2022年河南省洛陽(yáng)市大連楓葉國(guó)際學(xué)校高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

2022年河南省洛陽(yáng)市大連楓葉國(guó)際學(xué)校高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C作可行域，如圖陰影部分所示.表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率.易知，，.當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，，切點(diǎn)為，所以切點(diǎn)位于點(diǎn)、之間.因此根據(jù)圖形可知，的最大值為.故選C.

拓展：思考：如何求的取值范圍呢？答案：更一般地，當(dāng)直線，的交點(diǎn)不在可行域內(nèi)時(shí)，的取值范圍均能求出。2.已知全集,,則A．

B．

C．

D．參考答案：B略3.已知集合，集合，則（）A.{－1,0,1} B.{－1,1} C.[－1,1] D.(－1,1)參考答案：A【分析】首先求出集合U，然后利用補(bǔ)集的運(yùn)算求出即可。【詳解】∵集合，集合，∴．故選：A．4.已知函數(shù)的圖象如圖所示，令，則下列關(guān)于函數(shù)g(x)的說(shuō)法中不正確的是（

）A．函數(shù)g(x)圖象的對(duì)稱軸方程為B．函數(shù)g(x)的最大值為C．函數(shù)g(x)的圖象上存在點(diǎn)P，使得在P點(diǎn)處的切線與直線l：平行D．方程的兩個(gè)不同的解分別為，，則最小值為參考答案：C5.定義在R上的偶函數(shù)f(x)在[0，+∞）上是增函數(shù)，且，則不等式的解集是(

)A、

B、

C、

D、參考答案：C略6.如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，點(diǎn)P在△ABC所在的平面內(nèi)，且（a為常數(shù)）．下列結(jié)論中，正確的是（）A．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有且只有一個(gè)．B．當(dāng)a=1時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有三個(gè)．C．當(dāng)a＞1時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有無(wú)數(shù)個(gè)．D．當(dāng)a為任意正實(shí)數(shù)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P是有限個(gè)．參考答案：C

考點(diǎn)：平面向量的綜合題．專題：計(jì)算題；平面向量及應(yīng)用．分析：以BC所在直線為x軸，BC中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示設(shè)P（x，y），將式子化為關(guān)于x、y、a的式子，化簡(jiǎn)整理可得x2+（y﹣）2=（a﹣1），討論a的取值范圍，可得當(dāng)a＞1時(shí)方程表示以點(diǎn)（0，）為圓心，半徑r=的圓，滿足條件的點(diǎn)P有無(wú)數(shù)個(gè)，可知只有C項(xiàng)符合題意．解答：解：以BC所在直線為x軸，BC中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示則A（﹣，0），B（，0），C（0，），設(shè)P（x，y），可得=x2+（y﹣）2，=（x+）2+y2，=（x﹣）2+y2∵∴x2+（y﹣）2+（x+）2+y2+（x﹣）2+y2=a化簡(jiǎn)得：3x2+3y2﹣y+﹣a=0，即x2+y2﹣y+﹣=0配方，得x2+（y﹣）2=（a﹣1）…（1）當(dāng)a＜1時(shí)，方程（1）的右邊小于0，故不能表示任何圖形；當(dāng)a=1時(shí)，方程（1）的右邊為0，表示點(diǎn)（0，），恰好是正三角形的重心；當(dāng)a＞1時(shí)，方程（1）的右邊大于0，表示以（0，）為圓心，半徑為的圓由此對(duì)照各個(gè)選項(xiàng)，可得只有C項(xiàng)符合題意故選：C點(diǎn)評(píng)：本題給出正三角形中滿足條件的動(dòng)點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程，著重考查了坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)的距離公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和含有參數(shù)的二次方程的討論等知識(shí)，屬于中檔題．7.已知函數(shù)，若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后關(guān)于y軸對(duì)稱，則下列結(jié)論中不正確的是A.

B.是f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

C.

