初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(圓)

企人收集整理―僅供參考學(xué)習(xí)企人收集整理―僅供參考學(xué)習(xí)#/31平面幾何基礎(chǔ)知識(shí)教程（圓）一、幾個(gè)重要定義外心：三角形三邊中垂線恰好交于一點(diǎn)，此點(diǎn)稱為外心內(nèi)心：三角形三內(nèi)角平分線恰好交于一點(diǎn)，此點(diǎn)稱為內(nèi)心垂心：三角形三邊上的高所在直線恰好交于一點(diǎn)，此點(diǎn)稱為垂心凸四邊形：四邊形的所有對(duì)角線都在四邊形ABCD內(nèi)部的四邊形稱為凸四邊形折四邊形：有一雙對(duì)邊相交的四邊形叫做折四邊形（如下圖）（折四邊形）二、圓內(nèi)重要定理：（折四邊形）二、圓內(nèi)重要定理：1．四點(diǎn)共圓定義：若四邊形ABCD的四點(diǎn)同時(shí)共于一圓上，則稱A,B,C,D四點(diǎn)共圓基本性質(zhì)：若凸四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，則其對(duì)角互補(bǔ)證明：略判定方法：.定義法：若存在一點(diǎn)O使OA=OB=OC=OD，則A,B,C,D四點(diǎn)共圓.定理1:若凸四邊形ABCD的對(duì)角互補(bǔ)，則此凸四邊形ABCD有一外接圓證明：略特別地，當(dāng)凸四邊形ABCD中有一雙對(duì)角都是90度時(shí)，此四邊形有一外接圓.視角定理：若折四邊形ABCD中，/adb=zacb，則A,B,C,D四點(diǎn)共圓

證明：如上圖，連CD,AB,設(shè)AC與BD交于點(diǎn)P因?yàn)?ADB=/ACB,所以PBPA/CPD=/BPA因CPDBPA因/PCD=/PBA/BCD+/BAD=/BCA+/PCD+/BAD=/BDA+/PBA+/BAD=180 的內(nèi)因，，，四點(diǎn)圓特別地，當(dāng)/ADB=ZACB=90時(shí)，四邊形ABCD有一外接圓2．圓冪定理：圓冪定理是圓的相交弦定理、切割線定理、割線定理、切線長(zhǎng)定理的統(tǒng)一形式。相交弦定理：P是圓內(nèi)任一點(diǎn)，過P作圓的兩弦AB，CD，則PA.PB=PC.PD證明：^AC,8。,則/CAB=ZCDB（ 對(duì)圓）而ZAPC=ZDPB（對(duì)頂相）因此PAPC即——=——，因此PA?PB=PC?PDPDPB（切）割線定理：P是圓外任意一點(diǎn)，過P任作圓的兩割（切）線PAB,PCD,則PA?PB=PC?PD證明方法與相交弦定理完全一樣,可仿前。特別地，當(dāng)C，D兩點(diǎn)重合成為一點(diǎn)C時(shí)，割線PCD變成為切線PC而由割線定理,PA?PB=PC?PD=PC'2,此時(shí)割線定理成為切割線定理而當(dāng)B，A兩點(diǎn)亦重合為一點(diǎn)A時(shí)，由切割線定理PC'2=PA?PB=PA'2因此有PC PA此時(shí)切割線定理成為切線長(zhǎng)定理現(xiàn)考慮割線與切線同時(shí)存在的情況,即切割線定理的情況：

