新高考數(shù)真題分類匯編：專題(14)推與證明、新定義(理科)及答案

PAGE專題十四推理與證明、新定義1.【20xx高考湖北，理9】已知集合，，定義集合，則中元素的個數(shù)為（）A．77B．49C．45D．30【答案】C【解析】因為集合，所以集合中有9個元素（即9個點），即圖中圓中的整點，集合中有25個元素（即25個點）：即圖中正方形中的整點，集合的元素可看作正方形中的整點（除去四個頂點），即個.【考點定位】1.集合的相關(guān)知識，2.新定義題型.【名師點睛】新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.2.【20xx高考廣東，理8】若空間中個不同的點兩兩距離都相等，則正整數(shù)的取值（）A．大于5B.等于5C.至多等于4D.至多等于3【答案】．【解析】顯然正三角形和正四面體的頂點是兩兩距離相等的，即或時命題成立，由此可排除、、，故選．【考點定位】空間想象能力，推理能力，含有量詞命題真假的判斷．【名師點睛】本題主要考查學(xué)生的空間想象能力，推理求解能力和含有量詞命題真假的判斷，校驗方程組：其中運算定義為：．現(xiàn)已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第位發(fā)生碼元錯誤后變成了1101101，那么利用上述校驗方程組可判定等于．【答案】．【考點定位】推理證明和新定義．【名師點睛】本題以二元碼為背景考查新定義問題，解決時候要耐心讀題，并分析新定義的特點，按照所給的數(shù)學(xué)規(guī)則和要求進(jìn)行邏輯推理和計算等，從而達(dá)到解決問題的目的．6.【20xx高考山東，理11】觀察下列各式：……照此規(guī)律，當(dāng)nN時，.【答案】【考點定位】1、合情推理；2、組合數(shù).【名師點睛】本題考查了合情推理與組合數(shù)，重點考查了學(xué)生對歸納推理的理解與運用，意在考查學(xué)生觀察、分析、歸納、推理判斷的能力，關(guān)鍵是能從前三個特殊的等式中觀察、歸納、總結(jié)出一般的規(guī)律，從而得到結(jié)論.此題屬基礎(chǔ)題.7.【20xx江蘇高考，23】（本小題滿分10分）已知集合，，，令表示集合所含元素的個數(shù).（1）寫出的值；（2）當(dāng)時，寫出的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.【答案】（1）13（2）【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意按分類計數(shù)：共13個（2）由（1）知，所以當(dāng)時，的表達(dá)式要按除的余數(shù)進(jìn)行分類，最后不難利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明試題解析：（1）．，中產(chǎn)生，分以下情形討論：1）若，則，此時有，結(jié)論成立；2）若，則，此時有，結(jié)論成立；3）若，則，此時有，結(jié)論成立；4）若，則，此時有，結(jié)論成立；5）若，則，此時有，結(jié)論成立；6）若，則，此時有，結(jié)論成立．綜上所述，結(jié)論對滿足的自然數(shù)均成立．【考點定位】計數(shù)原理、數(shù)學(xué)歸納法【名師點晴】用數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題時，其步驟為：①歸納奠基：證明當(dāng)取第一個自然數(shù)時命題成立；②歸納遞推：假設(shè)，(，)時，命題成立，證明當(dāng)時，命題成立；③由①②得出結(jié)論．8.【20xx高考北京，理20】已知數(shù)列滿足：，，且．記集合．（Ⅰ）若，寫出集合的所有元素；（Ⅱ）若集合存在一個元素是3的倍數(shù)，證明：的所有元素都是3的倍數(shù)；（Ⅲ）求集合的元素個數(shù)的最大值．【答案】（1），（2）證明見解析，（3）8【解析】（Ⅰ）由已知可知：（Ⅱ）因為集合存在一個元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)是3的倍數(shù)，由已知，可用用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意，是3的倍數(shù)，當(dāng)時，則M中的所有元素都是3的倍數(shù)，如果時，因為或，所以是3的倍數(shù)，于是是3的倍數(shù)，類似可得，都是3的倍數(shù)，從而對任意，是3的倍數(shù)，因此的所有元素都是3的倍數(shù).考點定位：1.分段函數(shù)形數(shù)列通項公式求值；2.歸納法證明；3.數(shù)列元素分析.【名師點睛】本題考查數(shù)列的有關(guān)知識及歸納法證明方法，即考查了數(shù)列（分段形函數(shù)）求值，又考查了歸納法證明和對數(shù)據(jù)的分析研究，考查了學(xué)生的分析問題能力和邏輯推理能力，本題屬于拔高難題，特別是第二、三兩步難度較大，適合選拔優(yōu)秀學(xué)生.【20xx高考上海，理23】對于定義域為的函數(shù)，若存在正常數(shù)，使得是以為周期的函數(shù)，則稱為余弦周期函數(shù)，且稱為其余弦周期.已知是以為余弦周期的余弦周期函數(shù)，其值域為.設(shè)單調(diào)遞增，，.（1）驗證是以為周期的余弦周期函數(shù)；（2）設(shè)．證明對任意，存在，使得；（3）證明：“為方程在上得解”的充要條件是“為方程在上有解”，并證明對任意都有.【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析（3）詳見解析（2）由于的值域為，所以對任意，都是一個函數(shù)值，即有，使得.若，則由單調(diào)遞增得到，與矛盾，所以.同理可證.故存在使得.（3）若為在上的解，則，且，，即為方程在上的解.同理，若為方程在上的解，則為該方程在上的解.以下證明最后一部分結(jié)論.由（2）所證知存在，使得，，，，，.而是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，，，，.與之前類似地可以證明：是在上的解當(dāng)且僅當(dāng)是在上的解.從而在與上的解的個數(shù)相同.故，，，，，.對于，，，而，故.類似地，當(dāng)，，，時，有.結(jié)論成立.【考點定位】新定義問題【名師點睛】新定義問題一般先考察對定義的理解，這時只需一一驗證定義中各個條件即可.二是