洛必達(dá)法則與恒成立問(wèn)題訓(xùn)練

洛必達(dá)法則與恒成立問(wèn)題訓(xùn)練1.（06全國(guó)卷2）設(shè)函數(shù)若對(duì)所有的≥0，都有≥ax成立.求實(shí)數(shù)a的取值范圍.2.（2014?新課標(biāo)II）已知函數(shù)f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（2x）﹣4bf（x），當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估計(jì)ln2的近似值（精確到0.001）．3.（2014?陜西）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表達(dá)式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)n∈N+，比較g（1）+g（2）+…+g（n）與n﹣f（n）的大小，并加以證明．4.（2013?遼寧）已知函數(shù)f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，（I）求證：；（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．5.（2012?天津）已知函數(shù)f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值為0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若對(duì)任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求實(shí)數(shù)k的最小值；（3）證明：（n∈N*）．6.（2010?新課標(biāo)）設(shè)函數(shù)f（x）=x（ex﹣1）﹣ax2（Ⅰ）若a=，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若當(dāng)x≥0時(shí)f（x）≥0，求a的取值范圍．7.（2010?湖北）已知函數(shù)f（x）=ax++c（a＞0）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=x﹣1．（1）用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．8.（2016?中山市模擬）已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為6x+3y﹣10=0，且對(duì)任意的x∈[0，+∞）f′（x）≤kln（x+1）恒成立．（I）求a，b的值；（Ⅱ）求實(shí)數(shù)k的最小值；（Ⅲ）證明：．9.（2016?吉林三模）設(shè)，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線2x+y+1=0垂直．（1）求a的值；（2）若?x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的范圍．（3）求證：．10.（2016?紅橋區(qū)一模）設(shè)函數(shù)f（x）=ax﹣2﹣lnx（a∈R）．（1）若f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線斜率為，求a的值；（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（3）若g（x）=ax﹣ex，求證：在x＞0時(shí)，f（x）＞g（x）．（2016?渭南一模）已知函數(shù)f（x）=ax2﹣x+2ln（x+1）（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（0，f（0））的切線方程；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）﹣ln（x+1），當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，h（x）≤x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．12.（2016廣州一模）已知函數(shù),．（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：.13.（2016廣州二模）已知函數(shù)R.(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；(Ⅱ)若時(shí),,求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）求證：.14.設(shè)函數(shù)，曲線恒與軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)。（1）求常數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求證：恒成立。分析：根據(jù)不等式，即可得，故當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，當(dāng)僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。2.分析：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=ex+e﹣x﹣2，即f′（x）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)ex=e﹣x即x=0時(shí)，f′（x）=0，∴函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)．（Ⅱ）分離變量得，可知當(dāng)時(shí)，屬于類(lèi)型，故可以用洛必達(dá)法則，，故，由于，故；（Ⅲ））∵1.4142＜＜1.4143，根據(jù)（Ⅱ）中g(shù)（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，為了湊配ln2，并利用的近似值，故將ln即代入g（x）的解析式中，得．當(dāng)b=2時(shí)，由g（x）＞0，得，從而；所以ln2的近似值為0.693．3.分析：（Ⅰ）由已知，，…可得用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；（Ⅱ）利用不等式，可知。由已知得到ln（1+x）≥恒成立構(gòu)造函數(shù)φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可；（Ⅲ）在（Ⅱ）中取a=1，可得，令則，n依次取1，2，3…，然后各式相加即得到不等式．4.分析：（I）只需，根據(jù)不等式，可得，令，，，，，故，命題即可得證。（II），當(dāng)時(shí)，屬于類(lèi)型，可以用洛必達(dá)法則，，由于，故。5.分析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋ī乤，+∞），求導(dǎo)可得令f′（x）=0，可得x=1﹣a＞﹣a令f′（x）＞0，x＞﹣a可得x＞1﹣a；令f′（x）＜0，x＞﹣a可得﹣a＜x＜1﹣a∴x=1﹣a時(shí)，函數(shù)取得極小值且為最小值∵函數(shù)f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值為0，∴f（1﹣a）=1﹣a﹣0，解得a=1，時(shí)，屬于類(lèi)型，故可用洛必達(dá)法則，當(dāng)n=1時(shí)，不等式左邊=2﹣ln3＜2=右邊，不等式成立；當(dāng)n≥2時(shí)，，在（2）中，取k=，得f（x）≤x2，從而可得，由此可證結(jié)論．6.分析：（I）a=時(shí)，f（x）=x（ex﹣1）﹣x2，=（ex﹣1）（x+1）令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞0；令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜0；∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（﹣∞，﹣1），（0，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（﹣1，0）；（II）f（x）=x（ex﹣1﹣ax）．令g（x）=ex﹣1﹣ax，則g'（x）=ex﹣a．若a≤1，則當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，而g（0）=0，從而當(dāng)x≥0時(shí)g（x）≥0，即f（x）≥0．若a＞1，則當(dāng)x∈（0，lna）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，而g（0）=0，從而當(dāng)x∈（0，lna）時(shí)，g（x）＜0，即f（x）＜0．綜合得a的取值范圍為（﹣∞，1]．7.分析：（Ⅰ），則有，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，當(dāng)時(shí)，屬于型，利用洛必達(dá)法則8.分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到f'（2）=﹣2，即12a+4b=﹣2①；切點(diǎn)滿足切線方程可得6×2+3y﹣10=0，即f（2）=②，聯(lián)立①②即可解出；解得．（II）由（Ⅰ）得，f'（x）=﹣x2+x，可得﹣x2+x≤kln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立；即x2﹣x+kln（x+1）≥0在x∈[0，+∞）恒成立；設(shè)g（x）=x2﹣x+kln（x+1），g（0）=0，只需證對(duì)于任意的x∈[0，+∞）有g(shù)（x）≥g（0），通過(guò)分類(lèi)討論利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)g（x）的單調(diào)性即可得到最值；（Ⅲ）利用（II）的結(jié)論：令k=1，有﹣x2+x≤ln（x+1），即x≤x2+ln（x+1）在x∈[0，+∞）恒成立．再令，得，利用累加求和和裂項(xiàng)求和即可證明．9.分析：（1）求得函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線2x+y+1=0垂直，即可求a的值；a=0．先將原來(lái)的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，設(shè)，即?x∈（1，+∞），g（x）≤0．，屬于類(lèi)型，（3）由（2）知，當(dāng)x＞1時(shí)，時(shí)，成立．不妨令，得出，再分別令k=1，2，…，n．得到n個(gè)不等式，最后累加可得．10.分析：（1）通過(guò)f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線斜率，可得f′（e）=，解得，（2）由（1）知：f′（x）=（x＞0），結(jié)合導(dǎo)數(shù)分①a≤0、②a＞0兩種情況討論即可；（3）通過(guò)變形，只需證明h（x）=ex﹣lnx﹣2＞0即可，利用不等式，故。11.分析：（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出．所求切線方程為y=x，（Ⅱ）若對(duì)任意的x∈[0，+∞），h（x）≤x恒成立，則恒成立，，利用洛必達(dá)法則，綜合討論結(jié)果可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，0]．12.分析：（Ⅰ）因?yàn)?，所?因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線斜率為，所以，解得.（Ⅱ）因?yàn)?，所以等價(jià)于．根據(jù)不等式，即證。13.分析：(Ⅰ)解:當(dāng)時(shí)，,則.令，得.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