如圖，PCD如圖，PCD是圓的割線，PE是圓的切線設(shè)圓心為。，連PO,OE,則由切割線定理有：PC?PD=PE2而注意到黃色是，由勾股定理有：PE2=PO2—OE2，結(jié)合切割線定理，我們得到PC?PD=PE2=PO2-OE2，這個(gè)結(jié)果表明，如果圓心O與P是確定的，那么PC與PD之積也是唯一確定的。以上是P在圓外的討論現(xiàn)在再重新考慮P在圓內(nèi)的情形，如下圖，PCD是圓內(nèi)的現(xiàn)，PAB是以P為中點(diǎn)的弦則由相交弦定理有PA?PB=PA2（因?yàn)槭窍抑悬c(diǎn)） ?PD連OP，OA，由垂徑定理，OPA是 由勾股定理有PA2=OA2—OP2，結(jié)合相交弦定理，便得到PA?PB=PA2（因?yàn)槭窍抑悬c(diǎn)） ?PD=OA2-OP2這個(gè)結(jié)果同樣表明，當(dāng)。與P是固定的時(shí)候PC與PD之積是定值以上是P在圓內(nèi)的討論當(dāng)P在圓上時(shí)，過P任作一弦交圓于A（即弦AP）,此時(shí)PO2-OA2=0也是定值綜上，我們可以把相交弦定理，切割線定理，割線定理，切線長(zhǎng)定理統(tǒng)一起來，得到圓冪定理。圓冪定理：P是圓O所在平面上任意一點(diǎn)（可以在圓內(nèi)，圓上，圓外），過點(diǎn)P任作一直線交圓O于A，B兩點(diǎn)（A，B兩點(diǎn)可以重合，也可以之一和P重合），圓0半徑為r資料個(gè)人收集整理，勿做商業(yè)用途則我們有：PA?PB=1PO2-r2|由上面我們可以看到，當(dāng)P點(diǎn)在圓內(nèi)的時(shí)候，PO2-r2<0，此時(shí)圓冪定理為相交弦定理當(dāng)P在圓上的時(shí)候，PO2-r2=0當(dāng)P在圓外的時(shí)候，PO2-r2>0此時(shí)圓冪定理為切割線定理，割線定理，或切線長(zhǎng)定理以下有很重要的概念和定理：根軸先來定義冪的概念：從一點(diǎn)A作一圓周上的任一割線，從A起到和圓周相交為止的兩線段之積，稱為點(diǎn)對(duì)于這圓周的冪資料個(gè)人收集整理，勿做商業(yè)用途對(duì)于已知兩圓有等冪的點(diǎn)的軌跡，是一條垂直于連心線的直線。根軸的定義：兩圓等冪點(diǎn)的軌跡是一條直線，這條直線稱為兩圓的根軸性質(zhì)1若兩圓相交，其根軸就是公共弦所在直線由于兩圓交點(diǎn)對(duì)于兩圓的冪都是0，所以它們位于根軸上，而根軸是直線，所以根軸是兩交點(diǎn)的連線性質(zhì)2若兩圓相切，其根軸就是過兩圓切點(diǎn)的公切線（即性質(zhì)1的極限情況）性質(zhì)3若三圓兩兩不同心，則其兩兩的根軸交于一點(diǎn)，或互相平行所交的這點(diǎn)稱為根心證明：若三圓心共線，則兩兩圓的根軸均垂直于連心線，因此此時(shí)兩兩的根軸互相平行若三圓心不共線，則必成一三角形，因此兩兩的根軸必垂直于兩兩的連心線。如圖，設(shè)CD與EF交于點(diǎn)O,連AO交圓分O2圓O3于B,則做商業(yè)用途OA?OB'=OE?OF=OC?OD=OA?OB''其中前兩式是點(diǎn)O對(duì)圓O2的冪，后二式是點(diǎn)O對(duì)圓O3的冪，中間是圓O對(duì)圓O1的冪進(jìn)行轉(zhuǎn)化由此B與B重合，事實(shí)上它們就是點(diǎn)B（圓O2與圓O3的非A的交點(diǎn)），由此兩兩的根軸共點(diǎn)圓冪定理是對(duì)于圓適用的定理，今使用圓冪定理對(duì)圓內(nèi)接四邊形判定方法的補(bǔ)

