數(shù)學(xué)建模一周(許小勇)

數(shù)學(xué)建模理論課主講人：許小勇理學(xué)院大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)部辦公室：核工樓121318170098307第一章建立數(shù)學(xué)模型1.1從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型1.2數(shù)學(xué)建模的重要意義1.3數(shù)學(xué)建模示例1.4數(shù)學(xué)建模的方法和步驟1.5數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類1.6怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型……~實(shí)物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī)……~物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖……~符號(hào)模型模型是為了一定目的，對(duì)客觀事物的一部分進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來(lái)的原型的替代物模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征1.1

從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型我們常見的模型你碰到過的數(shù)學(xué)模型——“航行問題”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時(shí)20千米/小時(shí).甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí)，從乙到甲逆水航行需50小時(shí)，問船的速度是多少?x=20y=5求解航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟

作出簡(jiǎn)化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；

用符號(hào)表示有關(guān)量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；

求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20,y=5）；

回答原問題（船速每小時(shí)20千米/小時(shí)）。數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)和數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling)對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模1.2

數(shù)學(xué)建模的重要意義時(shí)代特點(diǎn)：2、數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的第一步，越來(lái)越受到人們的重視。

在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地；

在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具；

數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開辟了許多處女地。1、電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用

分析與設(shè)計(jì)

預(yù)報(bào)與決策

控制與優(yōu)化

規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計(jì)算機(jī)技術(shù)知識(shí)經(jīng)濟(jì)如虎添翼1.3.1例1高跟鞋問題女孩子都愛美，你知道你穿鞋跟多高的鞋子看起來(lái)最美嗎？1.3

數(shù)學(xué)建模示例穿高跟鞋是為了身高在視覺上得到增加，但是身高越高看起來(lái)越美嗎？理解問題由黃金分割原理，我們不妨假定，當(dāng)人的下肢和身高的比為0.618時(shí)，看起來(lái)最美。合理化假設(shè)設(shè)某人身高為h厘米，下肢長(zhǎng)l厘米，高跟鞋的鞋跟為x厘米。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題穿上高跟鞋后，身高為h+x厘米，下肢長(zhǎng)l+x厘米。得到一個(gè)關(guān)于x的一次方程：?jiǎn)栴}的求解解該一次方程，得：?jiǎn)栴}的檢驗(yàn)以身高168CM，下肢長(zhǎng)為102CM的人為例，其所穿鞋的鞋跟高度與好看程度的關(guān)系可由下表說明：原比(l/h)身高(cm)鞋跟高度(cm)新比值０．６０７１０．６０７１０．６０７１０．６０７１１６８１６８１６８１６８２．５３．５５４．５４．７７４８０．６１２９０．６１５１０．６１７３０．６１８問題的檢驗(yàn)又如，按照上述模型，身高153CM，下肢長(zhǎng)為92CM的女士，應(yīng)穿鞋跟高為6.6CM的高跟鞋顯得比較美。評(píng)價(jià)和應(yīng)用由此看來(lái)，女孩們愛穿高跟鞋是有科學(xué)依據(jù)的，也使人聯(lián)想到為什么人們觀看芭蕾舞的時(shí)候有一種美的感受，可當(dāng)你看踩高翹表演時(shí)就沒有這種感覺。這下女生知道應(yīng)該如何選擇合適的高跟鞋了吧！1.3.2

如何最省料？問題：現(xiàn)要用100*50厘米的板料裁剪出規(guī)格為40*40厘米與50*20的零件，前者需要25件，后者需要30件，問如何裁剪才能最省料？解：先設(shè)計(jì)幾個(gè)裁剪方案，如圖在100*50的板料上可裁剪出兩塊40*40厘米的零件盒一塊50*20厘米的零件（圖中分別用A,B,C表示），或一塊40*40厘米的零件盒三塊50*20厘米的零件，或五塊50*20厘米的零件。顯然，若只用其中一個(gè)方案，都不是最省料的方法，最佳方法應(yīng)該是三個(gè)方案的優(yōu)化組合。設(shè)方案i使用原材料（Xi=1,2,3），共用原材料f件，則根據(jù)題意，可用如下數(shù)學(xué)式子表示：背景

