專題07空間中的距離5種常見考法歸類（原卷版）

專題07空間中的距離5種常見考法歸類1．空間中兩點(diǎn)之間的距離空間中兩點(diǎn)之間的距離指的是這兩個(gè)點(diǎn)連線的線段長(zhǎng)．注：在空間中求兩點(diǎn)之間的距離：利用向量法轉(zhuǎn)化為求向量的模．2．點(diǎn)到直線的距離給定空間中一條直線l及l(fā)外一點(diǎn)A，因?yàn)閘與A能確定一個(gè)平面，所以過A可以作直線l的一條垂線段，垂線段的長(zhǎng)稱為點(diǎn)A到直線l的距離．3．點(diǎn)到平面的距離(1)給定空間中一個(gè)平面α及α外一點(diǎn)A，過A可以作平面α的一條垂線段，垂線段的長(zhǎng)稱為點(diǎn)A到平面α的距離．注：點(diǎn)到平面的距離是這個(gè)點(diǎn)與平面內(nèi)點(diǎn)的最短連線的長(zhǎng)度．(2)一般地，若A是平面α外一點(diǎn)，B是平面α內(nèi)一點(diǎn)，n是平面α的一個(gè)法向量，則點(diǎn)A到平面α的距離為d＝eq\f(|\o(BA,\s\up7(→))·n|,|n|)．注：若點(diǎn)A是平面α內(nèi)一點(diǎn)，則約定A到平面α的距離為0．4．相互平行的直線與平面之間、相互平行的平面與平面之間的距離(1)當(dāng)直線與平面平行時(shí)，直線上任意一點(diǎn)到平面的距離稱為這條直線與這個(gè)平面之間的距離，如果直線l與平面α平行，n是平面α的一個(gè)法向量，A、B分別是l上和α內(nèi)的點(diǎn)，則直線l與平面α之間的距離為d＝eq\f(|\o(BA,\s\up7(→))·n|,|n|)．(2)當(dāng)平面與平面平行時(shí)，一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離稱為這兩個(gè)平行平面之間的距離．如果平面α與平面β平行，n是平面β的一個(gè)法向量，A和B分別是平面α和平面β內(nèi)的點(diǎn)，則平面α和平面β之間的距離為d＝eq\f(|\o(BA,\s\up7(→))·n|,|n|)．注：線面距、面面距與點(diǎn)面距：5．計(jì)算兩點(diǎn)間的距離的兩種方法(1)利用|a|2＝a·a，通過向量運(yùn)算求|a|，如求A，B兩點(diǎn)間的距離，一般用|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(\o(|\o(AB,\s\up7(→))|2))＝eq\r(\o(\o(AB,\s\up7(→))·\o(AB,\s\up7(→))))求解．(2)用坐標(biāo)法求向量的長(zhǎng)度(或兩點(diǎn)間距離)，此法適用于求解的圖形適宜建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)．6．理解與認(rèn)識(shí)點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)到直線的距離，即點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度，由于直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，所以空間點(diǎn)到直線的距離問題可轉(zhuǎn)化為空間某一個(gè)平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離問題．(1)點(diǎn)在直線上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為0．(2)點(diǎn)在直線外時(shí)，點(diǎn)到直線的距離即為此點(diǎn)與過此點(diǎn)向直線作垂線的垂足間的距離．即點(diǎn)到直線的距離可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離．注：設(shè)出點(diǎn)在直線上的射影，利用垂直關(guān)系求出射影的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為求向量的模．7．用向量法求點(diǎn)線距的一般步驟建立空間直角坐標(biāo)系；（2）求直線的方向向量；（3）計(jì)算所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影長(zhǎng)；（4）利用勾股定理求解．另外，要注意平行直線間的距離與點(diǎn)到直線的距離之間的轉(zhuǎn)化.8．用向量法求點(diǎn)面距的方法與步驟(1)建坐標(biāo)系：結(jié)合圖形的特點(diǎn)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)求向量：在坐標(biāo)系中求出點(diǎn)到平面內(nèi)任一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量eq\o(AB,\s\up7(→))；(3)求法向量：設(shè)出平面的法向量，利用向量垂直的條件轉(zhuǎn)化為求解方程組，求出法向量n；(4)得答案：代入公式d＝eq\f(|\o(AB,\s\up7(→))·n|,|n|)求得答案．注：用向量法求點(diǎn)到平面的距離的關(guān)鍵是確定平面的法向量．9．用向量法求線面距求直線與平面間的距離，往往轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解，且這個(gè)點(diǎn)要適當(dāng)選取，以求解最為簡(jiǎn)單為準(zhǔn)則，求直線到平面的距離的題目不多，因直線到平面的距離可以用點(diǎn)到平面的距離求解，但在求點(diǎn)到平面的距離時(shí)有時(shí)用直線到平面的距離進(jìn)行過渡.考點(diǎn)一空間兩點(diǎn)間的距離考點(diǎn)二點(diǎn)到直線的距離考點(diǎn)三點(diǎn)到平面的距離考點(diǎn)四線面平行、平行平面間的距離考點(diǎn)五空間線段點(diǎn)的存在性問題考點(diǎn)一空間兩點(diǎn)間的距離1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E，F(xiàn)分別為D1D，BD的中點(diǎn)，G在棱CD上，且，H為的中點(diǎn)，應(yīng)用空間向量方法求解下列問題．(1)求證：；(2)求與所成角的余弦值；(3)求的長(zhǎng)．2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，直三棱柱中，，，分別是棱的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)度．3．（2024秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，，分別是，的中點(diǎn)．(1)求的距離；(2)求的值．考點(diǎn)二點(diǎn)到直線的距離4．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線過點(diǎn)，直線的一個(gè)方向向量為，則到直線的距離等于（

