第五章 彎曲內(nèi)力與彎曲應(yīng)力-1

第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力彎曲內(nèi)力與應(yīng)力材料力學(xué)1彎曲內(nèi)力與應(yīng)力§工程實(shí)例、基本概念§彎曲內(nèi)力與內(nèi)力圖§剪力、彎矩與分布荷載間的關(guān)系及應(yīng)用§按疊加原理作彎矩圖§平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖彎曲內(nèi)力部分小結(jié)第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力§5—6彎曲正應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算§5—7彎曲剪應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算§5—8提高彎曲強(qiáng)度的措施彎曲應(yīng)力部分小結(jié)2§1

工程實(shí)例、基本概念一、實(shí)例工廠廠房的天車大梁：火車的輪軸：第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力FFFFFF3樓房的橫梁：陽臺的挑梁：第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力4第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力5二、彎曲的概念：受力特點(diǎn)——作用于桿件上的外力都垂直于桿的軸線。變形特點(diǎn)——桿軸線由直線變?yōu)橐粭l平面的曲線。三、梁的概念：主要產(chǎn)生彎曲變形的桿。四、平面彎曲的概念：第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力6受力特點(diǎn)——作用于桿件上的外力都垂直于桿的軸線，且都在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)（通過或平行形心主軸上且過彎曲中心）。變形特點(diǎn)——桿的軸線在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)由直線變?yōu)橐粭l平面曲線。縱向?qū)ΨQ面MF1F2q第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力7五、彎曲的分類：1、按桿的形狀分——直桿的彎曲；曲桿的彎曲。2、按桿的長短分——細(xì)長桿的彎曲；短粗桿的彎曲。3、按桿的橫截面有無對稱軸分——

有對稱軸的彎曲；無對稱軸的彎曲。4、按桿的變形分——平面彎曲；斜彎曲；彈性彎曲；塑性彎曲。5、按桿的橫截面上的應(yīng)力分——純彎曲；橫力彎曲。第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力8（一）、簡化的原則：便于計(jì)算，且符合實(shí)際要求。（二）、梁的簡化：以梁的軸線代替梁本身。（三）、荷載的簡化：1、集中力——荷載作用的范圍與整個桿的長度相比非常小時。2、分布力——荷載作用的范圍與整個桿的長度相比不很小時。3、集中力偶（分布力偶）——作用于桿的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的力偶。（四）、支座的簡化：1、固定端——有三個約束反力。FXAFAYMA第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力六、梁、荷載及支座的簡化92、固定鉸支座——有二個約束反力。3、可動鉸支座——有一個約束反力。第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力FAYFAXFAY10（五）、梁的三種基本形式：M—集中力偶q(x)—分布力1、懸臂梁：2、簡支梁：3、外伸梁：—集中力Fq—均布力LLLL（L稱為梁的跨長）第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力11（六）、靜定梁與超靜定梁靜定梁：由靜力學(xué)方程可求出支反力，如上述三種基本形式的靜定梁。超靜定梁：由靜力學(xué)方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力12§2彎曲內(nèi)力與內(nèi)力圖一、內(nèi)力的確定（截面法）：[舉例]已知：如圖，F(xiàn)，a，l。

求：距A端x處截面上內(nèi)力。FAYFAXFBYFABFalAB解：①求外力FAX=0以后可省略不求第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力13ABFFAYFAXFBYmmx②求內(nèi)力FsMMFs∴

彎曲構(gòu)件內(nèi)力剪力彎矩1.彎矩：M

構(gòu)件受彎時，橫截面上存在垂直于截面的內(nèi)力偶矩（彎矩）。AFAYCFBYFC第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力142.剪力：Fs

構(gòu)件受彎時，橫截面上存在平行于截面的內(nèi)力（剪力）。二、內(nèi)力的正負(fù)規(guī)定:①剪力Fs:在保留段內(nèi)任取一點(diǎn)，如果剪力的方向?qū)ζ潼c(diǎn)之矩為