年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長(zhǎng)概況中國(guó)人口增長(zhǎng)概況

年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長(zhǎng)1.3.3如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng)指數(shù)增長(zhǎng)模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計(jì)算公式x(t)~時(shí)刻t的人口基本假設(shè)

:人口(相對(duì))增長(zhǎng)率r

是常數(shù)今年人口x0,年增長(zhǎng)率rk年后人口隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性

與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合

適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代

可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)

不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律

不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過程19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長(zhǎng)率r不是常數(shù)(逐漸下降)阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r~固有增長(zhǎng)率(x很小時(shí))xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)參數(shù)估計(jì)用指數(shù)增長(zhǎng)模型或阻滯增長(zhǎng)模型作人口預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù)r或r,xm

利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國(guó)人口數(shù)據(jù)（單位~百萬(wàn)）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4專家估計(jì)阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1模型檢驗(yàn)用模型計(jì)算2000年美國(guó)人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較實(shí)際為281.4(百萬(wàn))模型應(yīng)用——預(yù)報(bào)美國(guó)2010年的人口加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù)Logistic模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用(如耐用消費(fèi)品的售量)阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.01.3.4崖高的估算假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功能的計(jì)算器，你也許會(huì)出于好奇心想用扔下一塊石頭聽回聲的方法來(lái)估計(jì)山崖的高度，假定你能準(zhǔn)確地測(cè)定時(shí)間，你又怎樣來(lái)推算山崖的高度呢，請(qǐng)你分析一下這一問題。我有一只具有跑表功能的計(jì)算器。方法一假定空氣阻力不計(jì)，可以直接利用自由落體運(yùn)動(dòng)的公式來(lái)計(jì)算。例如，設(shè)t=4秒，g=9.81米/秒2，則可求得h≈78.5米。我學(xué)過微積分，我可以做得更好，呵呵。

除去地球吸引力外，對(duì)石塊下落影響最大的當(dāng)屬空氣阻力。根據(jù)流體力學(xué)知識(shí)，此時(shí)可設(shè)空氣阻力正比于石塊下落的速度，阻力系數(shù)K為常數(shù)，因而，由牛頓第二定律可得：

令k=K/m，解得

代入初始條件v(0)=0，得c=－g/k，故有

再積分一次，得：

若設(shè)k=0.05并仍設(shè)t=4秒，則可求得h≈73.6米。

聽到回聲再按跑表，計(jì)算得到的時(shí)間中包含了反應(yīng)時(shí)間

進(jìn)一步深入考慮不妨設(shè)平均反應(yīng)時(shí)間為0.1秒，假如仍設(shè)t=4秒，扣除反應(yīng)時(shí)間后應(yīng)為3.9秒，代入式①，求得h≈69.9米。

①多測(cè)幾次，取平均值再一步深入考慮代入初始條件h(0)=0，得到計(jì)算山崖高度的公式：

將e-kt用泰勒公式展開并令k→0+

，即可得出前面不考慮空氣阻力時(shí)的結(jié)果。還應(yīng)考慮回聲傳回來(lái)所需要的時(shí)間。為此，令石塊下落的真正時(shí)間為t1，聲音傳回來(lái)的時(shí)間記為t2，還得解一個(gè)方程組：這一方程組是非線性的，求解不太容易，為了估算崖高竟要去解一個(gè)非線性主程組似乎不合情理

相對(duì)于石塊速度，聲音速度要快得多，我們可用方法二先求一次

h，令t2=h/340，校正t，求石塊下落時(shí)間t1≈t-t2將t1代入式①再算一次，得出崖高的近似值。例如，若h=69.9米，則t2≈0.21秒，故t1≈3.69秒，求得h≈62.3米。

數(shù)學(xué)建模的基本方法機(jī)理分析測(cè)試分析根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律將對(duì)象看作“黑箱”,通過對(duì)量測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機(jī)理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實(shí)例研究(CaseStudies)來(lái)學(xué)習(xí)。以下建模主要指機(jī)理分析。二者結(jié)合用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測(cè)試分析確定模型參數(shù)1.4

數(shù)學(xué)建模的方法和步驟

數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備了解實(shí)際背景明確建模目的搜