數(shù)學(xué)建模一周(許小勇)

數(shù)學(xué)建模理論課主講人：許小勇理學(xué)院大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)部辦公室：核工樓121318170098307第一章建立數(shù)學(xué)模型1.1從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型1.2數(shù)學(xué)建模的重要意義1.3數(shù)學(xué)建模示例1.4數(shù)學(xué)建模的方法和步驟1.5數(shù)學(xué)模型的特點和分類1.6怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模玩具、照片、飛機、火箭模型……~實物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機……~物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖……~符號模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進(jìn)行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征1.1

從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型我們常見的模型你碰到過的數(shù)學(xué)模型——“航行問題”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時20千米/小時.甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?x=20y=5求解航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟

作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；

用符號表示有關(guān)量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；

求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20,y=5）；

回答原問題（船速每小時20千米/小時）。數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)和數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling)對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設(shè)，運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模1.2

數(shù)學(xué)建模的重要意義時代特點：2、數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視。

在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地；

在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具；

數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開辟了許多處女地。1、電子計算機的出現(xiàn)及飛速發(fā)展數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用

分析與設(shè)計

預(yù)報與決策

控制與優(yōu)化

規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計算機技術(shù)知識經(jīng)濟如虎添翼1.3.1例1高跟鞋問題女孩子都愛美，你知道你穿鞋跟多高的鞋子看起來最美嗎？1.3

數(shù)學(xué)建模示例穿高跟鞋是為了身高在視覺上得到增加，但是身高越高看起來越美嗎？理解問題由黃金分割原理，我們不妨假定，當(dāng)人的下肢和身高的比為0.618時，看起來最美。合理化假設(shè)設(shè)某人身高為h厘米，下肢長l厘米，高跟鞋的鞋跟為x厘米。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題穿上高跟鞋后，身高為h+x厘米，下肢長l+x厘米。得到一個關(guān)于x的一次方程：問題的求解解該一次方程，得：問題的檢驗以身高168CM，下肢長為102CM的人為例，其所穿鞋的鞋跟高度與好看程度的關(guān)系可由下表說明：原比(l/h)身高(cm)鞋跟高度(cm)新比值０．６０７１０．６０７１０．６０７１０．６０７１１６８１６８１６８１６８２．５３．５５４．５４．７７４８０．６１２９０．６１５１０．６１７３０．６１８問題的檢驗又如，按照上述模型，身高153CM，下肢長為92CM的女士，應(yīng)穿鞋跟高為6.6CM的高跟鞋顯得比較美。評價和應(yīng)用由此看來，女孩們愛穿高跟鞋是有科學(xué)依據(jù)的，也使人聯(lián)想到為什么人們觀看芭蕾舞的時候有一種美的感受，可當(dāng)你看踩高翹表演時就沒有這種感覺。這下女生知道應(yīng)該如何選擇合適的高跟鞋了吧！1.3.2

如何最省料？問題：現(xiàn)要用100*50厘米的板料裁剪出規(guī)格為40*40厘米與50*20的零件，前者需要25件，后者需要30件，問如何裁剪才能最省料？解：先設(shè)計幾個裁剪方案，如圖在100*50的板料上可裁剪出兩塊40*40厘米的零件盒一塊50*20厘米的零件（圖中分別用A,B,C表示），或一塊40*40厘米的零件盒三塊50*20厘米的零件，或五塊50*20厘米的零件。顯然，若只用其中一個方案，都不是最省料的方法，最佳方法應(yīng)該是三個方案的優(yōu)化組合。設(shè)方案i使用原材料（Xi=1,2,3），共用原材料f件，則根據(jù)題意，可用如下數(shù)學(xué)式子表示：背景

年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況

年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長1.3.3如何預(yù)報人口的增長指數(shù)增長模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計算公式x(t)~時刻t的人口基本假設(shè)

:人口(相對)增長率r

是常數(shù)今年人口x0,年增長率rk年后人口隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性

與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合

適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代

可用于短期人口增長預(yù)測

不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律

不能預(yù)測較長期的人口增長過程19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長率r不是常數(shù)(逐漸下降)阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r~固有增長率(x很小時)xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)參數(shù)估計用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預(yù)報，必須先估計模型參數(shù)r或r,xm

利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國人口數(shù)據(jù)（單位~百萬）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4專家估計阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1模型檢驗用模型計算2000年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較實際為281.4(百萬)模型應(yīng)用——預(yù)報美國2010年的人口加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù)Logistic模型在經(jīng)濟領(lǐng)域中的應(yīng)用(如耐用消費品的售量)阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.01.3.4崖高的估算假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功能的計算器，你也許會出于好奇心想用扔下一塊石頭聽回聲的方法來估計山崖的高度，假定你能準(zhǔn)確地測定時間，你又怎樣來推算山崖的高度呢，請你分析一下這一問題。我有一只具有跑表功能的計算器。方法一假定空氣阻力不計，可以直接利用自由落體運動的公式來計算。例如，設(shè)t=4秒，g=9.81米/秒2，則可求得h≈78.5米。我學(xué)過微積分，我可以做得更好，呵呵。

除去地球吸引力外，對石塊下落影響最大的當(dāng)屬空氣阻力。根據(jù)流體力學(xué)知識，此時可設(shè)空氣阻力正比于石塊下落的速度，阻力系數(shù)K為常數(shù)，因而，由牛頓第二定律可得：

令k=K/m，解得

代入初始條件v(0)=0，得c=－g/k，故有

再積分一次，得：

若設(shè)k=0.05并仍設(shè)t=4秒，則可求得h≈73.6米。

聽到回聲再按跑表，計算得到的時間中包含了反應(yīng)時間

進(jìn)一步深入考慮不妨設(shè)平均反應(yīng)時間為0.1秒，假如仍設(shè)t=4秒，扣除反應(yīng)時間后應(yīng)為3.9秒，代入式①，求得h≈69.9米。

①多測幾次，取平均值再一步深入考慮代入初始條件h(0)=0，得到計算山崖高度的公式：

將e-kt用泰勒公式展開并令k→0+

，即可得出前面不考慮空氣阻力時的結(jié)果。還應(yīng)考慮回聲傳回來所需要的時間。為此，令石塊下落的真正時間為t1，聲音傳回來的時間記為t2，還得解一個方程組：這一方程組是非線性的，求解不太容易，為了估算崖高竟要去解一個非線性主程組似乎不合情理

相對于石塊速度，聲音速度要快得多，我們可用方法二先求一次

h，令t2=h/340，校正t，求石塊下落時間t1≈t-t2將t1代入式①再算一次，得出崖高的近似值。例如，若h=69.9米，則t2≈0.21秒，故t1≈3.69秒，求得h≈62.3米。

數(shù)學(xué)建模的基本方法機理分析測試分析根據(jù)對客觀事物特性的認(rèn)識，找出反映內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律將對象看作“黑箱”,通過對量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究(CaseStudies)來學(xué)習(xí)。以下建模主要指機理分析。二者結(jié)合用機理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測試分析確定模型參數(shù)1.4

數(shù)學(xué)建模的方法和步驟

數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備了解實際背景明確建模目的搜