順時針的，則此剪力規(guī)定為正值，反之為負(fù)值。②彎矩M：使梁微段變成上凹下凸形狀的為正彎矩；反之為負(fù)值。Fs(+)Fs(+)Fs(–)Fs(–)M(+)M(+)M(–)M(–)第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力15三、注意的問題1、在截開面上設(shè)正的內(nèi)力方向。2、在截開前不能將外力平移或簡化。四、簡易法求內(nèi)力：Fs=∈Fi（一側(cè)），M=∈mi。（一側(cè)）。左上右下剪力為正，左順右逆彎矩為正。第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力16[例]：求圖（a）所示梁1--1、2--2截面處的內(nèi)力。qLFs1AM1圖（b）x1（2）截面法求內(nèi)力。

1--1截面處截取的分離體

如圖（b）示。解（1）確定支座反力（可省略）圖（a）qqLab1122第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力172--2截面處截取的分離體如圖（c）圖（a）qLab1122qLFs2BM2x2圖（c）第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力18[例]：求圖所示梁1--1、2--2截面處的內(nèi)力。aaaABCDFa11221.3a0.5aF解：（1）確定支座反力FCYFBY（2）簡易法求內(nèi)力1--1截面取左側(cè)考慮：2--2截面取右側(cè)考慮：第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力191200N/m800NAB1.5m1.5m3m2m1.5m1122[例]：求圖所示梁1--1、

2--2截面處的內(nèi)力。解：（1）確定支座反力FAYFBY（2）簡易法求內(nèi)力1--1截面取左側(cè)考慮：第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力201200N/m800NAB1.5m1.5m3m2m1.5m1122FAYFBY2--2截面取右側(cè)考慮：第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力21五、剪力方程、彎矩方程：把剪力、彎矩表達(dá)為截面位置x的函數(shù)式。

Fs=Fs(x）————剪力方程

M=M(x)————彎矩方程

注意：不能用一個函數(shù)表達(dá)的要分段，分段點(diǎn)為集中力作用點(diǎn)、集中力偶作用點(diǎn)、分布力的起點(diǎn)、終點(diǎn)。LqABx第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力22六、剪力圖和彎矩圖：剪力、彎矩沿梁軸線變化的圖形。七、剪力圖、彎矩圖繪制的步驟：同軸力圖。1、建立直角坐標(biāo)系，2、取比例尺，3、按坐標(biāo)的正負(fù)規(guī)定畫出剪力圖和彎矩圖。XFsXM第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力23八、利用剪力方程彎矩方程畫出剪力圖和彎矩圖步驟：1、利用靜力方程確定支座反力。2、根據(jù)荷載分段列出剪力方程、彎矩方程。3、根據(jù)剪力方程、彎矩方程判斷剪力圖、彎矩圖的形狀描點(diǎn)繪出剪力圖、彎矩圖。4、確定最大的剪力值、彎矩值。第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力24Fs(x)xM(x)xF–FL解：①求支反力②寫出內(nèi)力方程③根據(jù)方程畫內(nèi)力圖FAYMA[例]求下列圖示梁的內(nèi)力方程并畫出內(nèi)力圖。FABLX第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力25解：1、支反力（省略）LqABx2、寫出內(nèi)力方程3、根據(jù)方程畫內(nèi)力圖Fs(x)xM(x)x–qL第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力26CFalABbFAYFBYX1X2解：1、支反力2、寫出內(nèi)力方程AC段：BC段：3、根據(jù)方程畫內(nèi)力圖M(x)xFs(x)x第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力27Fs(x)xCFalABb討論——C截面剪力圖的突變值。集中力作用點(diǎn)處剪力圖有突變，突變值的大小等于集中力的大小。（集中力F實(shí)際是作用在△X微段上）。集中力偶作用點(diǎn)處彎矩圖有突變，突變值的大小等于集中力偶的大小?！鱔第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力28mABCL/2L/2FAYFBY解：1、支反力2、寫出內(nèi)力方程3、根據(jù)方程畫內(nèi)力圖M(x)xFs(x)xm/Lm/2m/2x1x2第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力29解：1、支反力2、寫出內(nèi)力方程1kN/m2kNABCD1m1m2mx1x3x2FAYFBY第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力303、根據(jù)方程畫內(nèi)力圖1kN/m2kNABCDFAYFBYM(x)xFs(x)x2kN2kN2kN、m2kN、m第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力31解：①求支反力②內(nèi)力方程③根據(jù)方程畫內(nèi)力圖Fs(x)xq0LFAYFBYM(x)x第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力32§3剪力、彎矩與分布荷載間的關(guān)系及應(yīng)用一、剪力、彎矩與分布荷載間的關(guān)系1、支反力：LqFAYFBY2、內(nèi)力方程3、討論：第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力x33對dx