充：圓內(nèi)接四邊形判定方法.相交弦定理逆定理：如果四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)P，且滿足PA?PC=PB?PD,則四邊形ABCD有一外接圓.切割線定理逆定理：如果凸四邊形ABCD一雙對(duì)邊AB與DC交于點(diǎn)P且滿足PA?PC=PB?PD，則四邊形ABCD有一外接圓這樣我們就補(bǔ)充了兩種判定方法例(射影定理)： ABC,BC是斜邊，AD是斜邊上的高則(1)AD2=BD?CD(2)AB2=BD?BC(3)AC2=CD?BC證明：如圖，延長(zhǎng)AD如圖，延長(zhǎng)AD至'使’連則C 因此/BAC+ZBA'C=180(1(1)因此ABCA'四點(diǎn)共圓由相交弦定理有：AD?DA'=AD2=BD?CD(2)(3)(2)(3)同理，現(xiàn)證(3)的圓，則 的圓圓心為中是的中點(diǎn)則1 ,是圓的線由切割線定理有=CD?CB例2：垂心中，三邊所在的高的所在的直線交于一點(diǎn)證明：設(shè)BE 交于，連長(zhǎng)交于證1為乙BEC=乙BFC=90, B,F,, 點(diǎn)知理，，， 點(diǎn):圓所ZBHD=180-ZAHF-ZBHF=180-ZAEF-ZEHC=180-ZB-ZA=ZCH,D,E,C點(diǎn)共圓ZHDC=90.Miquel定理圓共點(diǎn)的情況之前1,2的重要定理都是討論關(guān)于點(diǎn)共圓的情況。那么反過來又如何？

圓共點(diǎn)的情況從最簡(jiǎn)單的開始了解，在本文之后討論圓共點(diǎn)問題中，甚至其他類型的問題，Miquel定理都給予莫大的便利，我們將要不止一次地用到它。業(yè)用途先看一個(gè)事實(shí)：如圖，AB^,AD,BE,CF分別是三邊上的高，則分別以AEF,BDF,CDE作圓這三個(gè)圓共于一點(diǎn)，而且可以通過觀察，這個(gè)點(diǎn)就是垂心剛好是AD，BE，CF的交點(diǎn)在介紹Miquel定理之后，我們將會(huì)給這題與垂心一個(gè)闡釋Miquel定理：ABC中，X，Y，Z分別是直線AB，BC，AC上的點(diǎn)，則口板，口BXY口板，口BXY，口CYZ共于一點(diǎn)0這樣的點(diǎn)O稱為X，Y，Z對(duì)于ABC的Miquel點(diǎn)證明：圖，設(shè)口AXZ口^XY于O,連，OY,OZ問題轉(zhuǎn)為證o,z,y,c點(diǎn)共圓為4X,, ,,為兩組點(diǎn)圓則ZAZO=180-ZAXO=BXO=180-ZBYO=ZOYCZOZC+ZOYC=180O,Z,Y,C點(diǎn)共圓事實(shí)上這個(gè)證明隱含著對(duì)一般證圓共點(diǎn)的方法在發(fā)掘Miquel定理的證明方法時(shí)可以得到一種更一般的證題方法注意這個(gè)證明只在X,Y,Z在AB,BC,AC邊上時(shí)可以當(dāng)在直線AB,BC,AC上時(shí)需要改一下，這里略去了。ABC現(xiàn)在回到之前關(guān)于垂心的問題。為什么D,E,F關(guān)于ABC的Miquel"點(diǎn)就是ABC的垂心證明：圖,AD,BE,CF是ABC的 ，垂心為,貝UA,E,F,HB,D,F,HC,D,E,H共三組四點(diǎn)共圓可見口AEF,BDF,CDE共于一點(diǎn)H就是垂心有了Miquel定理，我們可以對(duì)垂心有一個(gè)新的看法HD是口BDF與口CDE的軸對(duì)HE,HF同理ZADB=/ADC=90此口 與口連心線 中線定理此,同理因此垂心可以被認(rèn)為是這三圓的根軸的交點(diǎn)（根軸性質(zhì)用同樣的方法可以對(duì)內(nèi)心,外心以同樣的解釋：由此可見,共點(diǎn)圓與三角形的特殊點(diǎn)有很大的關(guān)系,上述3種只是最簡(jiǎn)單的最容易發(fā)現(xiàn)的提起外心就會(huì)聯(lián)想到外接圓,這里不得不提一個(gè)常用定理：正弦定理正弦定理： 中，外接圓半徑R,則BC_AC_AB— — —2sinAsinBsinC證明：作直徑AOD，連BD^ZABD=90,ZADB=ZACB此在RtABDAB

