2020-2021學(xué)年北京市101中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2020-2021學(xué)年北京市101中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共io小題）.

1.已知z=2-z,則z+z+i=（）

A.2-2zB.4-zC.2+2/D.4+z

TT

2.下列區(qū)間中，函數(shù)/CO=7sin(x--■）單調(diào)遞增的區(qū)間是（）

6

兀兀

A.(0,——)B.(—―,11)C.（m-）D.（―,2ir）

2222

3.在△ABC中，已知a=&,b=2,8=45°,則角A=()

A.30°或150°B.60°或120°C.60°D.30°

4.設(shè)平面a與平面0相交于直線，力直線a在平面a內(nèi)，直線6在平面0內(nèi)，且6_Lm,

則“a，0”是ua±b"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.在△ABC中，C=90°,AC=4,BC=3,點(diǎn)P是A8的中點(diǎn)，則無(wú).而=()

9g

A.—B.4C.—D.6

42

6.已知a,B是兩個(gè)不同的平面，〃?，〃是兩條不同的直線，下列命題中錯(cuò)誤的是（）

A.若初_La,n//m,;?cp,則a_L0

B.若加ua,a〃,則〃〃相

C.若山_10,a〃0,則〃〃相

D.若0_La,aG0=〃，加ua,n±m(xù),則加_1_0

7.若tan8=-2,則“n.gl+s嗎UJ=（）

sinW+cosW

6B2

ACD

554f

8.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的

調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間

9.如圖，在空間四邊形A8CO中，兩條對(duì)角線AC,8。互相垂直，且長(zhǎng)度分別為4和6,

平行于這兩條對(duì)角線的平面與邊4B,BC,CD,D4分別相交于與E,F,G,H,記四邊

形E尸G”的面積為必設(shè)暴=x，則()

A.函數(shù)y=7(x)的值域?yàn)?0,4]

B.函數(shù)(x)的最大值為8

C.函數(shù)y="x)在(0,卷)上單調(diào)遞增

D.函數(shù)y=f(x)滿足f(x)=/(-1-x)

10.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次

取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件”第二次取出的球的

數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球

的數(shù)字之和是7"，則（）

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

二、填空題（共6小題）.

11.設(shè)a€R,若復(fù)數(shù)（1+i）（a+i）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，則。=.

qTT

⑵若A為△A8C的內(nèi)角,且sin2A則cos（A+4）的值為?

13.如圖，已知PD垂直于正方形A88所在的平面，連接P8,PC,PA,AC,BD,則一

定互相垂直的平面有對(duì).

14.已知不等式cos21"-^—m〉0對(duì)于x￡?T恒成立，

則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

15.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“今有羨除”.劉徽注：“羨除，隧道也.其

所穿地，上平下邪.”現(xiàn)有一個(gè)羨除如圖所示，四邊形A8CDABFE,CQEF均為等腰

梯形，AB//CD//EF,AB=6,CD=8,EF=10,EF到平面A8CD的距離為3,CD與

AB間的距離為10,則這個(gè)羨除的體積是.

16.已知函數(shù)/（x）=|cosx|?siru?給出下列五個(gè)說(shuō)法:

①“誓1）=一恒

34

②若|/（即）|=，（X2）貝|JXI=X2+E（依Z）;

TTJT

@f（X）在區(qū)間［-￡）上單調(diào)遞增；

44

④函數(shù)/（九）的周期為e

⑤/"(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-萬(wàn)，0)成中心對(duì)稱.

其中正確說(shuō)法的序號(hào)是.

三、解答題共4小題.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.

17.在△ABC中，c=2,C=30。.再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作

為已知，使其能夠確定唯一的三角形，求：

(1)a的值；

(2)ZVIBC的面積.

條件①：助=如小條件②：42?：條件③：A=45°.

18.為迎接2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)，普及冬奧知識(shí)，某地區(qū)小學(xué)聯(lián)合開展了“冰雪答題王”

冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).現(xiàn)從參加該活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生，將他們的競(jìng)賽成績(jī)

(單位：分)用莖葉圖記錄如圖：

男女

58

80669

985705666S8

87641866

862219588

(I)從該地區(qū)參加該活動(dòng)的男生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該男生的競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上

的概率；

(1【)從該地區(qū)參加該活動(dòng)的全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取2人，估

計(jì)這4人中男生競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)比女生競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)多的概

率；

(III)為便于普及冬奧知識(shí)，現(xiàn)從該地區(qū)某所小學(xué)參加冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)

選取10名男生、10名女生作為冬奧宣傳志愿者.記這10名男生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)為陽(yáng)，

這10名女生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)為陽(yáng)，能否認(rèn)為因>口，說(shuō)明理由.