段進(jìn)行平衡分析，有：dxxq(x)q(x)M(x)+dM(x)Fs(x)+dFs(x)Fs(x)M(x)dxAy剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處荷載集度的大小。第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力34q(x)M(x)+dM(x)Fs(x)+dFs(x)Fs(x)M(x)dxAy彎矩圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處剪力的大小。第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力35二、微分關(guān)系的應(yīng)用2、分布力q(x)=常數(shù)時——剪力圖為一條斜直線；彎矩圖為一條二次曲線。1、分布力q(x)=0時——剪力圖為一條水平線；

彎矩圖為一條斜直線。Fs圖：M圖：（1）當(dāng)分布力的方向向上時——剪力圖為斜向上的斜直線；彎矩圖為下凸的二次曲線。Fs圖：M圖：M(x)第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力364、集中力偶處——剪力圖無變化；彎矩圖有突變，突變值的大小等于集中力偶的大小。5、彎矩極值處——剪力為零的截面、集中力作用的截面、

集中力偶作用的截面。3、集中力處——剪力圖有突變，突變值等于集中力的大??；彎矩圖有折角。（2）當(dāng)分布力的方向向下時——剪力圖為斜向下的斜直線；彎矩圖為上凸的二次曲線。Fs圖：M圖：M(x)第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力37外力無分布荷載段均布載荷段集中力集中力偶q=0q>0q<0Fs圖特征M圖特征CFCm水平直線xFsFs>0FsFs<0x斜直線增函數(shù)xFsxFs降函數(shù)xFsCFs1Fs2Fs1–Fs2=F自左向右突變xFsC無變化斜直線Mx增函數(shù)xM降函數(shù)曲線xM盆狀墳狀xM自左向右折角

自左向右突變xM折向與F同向三、剪力、彎矩與分布力之間關(guān)系的應(yīng)用圖第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力M與m同

xM1M238[例]

用簡易作圖法畫下列各圖示梁的內(nèi)力圖。控制點(diǎn):端點(diǎn)、分段點(diǎn)（外力變化點(diǎn)）和駐點(diǎn)（極值點(diǎn)）等。四、簡易法作內(nèi)力圖法（利用微分規(guī)律）:利用內(nèi)力和外力的關(guān)系及特殊點(diǎn)的內(nèi)力值來作圖的方法。基本步驟：1、確定支座反力；

2、利用微分規(guī)律判斷梁各段內(nèi)力圖的形狀；

3、確定控制點(diǎn)內(nèi)力的數(shù)值大小及正負(fù)；

4、描點(diǎn)畫內(nèi)力圖。第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力39左端點(diǎn)：剪力圖有突變，突變值等于集中力的大小。右端點(diǎn)：彎矩圖有突變，突變值等于集中力偶的大小。qa2qa–xMaaqaqA解：1、確定支反力（可省略）左側(cè)段：剪力圖為一條水平線；彎矩圖為一條斜直線右側(cè)段：剪力圖為斜向上的斜直線；彎矩圖為下凸的二次曲線。2、畫內(nèi)力圖Fym第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力FsxFs40Fs(x)x2kN2kN解：1、支反力2、畫內(nèi)力圖AC段：剪力圖為一條水平線；彎矩圖為一條斜直線BD段：剪力圖為斜向下的斜直線；彎矩圖為上凸的二次曲線。CD段：剪力圖為零；彎矩圖為一條水平線。A、C、B截面剪力圖有突變；突變值的大小為其集中力的值。1kN/mABCD2kN2m1m1mFAYFBY第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力M(x)x2kN、m2kN、m411m4m10kN/m20kN40kN、mCBA解：1、支反力FAYFBY2、畫內(nèi)力圖CA段：剪力圖為一條水平線；彎矩圖為一條斜直線AB段：剪力圖為斜向下的斜直線；彎矩圖為上凸的二次曲線。C、A、B截面剪力圖有突變；大小為其集中力的值。A截面彎矩圖有突變；大小為其集中力偶的值。Q=0處M有極值201525Fs(x)x（kN）M(x)xkNm202.5m31.2520第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力42解：求支反力左端點(diǎn)A：B點(diǎn)左：B點(diǎn)右：C點(diǎn)左：M的駐點(diǎn)：C點(diǎn)右：右端點(diǎn)D：Fsxqa/2–qa/2–qa/2+qa2qaABCDxM3qa2/8q第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力qa2/2qa2/2qa2/2FAYFDYaaa43§4按疊加原理作彎矩圖二、疊加原理：多個載荷同時作用于結(jié)構(gòu)而引起的內(nèi)力等于每個載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的內(nèi)力的代數(shù)和。一、前提條件：小變形、梁的跨長改變忽略不計(jì)；所求參數(shù)（內(nèi)力、應(yīng)力、位移）必然與荷載滿足線性關(guān)系。即在彈性限度內(nèi)滿足虎克定律。三、步驟：1、梁上的幾個荷載分解為單獨(dú)的荷載作用；

