數(shù)學(xué)建模數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(DEA)詳細(xì)教程

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）9/13/20231數(shù)據(jù)包絡(luò)分析是線性規(guī)劃模型的應(yīng)用之一，常被用來衡量擁有相同目標(biāo)的運(yùn)營單位的相對效率。數(shù)據(jù)包絡(luò)分析是一種基于線性規(guī)劃的用于評價(jià)同類型組織（或項(xiàng)目）工作績效相對有效性的特殊工具手段。這類組織例如學(xué)校、醫(yī)院、銀行的分支機(jī)構(gòu)、超市的各個(gè)營業(yè)部等，各自具有相同（或相近）的投入和相同的產(chǎn)出。衡量這類組織之間的績效高低，通常采用投入產(chǎn)出比這個(gè)指標(biāo)，當(dāng)各自的投入產(chǎn)出均可折算成同一單位計(jì)量時(shí)，容易計(jì)算出各自的投入產(chǎn)出比并按其大小進(jìn)行績效排序。

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析概述

9/13/20232數(shù)據(jù)包絡(luò)分析概述但當(dāng)被衡量的同類型組織有多項(xiàng)投入和多項(xiàng)產(chǎn)出，且不能折算成統(tǒng)一單位時(shí)，就無法算出投入產(chǎn)出比的數(shù)值。例如，大部分機(jī)構(gòu)的運(yùn)營單位有多種投入要素，如員工規(guī)模、工資數(shù)目、運(yùn)作時(shí)間和廣告投入，同時(shí)也有多種產(chǎn)出要素，如利潤、市場份額和成長率。在這些情況下，很難讓經(jīng)理或董事會(huì)知道，當(dāng)輸入量轉(zhuǎn)換為輸出量時(shí)，哪個(gè)運(yùn)營單位效率高，哪個(gè)單位效率低。因而，需采用一種全新的方法進(jìn)行績效比較。這種方法就是二十世紀(jì)七十年代末產(chǎn)生的數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）。DEA方法處理多輸入，特別是多輸出的問題的能力是具有絕對優(yōu)勢的。9/13/20233