19.己知正四棱柱ABC。-A中，M是09的中點(diǎn).

(I)求證：8￡>i〃平面AMC；

(II)求證：AC±B￡>,；

BP

(III)在線段BBi上是否存在點(diǎn)P,當(dāng)麗;=入時(shí)，平面4PG〃平面AMC?若存在，

求出入的值并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.對(duì)吒N*,定義(sin'-cosnx)，

nn

(1)求〃2(x)-a\(x)的最小值；

(2)V吒N*,有〃〃(x)2A恒成立，求A的最大值；

(3)求證：不存在機(jī)，吒N*,且加＞小使得加(x)-an(x)為恒定常數(shù).

參考答案

一、選擇題（共10小題）.

1.已知z=2-i9則z+z+z=()

A.2-2/B.4-iC.2+2iD.4+i

解：由z=2-i,得z=2+i,

所以z+z+i=2-i+2+i+i=4+i.

故選：D.

jr

2.下列區(qū)間中，函數(shù)/(x)=7sin(x--)單調(diào)遞增的區(qū)間是()

6

D.號(hào),2K)

解：令一丁+2k兀一兀,依Z.

/bN

兀971

則二-+2k兀4x《\-+2k兀,依Z.

oO

當(dāng)&=0時(shí)，啰J,

OO

故選：A.

3.在△ABC中，已知4=料，b=2,B=45：則角A=()

A.30°或150°B.60°或120°C.60°D.30°

解：，:a=&,b=2,3=45°,

二由正弦定理不，得"、=.2

sinAsinBsinAsin45

可得sinA=^sin45。=微

.,.A=30°或150°

'：a<b,可得AVB,：.A=30°

故選：D.

4.設(shè)平面a與平面0相交于直線m,直線a在平面a內(nèi)，直線6在平面0內(nèi)，且祖,

則“a，0”是“也”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解：?.小_1_機(jī)，.,.當(dāng)a_L0,則由面面垂直的性質(zhì)可得a_L6成立，

若則aJ_0不一定成立，

故是的充分不必要條件，

故選：A.

5.在△ABC中，C=90°,AC=4,8C=3,點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，則而.而=()

A.—B.4C.—D.6

42

解：在△ABC中，C=90°,則混?須=°，

因?yàn)辄c(diǎn)P是A8的中點(diǎn)，

所以而(CB+CA>'

所以溫?而=苗礙(CB+CA)]=微而2+±混.而片混2=紙鏟=_|.

故選：C.

6.已知a,0是兩個(gè)不同的平面，，小〃是兩條不同的直線，下列命題中錯(cuò)誤的是()

A.若"?_La,nilm、nep,則ctJ_0

B.若〃zua,a//pf〃u0,則〃〃加

C.若機(jī)_La,a〃0,則〃〃〃？

D.若0J_a,aO0=〃，mua,n.Lm,貝ij

解：若m_La,n//mf則"_La,又〃u0,則a_L0,故A正確；

若〃?ua,a〃0,則〃〃相或"與m異面，故B錯(cuò)誤；

若〃zJ_a,a〃即則〃zJ_0,又〃_1_0,則〃〃相，故C正確；

若0_La,anp=w,mua,n_Lm9由平面與平面垂直的性質(zhì)可得加_L0,故。正確.

故選：B.

解：因?yàn)閠anB=-2,

所以sin8(l+sin28)=sin8(sin8+cos。)2=sin28+sin8cos8

sin8+cos0sin0+cos0sin20+cos20

tan29+tan9_4+(-2)_2

2說(shuō)--引

tan?+1

故選：C.