2、分別作出各項(xiàng)荷載單獨(dú)作用下梁的彎矩圖；

3、將其相應(yīng)的縱坐標(biāo)疊加即可（注意：不是圖形的簡單拼湊）。第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力44[例]按疊加原理作彎矩圖(AB=2a，力F作用在梁AB的中點(diǎn)處）。qFABFq=+AABBxM2

+第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力xM=xM145四、對稱性與反對稱性的應(yīng)用：

對稱結(jié)構(gòu)在對稱載荷作用下——

Fs圖反對稱，M圖對稱；

對稱結(jié)構(gòu)在反對稱載荷作用下——

Fs圖對稱，M圖反對稱。第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力46[例7]作下列圖示梁的內(nèi)力圖。FLFFLLLLLLL0.5F0.5F0.5F0.5FF0FsxFs1xFs2x–0.5F0.5F0.5F–+–F第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力47F0.5FFLL0.5FFLLL0.5F0.5FFLLLF0M2x0.5FL0.5FLM1x0.5FLMxFL第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力48[例]繪制下列圖示梁的彎矩圖。2FaaF=2FF+M1x=2FaxM2+2FaxMFa第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力49qq=++xM23qa2/2xM1=qa2/2aaqqxMqa2第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力50FaaFL/2xMFL/2xM2+FL/2=FL/4xM1=+FFL/2第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力5150kNaa20kNm20kNm=+50kN20kNm20kNmxM2+50kNm=20kNmxM1Mx20kNm30kNm20kNm第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力52§5平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖一、平面剛架平面剛架：軸線由同一平面折線組成的剛架。

特點(diǎn)：剛架各桿的內(nèi)力有：Fs、M、FN。1、剛架：由剛性節(jié)點(diǎn)聯(lián)成的框架2、節(jié)點(diǎn)：兩桿之間的交點(diǎn)。3、剛性節(jié)點(diǎn)：兩桿之間聯(lián)接處的夾角不變的節(jié)點(diǎn)（聯(lián)接處不能有轉(zhuǎn)動）。用填角表示，以與鉸支節(jié)點(diǎn)區(qū)別。4、框架：由許多桿組成的，其軸線是由幾段折線組成的結(jié)構(gòu)。第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力53二、平面剛架內(nèi)力圖規(guī)定：

彎矩圖：畫在各桿的受壓一側(cè)，

剪力圖及軸力圖：可畫在剛架軸線的任一側(cè)（通常正值畫在剛架的外側(cè)），但須注明正、負(fù)號。三、平面曲桿：軸線為一條平面曲線的桿件。

四、平面曲桿內(nèi)力圖規(guī)定：

彎矩圖：使軸線曲率增加的彎矩規(guī)定為正值；反之為負(fù)值。要求畫在曲桿軸線的法線方向，且在曲桿受壓的一側(cè)。剪力圖及軸力圖：與平面剛架相同。第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力54[例]試作圖示剛架的內(nèi)力圖。F1F2alABC–FN

圖F2+Fs圖F1+F1aM圖F1a+F2l第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力F155[例]已知：如圖所示，F(xiàn)及R