1978年，著名運(yùn)籌學(xué)家、美國德克薩斯大學(xué)教授A.Charnes及W.W.Cooper和E.Rhodes發(fā)表了一篇重要論文：“Measuringtheefficiencyofdecisionmakingunits”（決策單元的有效性度量），刊登在權(quán)威的“歐洲運(yùn)籌學(xué)雜志”上。正式提出了運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)新領(lǐng)域：數(shù)據(jù)包絡(luò)分析，其模型簡稱C2R模型。該模型用以評價(jià)部門間的相對有效性（因此被稱為DEA有效）。數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）源起DEA模型是直接使用輸入、輸出數(shù)據(jù)建立非參數(shù)的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型。9/13/20234數(shù)據(jù)包絡(luò)分析應(yīng)用現(xiàn)狀DEA的優(yōu)點(diǎn)吸引了眾多的應(yīng)用者，應(yīng)用范圍已擴(kuò)展到美國軍用飛機(jī)的飛行、基地維修與保養(yǎng)，以及陸軍征兵、城市、銀行等方面．目前，這一方法應(yīng)用的領(lǐng)域正在不斷地?cái)U(kuò)大。它也可以用來研究多種方案之間的相對有效性（例如投資項(xiàng)目評價(jià)）；研究在做決策之前去預(yù)測一旦做出決策后它的相對效果如何（例如建立新廠后，新廠相對于已有的一些工廠是否為有效)。DEA模型甚至可以用來進(jìn)行政策評價(jià)。9/13/20235數(shù)據(jù)包絡(luò)分析應(yīng)用現(xiàn)狀最引人注目的研究是把DEA與其它評價(jià)方法進(jìn)行比較。例如將DEA應(yīng)用于北卡羅來納州各醫(yī)院的有效性評價(jià)。已有的按計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方式給出的回歸生產(chǎn)函數(shù)認(rèn)為，此例中不存在規(guī)模收益。DEA的研究發(fā)現(xiàn)，盡管使用同樣的數(shù)據(jù)，回歸生產(chǎn)函數(shù)不能象DEA那樣正確測定規(guī)模收益．其關(guān)鍵在于：DEA和回歸方法雖然都使用給定的同樣數(shù)據(jù)，但使用方式不一樣；DEA致力于每個(gè)單個(gè)醫(yī)院的優(yōu)化，而不是對整個(gè)集合的統(tǒng)計(jì)回歸優(yōu)化。在其它的研究中，例如在評價(jià)醫(yī)院經(jīng)營有效性時(shí)，將DEA與馬薩諸塞州有效性評定委員會(huì)使用的比例方法進(jìn)行了比較，當(dāng)使用模擬方法對DEA進(jìn)行檢驗(yàn)后認(rèn)為，盡管由回歸函數(shù)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)有利于回歸方法的使用，但是DEA方法顯得更有效．9/13/20236數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）模型簡介DEA是使用數(shù)學(xué)規(guī)劃（包括線性規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)劃、具有錐形結(jié)構(gòu)的廣義最優(yōu)化、半無限規(guī)劃、隨機(jī)規(guī)劃等）模型，評價(jià)具有多個(gè)輸入、特別是多個(gè)輸出的“部門”或“單位”（稱為“決策單元”，簡記DMU）間的相對有效性（稱為DEA有效）。實(shí)際上“效率”或“相對有效性”的概念也是指產(chǎn)出與投入之比，不過是加權(quán)意義之下的產(chǎn)出投入比。根據(jù)對各DMU觀察的數(shù)據(jù)判斷DMU是否為DEA有效，本質(zhì)上是判斷DMU是否位于可能集的“生產(chǎn)前沿面”上。9/13/20237在DEA中一般稱被衡量績效的組織為決策單元（decisionmakingunit——DMU）。設(shè)：n個(gè)決策單元（j=1，2，…，n）

每個(gè)決策單元有相同的m項(xiàng)投入（輸入）（i=1，2，…，m）

每個(gè)決策單元有相同的s項(xiàng)產(chǎn)出（輸出）（r=1，2，…，s）

Xij——第j決策單元的第i項(xiàng)投入

yrj——第j決策單元的第r項(xiàng)產(chǎn)出衡量第j0

決策單元是否DEA有效數(shù)據(jù)包絡(luò)分析基本概念9/13/20238

決策單元

12…n投入項(xiàng)目12…m

X11X12…X1nX21X22…X2n…………Xm1Xm2…Xmn

12…n決策單元

y11y12…y1ny21y22…y2n…………ys1ys2…ysn12…s產(chǎn)出項(xiàng)目9/13/20239輸入型與輸出型的DEA模型Input-DEA模型：基于投入的技術(shù)效率，即在一定產(chǎn)出下，以最小投入與實(shí)際投入之比來估計(jì)?；蛘哒f，決策者追求的傾向是輸入的減少，即求θ的最小。Output-DEA模型：基于產(chǎn)出的技術(shù)效率，即在一定的投入組合下，以實(shí)際產(chǎn)出與最大產(chǎn)出之比來估計(jì)?；蛘哒f，決策者追求的傾向是輸出的增大，即求z的最大。9/13/202310C2R模型9/13/202311C2R的對偶輸入模型模型9/13/202312C2R的對偶輸出模型模型9/13/202313BC2的對偶輸入模型模型Banker,CharnesandCooper(1984)9/13/202314衡量某一決策單元j0是否DEA有效——是否處于由包絡(luò)線組成的生產(chǎn)前沿面上，先構(gòu)造一個(gè)由n個(gè)決策單元組成（線性組合成）的假想決策單元。如果該假想單元的各項(xiàng)產(chǎn)出均不低于

j0

決策單元的各項(xiàng)產(chǎn)出，它的各項(xiàng)投入均低于

j0決策單元的各項(xiàng)的各項(xiàng)投入。即有：

構(gòu)建DEA模型的思路∑

j

yrj≥yrj0

（r=1，2，…，s）∑

j

xij≤Exij0

（i=1，2，…，m，E＜1）∑

j=1，j≥0（j=1，2，…，n）j=1j=1j=1nnn這說明

j0

決策單元不處于生產(chǎn)前沿面上。9/13/202315基于上述事實(shí)，可以寫出如下線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型：minE