8.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間

解:對(duì)于A,該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率為(0.02+0.04)XI=0.06=

6%,故選項(xiàng)4正確；

對(duì)于B,該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率為(0.04+0.02X3)X1=0.1=

10%,故選項(xiàng)8正確；

對(duì)于C,估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值為3X0.02+4X0.04+5X0.1+6X0.14+7X0.2+8

X0.2+9X0.1+10X0.I+11X0.04+12X0.02+13X0.02+14X0.02=7.68>6.5萬(wàn)元，故選項(xiàng)C

錯(cuò)誤；

對(duì)于D,家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間的頻率為(0.1+0.14+0.2+0.2)X1=0.64

>0.5,

故估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至&5萬(wàn)元之間，故選項(xiàng)。正

確.

故選：C.

9.如圖，在空間四邊形A8CC中，兩條對(duì)角線AC,互相垂直，且長(zhǎng)度分別為4和6,

平行于這兩條對(duì)角線的平面與邊AB,BC,CD,DA分別相交于與E,F,G,H,記四邊

形EFG”的面積為》設(shè)普=x,則()

AB

A.函數(shù)y=f(x)的值域?yàn)?0,4]

B.函數(shù)y=/(x)的最大值為8

C.函數(shù)y=/(x)在(0,-i)上單調(diào)遞增

D.函數(shù)y=/(x)滿足/(無(wú))=/

解：?.?人(7〃平面￡'尸6”,80〃平面EFG4,

J.AC//EF.AC//HG,BD//EH.BD//FG,

則四邊形EFGH為平行四邊形，

:兩條對(duì)角線AC,8?；ハ啻怪?，

.?.EHLEF,則四邊形EFGH為矩形，

即EH=(1-x)BD=6(1-x),

FFRR

同理上一=—?jiǎng)tEF=x*AC=4x,

ACAB

則四邊形EFGH的面積(1-x)=24(x-x2)=-24(x-2+6,

VxG(0,1),

當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)取得最大值6,故A,8錯(cuò)誤.

函數(shù)的對(duì)稱軸為x=5，則函數(shù)在(0,5)上是單調(diào)遞增函數(shù)，故C正確.

23

:函數(shù)的對(duì)稱軸為x=]，

，函數(shù)y=/(x)滿足/(%)=/(1-x),故。錯(cuò)誤.

故選：c.

10.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次

取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件”第二次取出的球的

數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球

的數(shù)字之和是7"，貝U（）

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

解：由題意可知，兩點(diǎn)數(shù)和為8的所有可能為:(2,6),(3,5),(4,4)，(5,

3),(6,2),

兩點(diǎn)數(shù)和為7的所有可能為（1,6）,（2,5）,(3,4),(4,3)，(5,2),(6,

1),

P（甲）P（乙）P（丙）5561

=5，=5，,P（T）

666X6366乂6-6'

A：P（甲丙）=0WP（甲）P（丙），

B：P（甲丁）=±=p（甲）p（T），

36

C：P（乙丙）（乙）P（丙），

36

D：P（丙?。?0#尸（丙）P（丁），

故選：B.

二、填空題共6小題

11.設(shè)〃WR,若復(fù)數(shù)（1+i）（〃+i）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，則-1

解：（l+i）（a+i）=a-1+（a+1）i,

若復(fù)數(shù)（1+i）（〃+i）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，

則。+1=0,

解得：。=-1,

故答案為：-1

12.若A為△ABC的內(nèi)角，且sin2A則cos（A十區(qū)-）的值為―-：巳.

o

解：???A為△ABC的內(nèi)角，且sin2A

5

.3

2sinAcosA=-77-xF\C\

.'J5,解得cosA=

1010

,sin^2A+cos^2A=l

?/A.KX&兀.人.兀3Vl0.2迷

??COS(A-+^-T-J=COSA',COSF-T-sinA^sinrr------(-T————)=——?

+乙1UXUD

故答案為：心值.

5

13.如圖，已知P。垂直于正方形A8CD所在的平面，連接尸8,PC,PA,AC,BD,則一

解：根據(jù)題意，因?yàn)槭?。垂直于正方?8。所在的平面,

POu平面PAD,POu平面PCD,POu平面PBD,

所以平面P4O_L平面ABCD,平面PC￡>_L平面ABCD,平面PBO_L平面ABCDi

因?yàn)镻O_L平面ABCD,ABu平面ABCD,

所以AB_LP。，由于A8_LAO,ADnPD=D,

所以A8L平面PAD,

因?yàn)锳8u平面PA8,所以平面PAB_L平面PAD；

又CO〃AB,所以CC平面PAO,因?yàn)镃Qu平面尸C￡>,

所以平面PCZ)J_平面PAD；

因?yàn)椤?。，平面ABCD,BCu平面ABCD,

所以PO_LBC,因?yàn)锽C_LCD,PDRCD=D,

所以BC_L平面尸C￡>,又BCu平面PBC,

所以平面P8C_L平面PCD；

因?yàn)镻Z)_L平面A8C￡>,ACu平面A8CC,

所以PQL4C,又AC_LB。，PDCBD=D,

所以ACJ_平面P3Z),又ACu平面PAC,

所以平面24(7_1平面PBD,

故一定互相垂直的平面有7對(duì).

