上海中考數(shù)學(xué)壓軸題專項訓(xùn)練

24.（本題滿分12分，第（1）小題滿分3分，第（2）小題滿分4分，第（3）小題滿分5分）（第24題圖）如圖，已知拋物線經(jīng)過、兩點.（第24題圖）（1）求拋物線的解析式；（2求的值；（3）過點B作BC軸，垂足為點C，點M是拋物線上一點，直線MN平行于軸交直線AB于點N，如果M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的坐標.24.解：（1）將A（0，-1）、B（4，-3）分別代入得，………………（1分）解，得…………………(1分)所以拋物線的解析式為……………（1分）（2）過點B作BC軸，垂足為C，過點A作AHOB，垂足為點H………（1分）在中，OA=1，……………（1分）∴，∴，………………（1分）在中，………………（1分）(3)直線AB的解析式為，……………（1分）設(shè)點M的坐標為，點N坐標為那么MN=；…………（1分）∵M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，∴MN=BC=3解方程=3得；……………（1分）解方程得或；………（1分）所以符合題意的點N有4個……………………（1分）25.（本題滿分14分，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分5分，第（3）小題滿分5分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，經(jīng)過點B的直線l（l不與直線AB重合）與直線BC的夾角等于∠ABC，分別過點C、點A作直線l的垂線，垂足分別為點D、點E．（1）如圖1，當點E與點B重合時，若AE=4，判斷以C點為圓心CD長為半徑的圓C與直線AB的位置關(guān)系并說明理由；（2）如圖2，當點E在DB延長線上時，求證：AE=2CD；ACDB(E)l（第25題圖1）（3）記直線CE與直線ACDB(E)l（第25題圖1）（第（第25題圖2）ACDElB25.解：（1）過點C作CF⊥AB，垂足為點F.……………（1分）∵∠AED=90°，∠ABC=∠CBD，∴∠ABC=∠CBD=45°，∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，AE=4，∴CF=2，BC=，…………（1分）又∵∠CBD=∠ABC=45°，CD⊥l，∴CD=2，…………（1分）∴CD=CF=2，∴圓C與直線AB相切.……………………（1分）（2）證明：延長AC交直線l于點G．………………（1分）∵∠ACB=90°，∠ABC=∠GBC，∴∠BAC=∠BGC．∴AB=GB．…………………（1分）∴AC=GC．…………………（1分）∵AE⊥l，CD⊥l，∴AE∥CD．在RT△ABH中，∵∠AHB=90°，∴sin∠ABH==，∴AH=3，BH==4，∵AB=AD，AH⊥BD，∴BH=DH=4，在△ABE和△ABD中，，∴△ABD≌△ABE，∴BE=BD，∠ABE=∠ABD，∴BF⊥DE，EF=DF，∵∠ABH=∠DBF，∠AHB=∠BFD，∴△ABH∽△DBF，∴=，∴DF=，∴DE=2DF=．（2）如圖2中，作AH⊥BD于H．∵AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE，∴∠AEB=∠ABE=∠ACD=∠ADC，∵AE∥BD，∴∠AEB+∠EBD=180°，∴∠EBD+∠ADC=180°，∴EB∥AD，∵AE∥BD，∴四邊形ADBE是平行四邊形，∴BD=AE=AB=5，AH=3，∴S平行四邊形ADBE=BD?AH=15．（3）由題意AC≠AE，EC≠AC，只有EA=EC．如圖3中，∵∠ACD=∠AEB（已證），∴A、C、B、E四點共圓，∵AE=EC=AB，∴=，∴=，∴∠AEC=∠ABC，∴AE∥BD，由（2）可知四邊形ADBE是平行四邊形，∴AE=BD=AB=5，∵AH=3，BH=4，∴DH=BD﹣BH=1，∵AC=AD，AH⊥CD，∴CH=HD=1，∴BC=BD﹣CD=3．24．如圖，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c圖象頂點為C，與直線y=x+m圖象交于AB兩點，其中A點的坐標為（3，4），B點在y軸上．