sin此在RtABDAB

sinZADBAB

sinC=AD=2R其余同理想到三角函數(shù)里面的函數(shù)名,那么自然會(huì)想到余弦定理余弦定理：ABCa2=ba2=b2+c2-2bccosb2=a2+c2-2accosc2=bc2=b2+a2-2abcosC證明：作BC邊的CD=AC?cosC=bcosCBD=BC—CD=a—bcosC此AB2-BD2=AC2-CD2即2-(a一bcosC)2=b2-(bcosC)2c2-a2-b2cos2C+2abcosC=b2-b2cos2C即c2=a2+b2-2abcosC其余同理接著便就是著名的費(fèi)馬點(diǎn),它也與共點(diǎn)圓有關(guān)系費(fèi)馬點(diǎn)，即AB內(nèi)一點(diǎn)，使其到三頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)當(dāng)AB任一內(nèi)角都＜120時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)存在于內(nèi)部，當(dāng)有一內(nèi)角＞=120時(shí)費(fèi)馬點(diǎn)與此角頂點(diǎn)重合

設(shè)ABC中任一內(nèi)角均＜120，則費(fèi)馬點(diǎn)F可以通過如下方法作出來：分別以AB,AC,BC向外作正，連接對(duì)著的頂點(diǎn)，則得事實(shí)上，點(diǎn)F是這3個(gè)正的外接圓所共的點(diǎn)而FA+FB+FC其實(shí)就是頂點(diǎn)到對(duì)著的正頂點(diǎn)的連線的長(zhǎng)而且之后將會(huì)有一種方法計(jì)算FA+FB+FC的長(zhǎng)度而這將會(huì)在之后進(jìn)行討論.Simson定理Simson定理是常用而且著名的定理，多用于證明點(diǎn)共線，其逆定理也成立Simson定理：P是 ABC外接圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD垂直BC,PE垂直于AB,同理PF則D,E,F是共線的三點(diǎn)直線DEF稱為點(diǎn)P關(guān)于ABC的Simson線引理（完全四邊形的Miquel定理）：四條直線兩兩交于A,B,C,D,E,F六點(diǎn)則口,F，n,E，nCDF,DAE共點(diǎn)從ABF對(duì)E,C,D三點(diǎn)運(yùn)用 定理，則］BCE,CDF,DDAE共點(diǎn)DAE對(duì)B,C,F三點(diǎn)運(yùn)用 定理，則口ABF,BCE,CDF共點(diǎn)口ABF,口BCE,CDF,DAE共點(diǎn)其中所共的點(diǎn)叫做完全四邊形的認(rèn)囁1點(diǎn)證明：這里運(yùn)用Miquel定理作為證明設(shè)PD直BC,PE直AB,長(zhǎng)DE交CA于F則問題于證明PF直AC連PF四邊形AFCDBE是完全四邊形所以完全四邊形的Miquel定理（引理）口ABC,BDE,AEF,口CDF共點(diǎn)至lj/PEB=/PDB所以P,B,,四點(diǎn)共圓所以口ABC口BDE交于點(diǎn)P完全四邊形 MiqUel點(diǎn) 則而，，是同一i線三點(diǎn),,,不可共是完全四邊形 MiqUel點(diǎn),,,四點(diǎn)I共則/今逆定理證略從這個(gè)證明我們看到Miquel定理的威力不僅在于圓共點(diǎn)，而且對(duì)于共點(diǎn)圓也同樣適用在有了Simson定理之后，我們可以運(yùn)用Simson定理來給予完全四邊形的Miquel定理一個(gè)新的證明（即前面的引理）資料個(gè)人收集整理，勿做商業(yè)用途證明：設(shè)nBCE與口CDFC的一個(gè)交點(diǎn)為，過作 , ,同理。