋度個空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),的側(cè)與

的正向符合右手法則,在包含在內(nèi)的一例.

為柱面與平面y=z

的交線,從z軸正向看為順時針,計算解:設(shè)為平面z=y

上被所圍橢圓域,且取下側(cè),利用斯托克斯公式得則其法線方向余弦二、空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件定理.設(shè)G

是空間一維單連通域,具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則下列四個條件相互等價:(1)對G內(nèi)任一分段光滑曲線

,與路徑無關(guān)(2)在G內(nèi)存在某一函數(shù)u,使(3)在G內(nèi)處處有(4)對G內(nèi)任一分段光滑閉曲線,有與路徑無關(guān),并求函數(shù)解:

令

積分與路徑無關(guān),因此例.

驗證曲線積分三、環(huán)流量與旋度曲線L的單位切向量為稱為向量場A定義:沿有向閉曲線的環(huán)量.環(huán)量密度:rotation向量rotA

稱為向量場A的旋度:定理:若則向量場A

產(chǎn)生的旋度場穿過的通量為向量場A沿的環(huán)流量斯托克斯公式的物理意義:的外法向量,計算解:

例.設(shè)曲線積分曲面積分1.第一類曲線積分2.第二類曲線積分3.第一類曲面積分4.第二類曲面積分（曲面薄板質(zhì)量）（物質(zhì)曲線質(zhì)量）（變力作功、環(huán)量）（通量）第十章曲線積分與曲面積分知識總結(jié)?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧(1)利用參數(shù)方程化為定積分1.第一類曲線積分的計算例.

計算其中L是拋物線與點

B(1,1)之間的一段弧.解:上點O(0,0)推廣:

設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為則(2)要結(jié)合利用第一類曲線積分的性質(zhì)簡化計算曲線L方程可帶入被積函數(shù)可使用對稱性與輪換對稱性第一類曲線積分對稱性與輪換對稱性當(dāng)區(qū)域關(guān)于x軸對稱,函數(shù)關(guān)于y

有奇偶性時,仍有類似結(jié)果.例.

計算其中

為球面被平面所截的圓周.解:由對稱性可知例.設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為求它的質(zhì)心.解:

設(shè)其密度為

ρ(常數(shù)).L的質(zhì)量而故重心坐標(biāo)為例.L為球面面的交線,求其形心.在第一卦限與三個坐標(biāo)解:

如圖所示,交線長度為由對稱性,形心坐標(biāo)為2．第二類曲線積分的計算(1)利用參數(shù)方程化為定積分(3)曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件(2)格林公式和斯托克斯公式?對有向光滑弧(1)利用參數(shù)方程化為定積分?

對有向光滑弧?

對有向光滑弧例.計算其中L為沿拋物線解法1

取x

為參數(shù),則解法2取y

為參數(shù),則從點的一段.例.計算其中L為(1)半徑為a

圓心在原點的上半圓周,方向為逆時針方向;(2)從點A(a,0)沿x軸到點

B(–a,0).解:(1)