。試?yán)L制Fs、M、FN

圖。OFRqmmx解：建立極坐標(biāo)，O為極點(diǎn)，OB

極軸，q表示截面m–m的位置。AB第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力F1FF256ABOM圖OO+Fs圖FN圖2FRFF–+qmmxOFRAB第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力57[例]改內(nèi)力圖之錯。a2aaqqa2ABFsxxM––+qa/4qa/43qa/47qa/4qa2/45qa2/4第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力3qa2/249qa2/32FAyFBy58[例]已知Fs圖，求外荷載及M圖（梁上無集中力偶）。Fs(kN)x1m1m2m2315kN1kNq=2kN/m+–+q=2kN/mM(kN·m)x11第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力1.2559yzhb解：（1）橫截面的剪應(yīng)力為：[例]結(jié)構(gòu)如圖，試證明：（1）任意橫截面上的剪應(yīng)力的合力等于該面的剪力；（2）任意橫截面上的正應(yīng)力的合力矩等于該面的彎矩；（3）過高度中點(diǎn)做縱截面，那么，此縱截面上的剪應(yīng)力的合力由哪個力來平衡？q第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力60(2)橫截面上的合剪力為：(3)合力偶第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力61(4)中面上的剪應(yīng)力為：縱面上的合剪力與右側(cè)面的正應(yīng)力的合力平衡。(5)縱截面上的合剪力大小為：tmaxt￠第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力62彎曲內(nèi)力小結(jié)一、彎曲的概念：受力特點(diǎn)——作用于桿件上的外力都垂直于桿的軸線。變形特點(diǎn)——桿軸線由直線變?yōu)橐粭l平面的曲線。二、平面彎曲的概念：受力特點(diǎn)——作用于桿件上的外力都垂直于桿的軸線，且都在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)（通過或平行形心主軸上且過彎曲中心）。變形特點(diǎn)——桿的軸線在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)由直線變?yōu)橐粭l平面曲線。三、彎曲內(nèi)力的確定1、內(nèi)力的正負(fù)規(guī)定:第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力63（1）、截面法——截開；代替；平衡。①剪力Fs:在保留段內(nèi)任取一點(diǎn)，如果剪力的方向?qū)ζ潼c(diǎn)之矩為

順時針的，則此剪力規(guī)定為正值，反之為負(fù)值。②彎矩M：使梁微段變成上凹下凸形狀的為正彎矩；反之為負(fù)值。2、內(nèi)力的計(jì)算：注意的問題a、在截開面上設(shè)正的內(nèi)力方向。b、在截開前不能將外力平移或簡化。（2）、簡易法求內(nèi)力：Fs=∈Fi（一側(cè)），M=∈mi。（一側(cè)）。左上右下剪力為正，左順右逆彎矩為正。重點(diǎn)第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力64四、剪力方程、彎矩方程：

Fs=Fs(x）———剪力方程

M=M(x)———彎矩方程

注意：不能用一個函數(shù)表達(dá)的要分段，分段點(diǎn)為集中力作用點(diǎn)、集中力偶作用點(diǎn)、分布力的起點(diǎn)、終點(diǎn)。五、剪力、彎矩與分布荷載間的微分關(guān)系六、微分關(guān)系的應(yīng)用1、分布力q(x)=0時——剪力圖為一條水平線；