為口BCE上，由S淅s前定理，PQH是線的點(diǎn)同理對(duì)運(yùn)用 定理，線也是點(diǎn),,,四點(diǎn)線P,Q,S是點(diǎn)對(duì)ADE邊的線定理定理，，，四點(diǎn)圓同理，，，四點(diǎn)圓口BCE,口CDF，ADE，ABF點(diǎn)于M由這個(gè)證明，我們可以知道完全四邊形的Miquel定理和Simson定理是等價(jià)的能夠運(yùn)用Simson定理證明的必也可用完全四邊形的密克定理證明，反之亦然這樣,Simson定理便與密克定理產(chǎn)生了莫大的關(guān)聯(lián)例.如圖，P為外接圓上一點(diǎn)，作PA1BC交圓周于，作IB1直線C 交圓周于，同理。求證：AA’BB'CC證明：設(shè)PA交BC于D,PB交AC于E,F同理，則由Simson定理知，DEF三點(diǎn)共線由圖形看來，題斷三條互相平行的線均與Simson線平行，因此可以試證連PB而注意到P，B，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，因此/EDB=ZFDB=ZPBA=ZPA'因此城與Simson線平行。其余同理事實(shí)上，Simson定理可以作推廣，成為Carnot定理Carnot定理：通過 ABC外接圓上的一點(diǎn)P，引與三邊BC，CA，AB分別成同向等角(即/PDB=/PEC=/PFB)的直線PD，PE，PF與三邊或其所在直線的交點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)則D，E，F(xiàn)是共線的三點(diǎn)可以仿照前面的證明(這里的證明也可以運(yùn)用四點(diǎn)共圓的判定定理與性質(zhì)，再證ZDEF=180)證明留給讀者，作為習(xí)題.Ptolemy定理本文主要介紹一些平面幾何圓中較為重要和常用的定理，而Ptolemy定理是一個(gè)

十分重要的定理，及其也有重要的推廣Ptolemy定理：若四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，則AB?CD+AD?BC=AC?BD證明：證明：圖,設(shè)口 接圓為,連AC,過點(diǎn)DABC邊的線分ABC',ACB,BCA,則 定理，線的三點(diǎn)是此C'B'+B'A'=C'A'A,C 醺點(diǎn)/CAD=ZDBC,此AD是口AC'’的定理有C'B'=ADsin/C'DB'=ADsin/C'AB'sin/sin/BAC=BC,2RC'B,'AD^BC2R理B'A'=理B'A'=CD2RT，C'A'=AC?BD

2RAD?BCCD?ABAC?BD2R+2R 2RAD?BC=CD?AB+AC?BD至此，我們重新把求費(fèi)馬點(diǎn)至三頂點(diǎn)距離的長(zhǎng)度和的問題提出，運(yùn)用Ptolemy定理解決：