D.是f(x)圖象的一條對(duì)稱軸參考答案：C由題意可知，故，.故選C.8.已知命題p：x∈[1,2],示，ex-a≥0.若p是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A.（-∞，e2]

B.（-∞，e]

C.[e，+∞）

D.[e2，+∞）參考答案：B9.某單位有職工750人，其中青年職工350人，中年職工250人，老年職工150人，為了了解該單位職工的健康情況，用分層抽樣的方法從中抽取樣本．若樣本中的青年職工為7人，則樣本容量為A．B．C．D．參考答案：B10.如果實(shí)數(shù)x、y滿足條件，那么2x﹣y的最大值為（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣3參考答案：B【考點(diǎn)】7D：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用．【分析】先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，再利用幾何意義求最值，z=2x﹣y表示直線在y軸上的截距，只需求出可行域直線在y軸上的截距最大值即可．【解答】解：先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，當(dāng)直線2x﹣y=t過(guò)點(diǎn)A（0，﹣1）時(shí)，t最大是1，故選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量均為單位向量，若它們的夾角是，則等于

.參考答案：略12.已知⊙⊙兩圓外公切線交于，內(nèi)公切線交于點(diǎn)，若則___________．參考答案：答案:13.(極坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)若分別是曲線和上的動(dòng)點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的距離的最小值是

；

參考答案：14.若函數(shù)的反函數(shù)為，則

．參考答案：【解析】令則且答案：15.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若其面積，角A的平分線AD交BC于D，，，則b=________.參考答案：1，可知，即.由角分線定理可知，，，在中，，在中，，即，則.16.設(shè)函數(shù)f（x）=，①若a=1，則f（x）的最小值為

；②若f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：

﹣1;≤a＜1或a≥2.

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)；分段函數(shù)的應(yīng)用．專題：創(chuàng)新題型；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：①分別求出分段的函數(shù)的最小值，即可得到函數(shù)的最小值；②分別設(shè)h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分兩種情況討論，即可求出a的范圍．解答：解：①當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=，當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=2x﹣1為增函數(shù)，f（x）＞﹣1，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，當(dāng)1＜x＜時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x＞時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)x=時(shí)，f（x）min=f（）=﹣1，②設(shè)h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1時(shí)，h（x）=與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，所以a＞0，并且當(dāng)x=1時(shí)，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函數(shù)g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一個(gè)交點(diǎn)，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函數(shù)h（x）=2x﹣a在x＜1時(shí)，與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則函數(shù)g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)a≤0時(shí)，h（x）與x軸無(wú)交點(diǎn)，g（x）無(wú)交點(diǎn)，所以不滿足題意（舍去），當(dāng)h（1）=2﹣a≤時(shí)，即a≥2時(shí)，g（x）的兩個(gè)交點(diǎn)滿足x1=a，x2=2a，都是滿足題意的，綜上所述a的取值范圍是≤a＜1，或a≥2．點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)的問(wèn)題，以及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，培養(yǎng)了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力以及分類能力，屬于中檔題．17.有下列各式：1++＞1，1++…+＞，1+++…+＞2，…則按此規(guī)律可猜想此類不等式的一般形式為：