S.t.∑

j

yrj≥yrj0

（r=1，2，…，s）∑

j

xij≤Exij0

（i=1，2，…，m）∑

j=1，j≥0（j=1，2，…，n）j=1j=1j=1nnn結(jié)果分析：1、當(dāng)求解結(jié)果有E＜1

時(shí)，則j0決策單元非DEA有效；2、否則，則j0決策單元DEA有效。9/13/202316具有非阿基米德無窮小量的C2R對偶輸入模型9/13/202317例1：考慮具有4個(gè)決策單元，2個(gè)輸入和1個(gè)輸出，相應(yīng)的輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)由下表給出：3343132123411211219/13/202318考察DMU1，取ε＝10－59/13/202319最優(yōu)解為所以，DMU1為DEA有效。9/13/202320DEA有效性的判斷對具有非阿基米德無窮小量的C2R對偶輸入模型，可以根據(jù)以下規(guī)則判斷DEA有效性：若θ<1,則DMUj0不為弱DEA有效；若θ＝1,則DMUj0僅為弱DEA有效；若θ＝1,則DMUj0為DEA有效；9/13/202321關(guān)于DEA模型的基本定理存在性定理：至少存在一個(gè)決策單元，它是DEA有效的。有效性與量綱選取無關(guān)定理：決策單元的DEA有效性與輸入和輸出量綱的選取無關(guān)。有效性與DMU同倍“增長”無關(guān)定理：決策單元的DEA有效性與決策單元對應(yīng)的輸入和輸出同倍“增長”無關(guān)。9/13/202322生產(chǎn)前沿面生產(chǎn)前沿面實(shí)際上是指由觀察到的決策單元的輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)的包絡(luò)面的有效部分，這也是稱謂“數(shù)據(jù)包絡(luò)分析”的原因所在。決策單元為DEA有效，也即相應(yīng)于生產(chǎn)可能集而言，以投入最小、產(chǎn)出最大為目標(biāo)的Pareto最優(yōu)。因此，生產(chǎn)前沿面即為Pareto面（Pareto最優(yōu)點(diǎn)構(gòu)成的面）。9/13/202323技術(shù)有效與規(guī)模有效技術(shù)有效：輸出相對輸入而言已達(dá)最大，即該決策單元位于生產(chǎn)函數(shù)的曲線上。（其實(shí)這就是前面一直提到的相對有效性，注意，技術(shù)有效于純技術(shù)有效是不同的，有文獻(xiàn)指出，技術(shù)效率等于純技術(shù)效率與規(guī)模效率的乘積）規(guī)模有效：指投入量既不偏大，也不過小，是介于規(guī)模收入收益由遞增到遞減之間的狀態(tài)，即處于規(guī)模收益不變的狀態(tài)。9/13/202324DMU1DMU2DMU3DMU4xyoDMU1、DMU2、DMU3都處于技術(shù)有效狀態(tài)；DMU1不為規(guī)模有效，實(shí)際上它處于規(guī)模收益遞增狀態(tài)；DMU3不為規(guī)模有效，實(shí)際上它處于規(guī)模收益遞減狀態(tài)；DMU2是規(guī)模有效的。如果用DEA模型來判斷DEA有效性，只有DMU2對應(yīng)的最優(yōu)值θ0＝1。可見，在C2R模型下的DEA有效，其經(jīng)濟(jì)含義是：既為“技術(shù)有效”，也為“規(guī)模有效”。9/13/202325例2：碩士點(diǎn)教育質(zhì)量評價(jià)某系統(tǒng)工程研究所對我國金屬熱處理專業(yè)的26個(gè)碩士點(diǎn)的教育質(zhì)量，進(jìn)行了有效性評價(jià)。評價(jià)采用的指標(biāo)體系為：輸入：導(dǎo)師人數(shù)；實(shí)驗(yàn)設(shè)備；圖書資料；學(xué)生入學(xué)情況。輸出：科研成果；論文篇數(shù)；學(xué)生畢業(yè)時(shí)的情況。