）A． B．C． D．55．（2023秋·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知直線過定點(diǎn)，且為其一個(gè)方向向量，則點(diǎn)到直線的距離為．6．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直三棱柱中，，，則點(diǎn)B到直線的距離為．7．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知三棱錐，，且，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B．C． D．38．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，為矩形所在平面外一點(diǎn)，平面，若已知，則到直線的距離為．考點(diǎn)三點(diǎn)到平面的距離9．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知正四棱柱，點(diǎn)為中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離．10．（2023秋·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）在三棱錐中，底面，則點(diǎn)到平面的距離是（

）A． B． C． D．11．（2023秋·上海浦東新·高三上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考開學(xué)考試）若，則三棱錐的體積為．12．（2023秋·江西南昌·高二南昌市八一中學(xué)校考階段練習(xí)）正四棱柱中，，，為中點(diǎn)，為下底面正方形的中心．求：(1)點(diǎn)到直線的距離；(2)點(diǎn)到平面的距離．13．（2023秋·浙江嘉興·高二浙江省海鹽高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在多面體中，平面，平面平面，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，．(1)求點(diǎn)B到平面ECD的距離；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值．14．（2023秋·廣東佛山·高二校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐中，是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，平面平面ABCD，，底面ABCD的面積為，E為PD的中點(diǎn)．(1)證明：平面PAB；(2)求點(diǎn)A到直線CE的距離；(3)求直線CE與平面PAB間的距離．15．（2023春·高二單元測(cè)試）如圖，在三棱錐中，PA⊥平面ABC，，D，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC，CP的中點(diǎn)，.(1)求直線PA與平面DEF所成角的正弦值；(2)求點(diǎn)P到平面DEF的距離；(3)求點(diǎn)P到直線EF的距離．考點(diǎn)四線面平行、平行平面間的距離16．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知正方形的邊長(zhǎng)為1，平面，且分別為的中點(diǎn)，求直線到平面的距離．17．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，則直線到平面的距離是（

）A．5 B．8 C． D．18．【多選】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，在正方體內(nèi)部且滿足，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)到直線的距離是 B．點(diǎn)到平面的距離為C．點(diǎn)到直線的距離為 D．平面與平面間的距離為19．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若兩平行平面、分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)，且兩平面的一個(gè)法向量為，則兩平面間的距離是．20．（2023·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為4，設(shè)M、N、E、F分別是，的中點(diǎn)，求平面AMN與平面EFBD的距離．考點(diǎn)五空間線段點(diǎn)的存在性問題21．（2023秋·北京門頭溝·高二大峪中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為4的正方形．為矩形，，．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)證明：在線段上是否存在點(diǎn)P，使得P點(diǎn)到平面的距離為，若存在，求的值．不存在請(qǐng)說明理由．22．（2023春·江蘇連云港·高二連云港高中?？计谥校┤鐖D在四棱錐中，側(cè)面底面，側(cè)棱，底面為直角梯形，其中，，，為的中點(diǎn)．(1)求二面角的正弦值；(2)線段上是