故答案為：7.

14.已知不等式J^sirr^cos^W^cosZ"^■二^-m>0對(duì)于x￡[~~5-*飛~丁恒成立,

則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍是(-8,亞].

-----2J__

解：令/(x)=A/2siir-coff---H/6cos2-^^'

則…=謬嗚初'苣生羋

,V2.cos4=V2sin(y-^)-

-2~S1

因?yàn)閤C［-等，?］，所以/玲E［小，冬］，

OOoOCt

所以辛?《加sin華書-）《近，

由于不等式?sin^coq+>/^（：052菅~^-1［1）0對(duì)于x€「飛-，飛~］恒成立

V2

可得mWf（X）min

2

所以，"的取值范圍為（-8,乎］.

故答案為：（-8,

15.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“今有羨除”.劉徽注：“羨除，隧道也.其

所穿地，上平下邪.”現(xiàn)有一個(gè)羨除如圖所示，四邊形A8CQ,ABFE,CQEF均為等腰

梯形，AB//CD//EF,AB=6,CD=8,E/=10,E/到平面ABCD的距離為3,CD與

A8間的距離為10,則這個(gè)羨除的體積是120

解：連接CE,BE,DB,

則/Y8CD=^X」X(6+8)X10X3=70

32

3

VD-ABE=VE-ABD=—VE-ABCD—30,

Vc-BEF=Vof8E=50.

.?.這個(gè)羨除的體積v=VE-ABCD+VC-BEF=10+50=120.

故答案為：120.

16.已知函數(shù)/（x）=|coW?siriE給出下列五個(gè)說(shuō)法：

?f."兀）=-返；

34

②若，（即）|=|/（X2）\,則加=12+所1（依Z）;

JT兀

③/（X）在區(qū)間［-二，上單調(diào)遞增；

44

④函數(shù)/（4）的周期為1T；

TT

@fCx）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-今，0）成中心對(duì)稱.

其中正確說(shuō)法的序號(hào)是①③.

他公“2014兀、,2014兀?.2014冗愿,1、如工臉

解：（17（------——）=|cos——-——psin——-——=-!L±L.（，）=_止確；

333224

11jr

②若|＜（xi）=/（及）I，即長(zhǎng)sin2xi|=|$in2x2|,貝！Ixi=0,及=或-時(shí)也成立，故②不正

確；

JTJT1

③在區(qū)間［----，-----］上，f（x）=|cosx|?sinx==sin2x,單調(diào)遞增，正確；

442

@'.'f（x+n）（x）,.,.函數(shù)/（X）的周期不是TT,不正確；

⑤函數(shù)f（x）=|cosx|,siiu,.?.函數(shù)是奇函數(shù)，.../（X）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0,0）成中心

JT

對(duì)稱，點(diǎn)（-三,0）不是函數(shù)的對(duì)稱中心，故不正確.

故答案為：①③.

三、解答題共4小題.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.

17.在△ABC中，c=2,C=30°.再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作

為已知，使其能夠確定唯一的三角形，求：

（1）。的值；

（2）ZVIBC的面積.

條件①：28=J&；條件②：6=2?；條件③：A=45°.