相對有效性評價(jià)問題舉例9/13/202326例3：行風(fēng)（行業(yè)作風(fēng)）建設(shè)有效性評價(jià)本項(xiàng)目研究人員選定江蘇省S市交通客運(yùn)系統(tǒng)作為對象，包括7家交通客運(yùn)汽車公司。選定了輸入指標(biāo)4項(xiàng)，輸出指標(biāo)4項(xiàng)。分別是：輸入指標(biāo)：1、年末職工總數(shù)（單位：人）；

2、單位成本（單位：元/千人公里）；

3、燃料單位消耗（單位：升/千人公里）；

4、行車責(zé)任事故率（單位：次/千人公里）。輸出指標(biāo)：1、勞動(dòng)生產(chǎn)率（單位：元/人）；

2、行車準(zhǔn)點(diǎn)率（%）；

3、群眾滿意率（按問卷調(diào)查）（%）

4、車輛服務(wù)合格率（包括：服務(wù)態(tài)度、服務(wù)措施、車輛設(shè)施等）（%）

相對有效性評價(jià)問題舉例9/13/202327例4：銀行分理處相對有效性評價(jià)振華銀行的4個(gè)分理處的投入產(chǎn)出如下表。求各個(gè)分理處的運(yùn)行是否DEA有效。（產(chǎn)出單位：處理筆數(shù)/月）相對有效性評價(jià)問題舉例分理處投入產(chǎn)出職員數(shù)營業(yè)面積（m2）儲(chǔ)蓄存取貸款中間業(yè)務(wù)分理處1分理處2分理處3分理處4152021201401301201351800100080090020035045042016001000130015009/13/202328解：若先確定分理處1的運(yùn)行是否DEA有效。建立線性規(guī)劃模型：例4：銀行分理處相對有效性評價(jià)minE1800