．參考答案：

【考點(diǎn)】歸納推理．【分析】觀察各式左邊為的和的形式，項(xiàng)數(shù)分別為：3，7，15，故可猜想第n個(gè)式子中應(yīng)有2n+1﹣1項(xiàng)，不等式右側(cè)分別寫(xiě)成，，故猜想第n個(gè)式子中應(yīng)為，由此可寫(xiě)出一般的式子．【解答】解：觀察各式左邊為的和的形式，項(xiàng)數(shù)分別為：3，7，15，故可猜想第n個(gè)式子中應(yīng)有2n+1﹣1項(xiàng)，不等式右側(cè)分別寫(xiě)成，，故猜想第n個(gè)式子中應(yīng)為，按此規(guī)律可猜想此類不等式的一般形式為：故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查歸納推理、考查觀察、分析、解決問(wèn)題的能力．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC=1，AB=2，PC=PD=，E為PA中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：PC∥平面BED；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在點(diǎn)M，使得BM⊥AC？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為F，連結(jié)EF，推導(dǎo)出EF∥PC．由此能證明PC∥平面BED．（Ⅱ）取CD中點(diǎn)O，連結(jié)PO．推導(dǎo)出PO⊥CD，取AB中點(diǎn)G，連結(jié)OG，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的余弦值．（Ⅲ）設(shè)M是棱PC上一點(diǎn)，則存在λ∈[0，1]使得．利用向量法能求出在棱PC上存在點(diǎn)M，使得BM⊥AC．此時(shí)，=【解答】（共14分）證明：（Ⅰ）設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為F，連結(jié)EF．因?yàn)锳BCD為矩形，所以F為AC的中點(diǎn)．在△PAC中，由已知E為PA中點(diǎn)，所以EF∥PC．又EF?平面BFD，PC?平面BFD，所以PC∥平面BED．…（Ⅱ）取CD中點(diǎn)O，連結(jié)PO．因?yàn)椤鱌CD是等腰三角形，O為CD的中點(diǎn)，所以PO⊥CD．又因?yàn)槠矫鍼CD⊥平面ABCD，PO?平面PCD，所以PO⊥平面ABCD．取AB中點(diǎn)G，連結(jié)OG，由題設(shè)知四邊形ABCD為矩形，所以O(shè)F⊥CD．所以PO⊥OG．…如圖建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，則A（1，﹣1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），D（0，﹣1，0），B（1，1，0），O（0，0，0），G（1，0，0）．=（﹣1，2，0），=（0，1，﹣1）．設(shè)平面PAC的法向量為=（x，y，z），則，令z=1，得=（2，1，1）．平面PCD的法向量為=（1，0，0）．設(shè)的夾角為α，所以cosα==．由圖可知二面角A﹣PC﹣D為銳角，所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值為．…（Ⅲ）設(shè)M是棱PC上一點(diǎn)，則存在λ∈[0，1]使得．因此點(diǎn)M（0，λ，1﹣λ），=（﹣1，λ﹣1，1﹣λ），=（﹣1，2，0）．由，得1+2（λ﹣1）=0，解得．因?yàn)椤蔥0，1]，所以在棱PC上存在點(diǎn)M，使得BM⊥AC．此時(shí)，=．

…19.設(shè)A(－1，2)，B(2，－1)，C(sinθ，cosθ)，O(0，0)。(1)若，求的值；(2)若，求5m－n的最大值。參考答案：20.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和Sn滿足.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}是公比為4的等比數(shù)列，且也是等比數(shù)列，若數(shù)列單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若數(shù)列{bn}、{cn}都是等比數(shù)列，且滿足，試證明：數(shù)列{cn}中只存在三項(xiàng).參考答案：（1），故當(dāng)時(shí)，兩式做差得，

…………2分由為正項(xiàng)數(shù)列知，，即為等差數(shù)列，故

…………4分（2）由題意，，化簡(jiǎn)得，所以，…………6分所以，由題意知恒成立，即恒成立，所以，解得

…………8分（3）不妨設(shè)超過(guò)項(xiàng)，令，由題意，則有，即

…………11分帶入，可得

（*），若則，即為常數(shù)數(shù)列，與條件矛盾;若，令得，令得，兩式作商，可得，帶入（*）得，即為常數(shù)數(shù)列，與條件矛盾，故這樣的只有項(xiàng)

……………16分21.（本小題滿分12分）)已知函數(shù).（I）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；（II）設(shè)函數(shù)，（?。┤艉瘮?shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求a的值；（ⅱ）在（?。┑臈l件下，若，，求m的取值范圍。參考答案：（1）解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，定義域.……1分，又，在處的切線

……4分（Ⅱ）（ⅰ）令=0則即

…………5分令，則

令

，，在上是減函數(shù)…7分又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以當(dāng)函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)

…8分（ⅱ）當(dāng)，，若，，只