彎矩圖為一條斜直線。2、分布力q(x)=常數(shù)時——剪力圖為一條斜直線；

彎矩圖為一條二次曲線。難點(diǎn)重點(diǎn)第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力65（1）當(dāng)分布力的方向向上時——剪力圖為斜向上的斜直線；彎矩圖為下凸的二次曲線。3、集中力處——剪力圖有突變，突變值等于集中力的大??；彎矩圖有折角。（2）當(dāng)分布力的方向向下時——剪力圖為斜向下的斜直線；彎矩圖為上凸的二次曲線。第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力Fs圖：M圖：M(x)Fs圖：M圖：M(x)66七、剪力圖和彎矩圖：1、利用方程畫剪力圖和彎矩圖——步驟：（1）、利用靜力方程確定支座反力。（2）、根據(jù)荷載分段列出剪力方程、彎矩方程。（3）、根據(jù)剪力方程、彎矩方程判斷剪力圖、彎矩圖的形狀描點(diǎn)繪出剪力圖、彎矩圖。（4）、確定最大的剪力值、彎矩值。4、集中力偶處——剪力圖無變化；彎矩圖有突變，突變值的大小等于集中力偶的大小。5、彎矩極值處——剪力為零的截面、集中力作用的截面、集中力偶作用的截面。第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力67控制點(diǎn):端點(diǎn)、分段點(diǎn)（外力變化點(diǎn)）和駐點(diǎn)（極值點(diǎn)）等。2、簡易法作內(nèi)力圖（利用微分規(guī)律）——基本步驟：（1）、確定支座反力；（2）、利用微分規(guī)律判斷梁各段內(nèi)力圖的形狀；（3）、確定控制點(diǎn)內(nèi)力的數(shù)值大小及正負(fù)；（4）、描點(diǎn)畫內(nèi)力圖。重點(diǎn)3、疊加法作內(nèi)力圖——（1）、前提條件：小變形、梁的跨長改變忽略不計(jì)；所求參數(shù)（內(nèi)力、應(yīng)力、位移）必然與荷載滿足線性關(guān)系。即在彈性限度內(nèi)滿足虎克定律。（2）、疊加原理：多個載荷同時作用于結(jié)構(gòu)而引起的內(nèi)力等于每個載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的內(nèi)力的代數(shù)和。第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力68（3）、步驟：1、梁上的幾個荷載分解為單獨(dú)的荷載作用；

2、分別作出各項(xiàng)荷載單獨(dú)作用下梁的彎矩圖；

3、將其相應(yīng)的縱坐標(biāo)疊加即可。

（注意：不是圖形的簡單拼湊）。1、平面剛架：軸線由同一平面折線組成的剛架。

特點(diǎn)：剛架各桿的內(nèi)力有：Fs、M、FN。八、平面剛架、平面曲桿的內(nèi)力圖

彎矩圖：畫在各桿的受壓一側(cè)，不注明正、負(fù)號。

剪力圖及軸力圖：可畫在剛架軸線的任一側(cè)（通常正值畫在剛架的外側(cè)），但須注明正、負(fù)號。第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力692、平面曲桿：軸線為一條平面曲線的桿件。

彎矩圖：使軸線曲率增加的彎矩規(guī)定為正值；反之為負(fù)。要求畫在曲桿軸線的法線方向，且在曲桿受壓的一側(cè)。

剪力圖及軸力圖：與平面剛架相同。第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力70Fs第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力xMqa2/8qa2/871Fs第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力xMqa2/2qa272Fs第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力xMqa2/273第五章彎曲內(nèi)力內(nèi)容結(jié)束第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力74第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力75第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力76第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力77第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力彎曲梁的強(qiáng)度和剛度問題78第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力彎曲梁的剛度問題79（一）、純彎曲：梁的橫截面上只有彎矩而無剪力的彎曲。梁的橫截面上只有正應(yīng)力而無剪應(yīng)力的彎曲剪力“Fs”——剪應(yīng)力“τ”；彎矩“M”——正應(yīng)力“σ”（二）、橫力彎曲（剪切彎曲）：

第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力§5—6彎曲正應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算一、基本概念：aaFBAFMxFsxFaFF80二、純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力公式（超靜定問題）（一）、幾何方面：由純彎曲的變形規(guī)律→縱向線應(yīng)變的變化規(guī)律。（二）、物理方面：由縱向線應(yīng)變的變化規(guī)律→正應(yīng)力的分布規(guī)律。（三）、靜力方面：由橫截面上的彎矩和正應(yīng)力的關(guān)系→正應(yīng)力的計(jì)算公式。（一）、幾何方面1、實(shí)驗(yàn)：abcd第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力（二）、橫力彎曲（剪切彎曲）：梁的橫截面上既有彎矩又有剪力的彎曲。梁的橫截面上既有正應(yīng)力又有剪應(yīng)力的彎曲81abcdabcdMM2、變形規(guī)律：⑴、橫向線：仍為直線，只是相對轉(zhuǎn)動了一個角度且仍與縱向線正交。⑵、縱向線：由直線變?yōu)榍€，且靠近上部的纖維縮短，靠近下部的纖維伸長。3、假設(shè)：（1）、平面假設(shè)：梁變形前的橫截面變形后仍為平面，且仍垂直于變形后的軸線，只是各橫截面繞某軸轉(zhuǎn)動了一個角度。第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力82（2）縱向纖維假設(shè)：梁是由許多縱向纖維組成的，且各縱向纖維之間無擠壓。4、中性層：不發(fā)生變形的一層纖維。5、中性軸：中性層與橫截面的交線。推論：梁變形實(shí)際上是繞中性軸轉(zhuǎn)動了一個角度，等高度的一層纖維的變形完全相同。中性面第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力83Ｂ１A１6、線應(yīng)變的變化規(guī)律：)))1