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）聯(lián)結(jié)AC，求∠BAC的正切值；（3）點P為直線AB上一點，若△ACP為直角三角形，求點P的坐標．【分析】（1）先把A點坐標代入y=x+m求出m得到直線AB的解析式為y=x+1，這可求出直線與y軸的交點B的坐標，然后把A點和B點坐標代入y=x2+bx+c中得到關(guān)于b、c的方程組，再解方程組求出b、c即可得到拋物線解析式；（2）如圖，先拋物線解析式配成頂點式得到C（1，0），再利用兩點間的距離公式計算出BC2=2，AB2=18，AC2=20，然后利用勾股定理的逆定理可證明△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，于是利用正切的定義計算tan∠BAC的值；（3）分類討論：當∠APC=90°時，有（2）得點P在B點處，此時P點坐標為（0，1）；當∠ACP=90°時，利用（2）中結(jié)論得tan∠PAC==，則PC=AC，設(shè)P（t，t+1），然后利用兩點間的距離公式得到方程t2+（t+1﹣1）2=20，再解方程求出t即可得到時P點坐標．【解答】解：（1）把A（3，4）代入y=x+m得3+m=4，解得m=1∴直線AB的解析式為y=x+1，∵當x=0時，y=x+1=1，∴B（0，1），把B（0，1），A（3，4）代入y=x2+bx+c得，解得，∴拋物線解析式為y=x2﹣2x+1；（2）如圖，∵y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，∴C（1，0），∴BC2=12+12=2，AB2=32+（4﹣1）2=18，AC2=（3﹣1）2+42=20，而2+18=20，∴BC2+AB2=AC2，∴△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，∴tan∠BAC===；（3）當∠APC=90°時，點P在B點處，此時P點坐標為（0，1）；當∠ACP=90°時，∵tan∠PAC==，∴PC=AC，設(shè)P（t，t+1），∴t2+（t+1﹣1）2=20，解得t1=﹣，t2=（舍去），此時P點坐標為（﹣，﹣+1），綜上所述，滿足條件的P點坐標為（0，1）或（﹣，﹣+1）．【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；能運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；理解坐標與圖形性質(zhì)，記住兩點間的距離公式；能利用勾股定理的逆定理證明直角三角形．25．如圖，?ABCD中，AB=8，AD=10，sinA=，E、F分別是邊AB、BC上動點（點E不與A、B重合），且∠EDF=∠DAB，DF延長線交射線AB于G．（1）若DE⊥AB時，求DE的長度；（2）設(shè)AE=x，BG=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）當△BGF為等腰三角形時，求AE的長度．【分析】（1）DE⊥AB時，根據(jù)sinA=即可解決問題．（2）如圖2中，作DM⊥AB于M，根據(jù)DG2=DM2+MG2=AGEG，列出等式即可解決問題．（3）分三種情形①BF=BG，②FB=FG，③GB=GF，根據(jù)BF∥AD，得出比例式，列方程即可解決．【解答】解：（1）如圖1中，∵DE⊥AB，∴sinA==，∵AD=10，∴DE=8．（2）如圖2中，作DM⊥AB于M，由（1）可知DM=8，AM=6，MG=AB﹣AM=8﹣6=2，∴DG2=DM2+MG2，∵∠DGE=∠DGA，∠GDE=∠A，∴△DGE∽△AGD，∴=，∴DG2=AGEG，∴DM2+MG2=AGEG，∴82+（2+y）2=（8+y）（8+y﹣x），∴y=（0＜x＜8）（3）①當BF=FG時，∵BF∥AD，∴=，∴AD=AG=10，∴y=2，即=2，解得x=2，∴AE=2．②當FB=FG時，∵BF∥AD，∴=，∴AD=DG=10，∵DM⊥AG，∴AM=MB=6，∴AG=12，∴y=4，即=4，解得x=．③當GB=GF時，∵BF∥AD，∠GBF=∠BFG，∴∠