如圖，設(shè)AB=c,AC=b,BC=a由ZAFC=120ZABC=60,有A,F,B，(四點(diǎn)共圓對(duì)口AFCB運(yùn)用Ptolemy 有FA?B'C+FC?AB'=AC?FB'為ACB'邊，F(xiàn)A+FC=FB'=FA'=CCBCB，由BB'2=a2+b2-2abcos(60+C)=a2+b2-2ab[cos60cosC-sin60sinC]=a2+b2-ab[cosC一％：3sinC]ABC,sinC=2SABCaba2+ABC,sinC=2SABCaba2+b2一c2cosC= 2ab式有BB2=a2+b2-ab[a2+b2一c22%3SABC2abab=a2+b2-(a2+b2-c2)+2<3SABCa2+ba2+b2+c2+2%3SABCFA+FB+FC=r+2、3SABCp(p((P一a)(P一b)(P-c),P=a+b+c（這里我們用到著名（這里我們用到著名的求積公式:? a+b+c SAABC=Jp(p_a)(p_b)(p_c)( p= )，證略).2至此，本文平面幾何圓的基礎(chǔ)知識(shí)已經(jīng)全部介紹完畢，這里將以著名的Chapple定理結(jié)束(只做了解)這是與圓冪定理的應(yīng)用有關(guān)的定理之一Chapple定理：設(shè)R是 的外接圓半徑，r是內(nèi)切圓半徑,d是這兩圓的圓心距，則d2=R2—2Rr證明：連長(zhǎng) 外接圓，徑設(shè)內(nèi)切圓與 的切為，連，則 與 ，/// /此有AL=D,AI.BP=DI.PQ=2RrPQBP,/IBP=2(/A+ZB)/BIP=/IAB+/IBA=2(ZA+/B)此 ，此AI?BPAI?IP=2Rr, 圓冪定理AI?IP=R2—OI2=R2—d2=2Rrd2=R2—2Rr事實(shí)上Chapple定理對(duì)旁心也有相應(yīng)的公式，不過是等號(hào)右邊的符號(hào)-變+但對(duì)本文不提及旁心，因此略去習(xí)題：第一部分（四點(diǎn)共圓的應(yīng)用）1.如圖，在MBC中，人8=人匚任意延長(zhǎng)CA到P，再延長(zhǎng)AB到Q使AP=BQ.求證：△ABC的外心O與A,P,Q四點(diǎn)共圓.（1994年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽二試第1題）資.如圖，在AABC中，AB=AC,D是底邊BC上一點(diǎn)，E是線段AD上一點(diǎn)，且/BED=2/CED=/A.求證：BD=2CD.（1992年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽二試第2題）.如圖，設(shè)AB,CD為。。的兩直徑，過B作PB垂直于人8,并與CD延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P,過P作直線與。0分別交于E,F兩點(diǎn)，連結(jié)AE,AF分別與CD交于G,H求證:OG=OH.（2002年我愛數(shù)學(xué)初中生夏令營一試第2題）.