11111OOABOOBAABBA

-=-=e)dxyoo1（二）、物理方面1、應(yīng)力的性質(zhì)：單向應(yīng)力狀態(tài)。2、應(yīng)力的分布規(guī)律：在彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力和應(yīng)變成正比。第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力843、應(yīng)力的分布圖：MZyσmaxσmax（三）、靜力方面第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力85yxMZ（中性軸Z軸為形心軸）（產(chǎn)生平面彎曲的必要條件，本題自然滿足）yzAσ第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力86將上式代入（2）式得：——（彎曲變形計(jì)算的基本公式）……彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式。三、注意：彎矩代入絕對值，應(yīng)力的符號由變形來判斷。當(dāng)M>0時，Z軸上側(cè)所有點(diǎn)為壓應(yīng)力，下側(cè)所有點(diǎn)為拉應(yīng)力；當(dāng)M<0時，Z軸下側(cè)所有點(diǎn)為壓應(yīng)力，上側(cè)所有點(diǎn)為拉應(yīng)力。梁的抗彎剛度。TzEI第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力87四、公式的使用條件彈性范圍內(nèi)工作的純彎梁或橫力彎曲的細(xì)長梁（L＞5h）。五、正應(yīng)力最大值的確定1、橫截面上：⑴對Z軸對稱的截面⑵對Z軸不對稱的截面2、整個梁上：⑴對Z軸對稱的截面⑵對Z軸不對稱的截面第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力88六、慣性矩和抗彎截面模量的確定1、實(shí)心圓：2、空心圓：3、矩形：第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力89（一）、強(qiáng)度條件：（二）、強(qiáng)度計(jì)算：

1、強(qiáng)度校核——2、設(shè)計(jì)截面尺寸——3、確定外荷載——[]ss￡max；[]

maxsMWz3[];

maxszWM￡第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力七、正應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算90例：受均布載荷作用的簡支梁如圖所示，試求：（1）1——1截面上1、2兩點(diǎn)的正應(yīng)力；（2）此截面上的最大正應(yīng)力；（3）全梁的最大正應(yīng)力；（4）已知E=200GPa，求1—1

截面的曲率半徑。q

L2/8Mx解：畫M圖求截面彎矩第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力91求應(yīng)力1120180302求曲率半徑第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力q

L2/8Mx92解：1、畫彎矩圖，確定最大值xMFaFa/20.5m0.5m0.5mABCD2FF例：圖示矩形截面梁b=60mm、h=120mm，〔σ〕=160MPa求：Fmax

bh5F/2F/2Mmax=Fa2、強(qiáng)度計(jì)算Fmax=46.1（kN）第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力93解：畫彎矩圖并求危險面內(nèi)力例、T字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的[

t]=30MPa，

[

c]=60MPa.其截面形心位于C點(diǎn)，y1=52mm，y2=88mm，

Iz=763cm4

，試校核此梁的強(qiáng)度。1m1m1mABCDF

2=4kNF

1=9kNMx2.5kNm-4k

N

m第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力94確定最大正應(yīng)力，校核強(qiáng)度。B截面——（上拉下壓）C截面——（下拉上壓）1m1m1mABCDF

2=4kNF

1=9kN第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力Mx2.5kNm-4k

N

m95A1A2y

2y

1CCzA3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa結(jié)論——對Z軸對稱截面的彎曲梁，只計(jì)算一個截面：對Z軸不對稱截面的彎曲梁，必須計(jì)算兩個截面：第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力Mx2.5kNm-4k