1+10002+800

3+900

4≥1800200

1+3502+450

3+420

4≥2001600

1+10002+1300

3+1500

4≥1600S.t.15

1+202+21

3+20

4≤15E140

1+1302+120

3+135

4≤140E

1+2+

3+

4=1

j

≥0（j=1，2，3，4）9/13/202329求解結(jié)果分析：對分理處1，E=1，說明分理處1的運(yùn)行DEA有效。對分理處2，E=0.996，說明分理處2的運(yùn)行非DEA有效。對分理處3，E=1，說明分理處3的運(yùn)行DEA有效。對分理處4，E=1，說明分理處4的運(yùn)行DEA有效。例4：銀行分理處相對有效性評價(jià)9/13/202330相對有效性評價(jià)問題舉例例5：醫(yī)院相對效率評價(jià)利用DEA模型分析4類醫(yī)院（普通醫(yī)院、校醫(yī)院、鎮(zhèn)醫(yī)院和國家醫(yī)院）的相對效率。這些醫(yī)院具有相同（或相似）的投入（輸入量）和產(chǎn)出（輸出量）。例如，建立一個(gè)用于分析鎮(zhèn)醫(yī)院相對效率的線性模型。9/13/202331例5：醫(yī)院相對效率評價(jià)輸入量全職非主治醫(yī)師人數(shù)提供的經(jīng)費(fèi)可供住院的床位數(shù)輸出量開診日的藥物治療服務(wù)開診日的非藥物治療服務(wù)接受過培訓(xùn)的護(hù)士數(shù)目接受過培訓(xùn)的實(shí)習(xí)醫(yī)師數(shù)目9/13/202332投入方式普通醫(yī)院學(xué)校醫(yī)院鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院國家醫(yī)院全職非主治醫(yī)師285.20162.30275.70210.40提供的經(jīng)費(fèi)（千元）123.8128.70348.50154.10可提供的住院床位數(shù)（千張）106.7264.21104.10104.044類醫(yī)院的年輸入量（年消耗）9/13/202333輸出方式普通醫(yī)院學(xué)校醫(yī)院鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院國家醫(yī)院開診日的藥物治療（千次）48.1434.6236.7233.16開診日的非藥物治療（千次）43.1027.1145.9856.46接受過培訓(xùn)的護(hù)士數(shù)目253148175160接受過培訓(xùn)的實(shí)習(xí)醫(yī)師數(shù)目412723844類醫(yī)院的年輸出量（年提供的服務(wù)）9/13/202334鎮(zhèn)醫(yī)院相對效率評價(jià)——DEA分析通過建立一個(gè)線性規(guī)劃模型，以4類醫(yī)院的輸入量和輸出量為基礎(chǔ)建立一個(gè)假設(shè)的合成醫(yī)院。通過將4類醫(yī)院的輸入量（或輸出量）的加權(quán)平均值作為假設(shè)的合成醫(yī)院的輸入量（或輸出量）。在線性規(guī)劃模型中的約束條件中，合成醫(yī)院所有的輸出量必須大于或等于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸出量。假如合成醫(yī)院的輸入量顯示小于鎮(zhèn)醫(yī)院輸入量，那么合成醫(yī)院就是有更大的輸出量而擁有更小的輸入量。因而，鎮(zhèn)醫(yī)院比合成醫(yī)院（四類醫(yī)院的加權(quán)平均）相對低效，進(jìn)而可被認(rèn)為比其他醫(yī)院相對低效。9/13/202335鎮(zhèn)醫(yī)院相對效率評價(jià)——DEA模型wg為普通醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重；wu為校醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重；wc為鎮(zhèn)醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重；ws為國家醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重所以，DEA模型的第一個(gè)約束條件為

wg＋wu＋wc＋ws＝19/13/202336鎮(zhèn)醫(yī)院相對效率評價(jià)——DEA模型為了使模型符合邏輯，合成醫(yī)院的輸出量必須大于或等于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸出量。即合成醫(yī)院的輸出量≥鎮(zhèn)醫(yī)院的輸出量我們可寫出輸出量的約束條件：48.14wg+34.62wu+36.72wc+33.16ws≥36.72（藥物治療）43.10wg+27.11wu+45.98wc+56.46ws≥45.98（非藥物治療）253wg+148wu+175wc+160ws≥175（護(hù)士）41wg+27wu+23wc+84ws≥23（實(shí)習(xí)醫(yī)師）9/13/202337鎮(zhèn)醫(yī)院相對效率評價(jià)——DEA模型為了使模型符合邏輯，合成醫(yī)院的輸入量必須小于或等于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸入量。即合成醫(yī)院的輸入量≤鎮(zhèn)醫(yī)院的輸入量引入效率指數(shù)E，如鎮(zhèn)醫(yī)院全職非主治醫(yī)生人數(shù)為275.70，則275.70E為合成醫(yī)院全職非主治醫(yī)生人數(shù)。當(dāng)E＝1時(shí)，合成醫(yī)院需要與鎮(zhèn)醫(yī)院相同的輸入量資源；當(dāng)E>1時(shí)，合成醫(yī)院需要的輸入量資源大于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸入量資源；當(dāng)E<1時(shí)，合成醫(yī)院需要的輸入量資源小于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸入量資源。（模型的目標(biāo)）9/13/202338鎮(zhèn)醫(yī)院相對效