第二部分（圓冪定理的應(yīng)用）.如圖，等邊三角形ABC中，邊AB與。0相切于點(diǎn)H，邊BC,CA與。0交于點(diǎn)D,E,F,G。已知AG=2,GF=6,FC=1.貝UDE=.（第33屆美國中學(xué)生數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題改編）資料個(gè)人收集整理，勿做商業(yè)用途.如圖，。0和。。都經(jīng)過點(diǎn)A和B,PQ切。。于P，交。。于Q,M,交AB的延長(zhǎng)線于N.求證：PN2=MN?NQ..如圖，已知點(diǎn)P是O外一點(diǎn),PS,PT是O的兩條切線，過點(diǎn)P作O的割線PAB,交O于A.B兩點(diǎn)，并交ST于點(diǎn)C,求證：1-=1（-1-+A）.（2001年TI杯全國PC2PAPB初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽B卷第14題）第三部分（Ptolemy定理的應(yīng)用）.已知a,b,x,y是正實(shí)數(shù)，且a2+b2=1,x2+y2=1，求證：ax+by<1..從銳角YBC的外心O向它的邊BC,CA,AB作垂線，垂足分別為D,E,F.設(shè)MBC的外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為R,r.求證:OD+OE+OF=R+r..設(shè)^ABC與叢B的三邊分別為a,b,c與a,b,且#=4/A+nA=80.試0證:aa=bb+cc個(gè)第四部分（Simon定理的應(yīng)用）10．證明Carnot定理11.如圖,4ABC的邊BC上的高AD的延長(zhǎng)線交外接圓于P，作PE±AB于E,延長(zhǎng)ED交AC的延長(zhǎng)線于F.求證：BC?EF=BF?CE+BE,CF.資料個(gè)人收集整■勿做商.田設(shè)為外接圓圓周上一點(diǎn)在邊上的射影分別為 令設(shè)為外接圓圓周上一點(diǎn)在邊上的射影分別為 令求證”Aa=bn'b+Lm'c(提示：應(yīng)用張角定理設(shè)為4的邊，證略）sin(a+P)sina，證略）——1 = +——_APACAB習(xí)題解答:證明：圖，連QP,OP,OA,OQ,OB證A,,,點(diǎn)圓，慮視角定理，證ZOPA=ZOQA慮，證工AP=BQ,OB=OA,ZOBQ=180-ZOBA=180-ZOAB=180-ZOAC=ZOAPQ,ZOPA=ZOQA證2.證明:作/工EB的平分線交AB于點(diǎn)G,則，Z211(180—/BED)=(180-ZBAC)=/ABC2、 。 ， 2、。 ，G,E,D,B四點(diǎn)共圓.「./2=/3.故AGBD為等腰三角形.設(shè)F為BD中點(diǎn),連GF,則/6=/7過點(diǎn)G作GH^BC,叫AC與點(diǎn)H,連HD易知AG=AH注意到AG?AB=AE?AD=AH.AC：.E,D,C,H四點(diǎn)共圓.所以/4=/5「./5=/6可知AGBF二AHCD故BF=CD,于是BD=2CD.3．證明：TOC\o"1-5"\h\zFE。連過FFDE°CDABDAEE1 1 11u 1 1則/OCP=/PBO=90 OPCB圓11/OPC=/OBCFDEnCD /OPC=/DFC1 1 1111 1/OBC=/DFC 視1 11BFD C 圓11/FBA=/FCD=/FEA11DCnAE1OG=1OG=OHFE1慮FEECFE11這樣eGH1OGAOOH

DEADDF11 1 14.解:

設(shè)BD=x.CE=y.對(duì)口。及點(diǎn)A用圓冪定理，得A2=AG.AF=2x(2+6)=16nAH=4.AABC是正三角形;AB=AC=9BH=5同理,對(duì)口。及點(diǎn)B;口O及點(diǎn)C分別用圓冪定理，可得BD.BE=25=x(9—y)=25CE.CD=7oy(7-y)=7解得x=解得x=,y=7-r...DE=9-(x+y)=閉5．證明：對(duì)口0N運(yùn)圓冪2=NB?NA 證NB?NA=NM?NQ對(duì)口O'N運(yùn)圓冪NB?NA=NM?NQ6.證明:連PO交ST于點(diǎn)H,作OM1PB于點(diǎn)乂易知點(diǎn)M為AB中點(diǎn).111(PA+PB)=1(2PA+2AM)=。川即有12(PA+PB)=PM——(1)/CMO+/CHO=90cC,M,O,H四點(diǎn)共圓°PC.PM=PH.PO=PS2又PS是口O切線，所以PS2=PA.PB從而有PC.PM=PA.PB——(2)將(1)帶入(2),整理即得1 11=2(_+，)PC XPAPB7．證明：題 聯(lián)Ptolemy 構(gòu)圖邊/BAD=ZBCD=90貝l, 題設(shè)ABCD圓Ptolemyax+by=AC?BD<BD2=1最后一步是由于直徑是圓內(nèi)最大的弦8．證明：設(shè)為連IAIBICOAOBOC設(shè)OD=x,OE=y,OF=z圓為圓為則SABC=SIAB+SSIAC(a+b+c)= r2另一方面，SABC=SOAB+SSOACcx+by+az(a+b