N

m96zybh§5—4

彎曲剪應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算一、

矩形截面梁橫截面上的剪應(yīng)力1、假設(shè)：⑴橫截面上各點(diǎn)的剪應(yīng)力方向與剪力的方向相同。⑵剪應(yīng)力沿截面寬度均勻分布（距中性軸等距離的各點(diǎn)剪應(yīng)力大小相等）。2、公式推導(dǎo)xd

x圖ayτFs第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力97Fs（x）+d

Fs（x）M（x）M（x）+dM（x）Fs（x）d

xA

圖

bhZyy由剪應(yīng)力互等定理可知注意：Fs為橫截面的剪力；Iz為整個橫截面對Z軸的慣性矩；b為Y點(diǎn)對應(yīng)的寬度；Sz*為Y點(diǎn)以外的面積對Z軸的靜面矩。第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力98yZFst3、剪應(yīng)力的分布：二、其它截面梁：1、工字型截面：仍按矩形截面的公式計(jì)算。第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力992、圓型截面：中性軸上有最大的剪應(yīng)力，方向與剪力方向相同。3、薄壁圓環(huán)：中性軸上有最大的剪應(yīng)力，方向與剪力方向相同。三、剪應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算1、強(qiáng)度條件：2、強(qiáng)度計(jì)算：⑴、校核強(qiáng)度，⑵、設(shè)計(jì)截面尺寸，⑶、確定外荷載。第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力1003、需要校核剪應(yīng)力的幾種特殊情況：鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應(yīng)比值時，要校核剪應(yīng)力梁的跨度較短，M較小，而Fs較大時，要校核剪應(yīng)力。

各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核剪應(yīng)力。第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力101解：、畫內(nèi)力圖求危險面內(nèi)力例、矩形截面(bh=0.12m0.18m）木梁如圖，[]=7MPa，[]=0.9M

Pa，試求最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力之比,并校核梁的強(qiáng)度。Mxq

L2/8Fsx第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力102求最大應(yīng)力并校核強(qiáng)度

應(yīng)力之比18.012.054005.15.1maxmax

**==AFst

第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力103q=30kN/mAB60kN1m5m例：圖示梁為工字型截面，已知〔σ〕=170MPa，〔τ〕=100MPa

試選擇工字型梁的型號。解：1、畫Q、M圖FAY=112.5kN；FBY=97.5kN2、按正應(yīng)力確定截面型號查表選36c型號3、剪應(yīng)力校核4、結(jié)論：選36c型號第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力112.5kN52.5kN97.5kNxxFsM112.5kNm158.4kNm104y1y2Z例：圖示槽型截面梁，Iz=100*106mm4，y1=200mm，y2=50mm，〔σt〕=45MPa，〔σc〕=120MPa。校核梁的強(qiáng)度。70kNm10kN2m2mABC解：1、畫M圖XM20kNm50kNm30kNm2、確定最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力，并進(jìn)行強(qiáng)度校核B左側(cè)截面：M1=50kNm。下拉上壓B右側(cè)截面：M2=20kNm。上拉下壓。結(jié)論：σtmax=40MPa＜〔σ〕

σcmax=100MPa＜〔σ〕第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力105例：圖示結(jié)構(gòu)，已知AB為10號工字型截面梁，CD為圓形截面桿，

d=10mm，〔σ〕AB=160MPa，〔σ〕CD=120MPa。試：確定外荷載q。BqACD2m1m解：1、畫M圖2、AB梁的強(qiáng)度計(jì)算3、CD桿的強(qiáng)度計(jì)算結(jié)論：3q/49q/4第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力XXFsM3q/45q/4q9q/32q/2106例：圖示梁，已知其截面為從圓木中截取的矩形截面，〔σ〕=10MPa，D=30mm，試：確定外荷載的最大值。AB1.5m1.5m1.5mFFCDDbhXM1.5F解：1、畫M圖2、確定最合理的截面尺寸3、確定外荷載的最大值第五章彎曲內(nèi)力與應(yīng)力107例：圖示梁，已知其截面為三塊矩形截面疊加而成（膠合成一體），〔τ〕膠=3.4MPa，求：Fmax及此時的σmax。若截面為自由疊加，σ