解：選條件①時(shí)，

(1)由于：2b=M：i；

由于c=2,C=30°,

Ma?+(條)2-4

所以cosC=

整理得。=4；

(2)根據(jù)題意：6=2?,

所以滿足“2=〃+/,

故△ABC為直角三角形；

所以S^ABC卷bc=2Vi

選條件②時(shí)：b=2￡

由于c=2,C=30°,

Ma?+(條)2-4

所以cosC=

所以a=4,

(2)由于c=2,

所以滿足〃=序+/,

故△ABC為直角三角形；

所以54?？垂?2百

選條件③時(shí)：由于A=45°.C=30°,c=2,

利用正弦定理：解得。=2&,

(2)在△ABC中，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=

所以SAABCVacsinB=3X2aX2X逅普=^+〉

18.為迎接2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)，普及冬奧知識(shí)，某地區(qū)小學(xué)聯(lián)合開展了“冰雪答題王”

冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).現(xiàn)從參加該活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生，將他們的競(jìng)賽成績(jī)

(單位：分)用莖葉圖記錄如圖：

男女

58

80669

98570566688

87641S66

862219588

(I)從該地區(qū)參加該活動(dòng)的男生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該男生的競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上

的概率；

(II)從該地區(qū)參加該活動(dòng)的全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取2人，估

計(jì)這4人中男生競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)比女生競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)多的概

率；

(III)為便于普及冬奧知識(shí)，現(xiàn)從該地區(qū)某所小學(xué)參加冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)

選取10名男生、10名女生作為冬奧宣傳志愿者.記這10名男生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)為內(nèi)，

這10名女生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)為總，能否認(rèn)為閨＞由，說(shuō)明理由.

解：(I)由莖葉圖可知，隨機(jī)抽取的30名學(xué)生中男生有15名，其中競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分

以上的學(xué)生有5名，

，隨機(jī)抽取的15名男生中競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上的頻率為與《，

，從該地區(qū)參加該活動(dòng)的男生中隨機(jī)抽取1人，

該男生的競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上的概率估計(jì)為方.

(II)記A,(i=l,2)表示“第i名男生的競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上”，

50=1，2)表示“第/名女生的競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上”，

C表示“這4人中男生競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)比女生競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)

多”，

同(1),從該地區(qū)參加該活動(dòng)的女生中隨機(jī)選1人，該生生競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上的概

率估計(jì)為鳥=4，

IDD

則這4人中男生競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)比女生競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)多的概

率為：

P(C)=P(AjA2B^2+AjA2B^2+AjA2B^2+AJA2B^2+A1A2B^2)

+4-

P(A1)P(A2)P(B7)P(B^)P(A1)P(A2)P(B7)P(B2)

P(A1)P(A2)P(B1)P(B^)+PQPM*3)P⑧)+

P(A1)P跖)P(M)P⑧)

=yX^-x(l-x(1-4)+TXTX(1-F)X]X(1-4)+(I

oo當(dāng)bboobb蠟o+，o待bb

?1)xlx(i-y)x(l-y)+yX(1-y)x(1-y)x(i--1)

_88

-225'

(III)不能認(rèn)為田〉r,理由如下:

上述10名男生，10名女生的競(jìng)賽成績(jī)的數(shù)據(jù)是隨機(jī)的,

Hl>口2是隨機(jī)的，

二無(wú)法確定是否有m>n2.

19.己知正四棱柱ABCD-AIiCiOi中，M是。A的中點(diǎn).

(I)求證：8?！ㄆ矫鍭MC；

(II)求證：AC_LBA；

BP

(IH)在線段88上是否存在點(diǎn)尸，當(dāng)而;=入時(shí)，平面4PG〃平面AMC?若存在,

求出入的值并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

)￡1

\%

、

一

/

R

【解答】(本小題滿分14分)

(I)證明：在正四棱柱ABCD-AiBiGG中，連結(jié)8。交AC于N,連結(jié)MN.

因?yàn)锳8C￡)為正方形，所以N為8。中點(diǎn).…(1分)

在△08。中，因?yàn)镸為。A中點(diǎn)，

所以8￡>i〃MN.…

因?yàn)镸Nu平面AMC,BZZ不包含于平面AMC,…

所以BO"平面AMC.…

(II)證明因?yàn)锳BCD為正方形,

所以ACLBO.…

因?yàn)?。Z)iJ_平面ABCD,

所以DDiL4c.…

因?yàn)椤?

所以ACJ_平面BOA.…

因?yàn)?出u平面BDD\,

所以ACJ_8Oi.…

(III)解：當(dāng)入弓，即點(diǎn)尸為線段BBi的中點(diǎn)時(shí)，平面4PG〃平面AMC.…

因?yàn)锳4〃CG,且A4i=CG,

所以四邊形AAyCyC是平行四邊形.

所以AC〃4G.…

取CG的中點(diǎn)Q,連結(jié)MQ,QB.

因?yàn)镸