線線角、線面角,二面角(高考立體幾何法寶)

..線線角、線面角、二面角的求法空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：⑴兩個非零向量與垂直的充要條件是⑵兩個非零向量與平行的充要條件是·=±||||2.向量的數(shù)量積公式假設(shè)與的夾角為θ(0≤θ≤π),且，,那么〔1〕點(diǎn)乘公式：·=||||cosθ〔2〕模長公式：那么，〔3〕夾角公式：〔4〕兩點(diǎn)間的距離公式：假設(shè)，，那么，①兩條異面直線、間夾角在直線上取兩點(diǎn)A、B，在直線上取兩點(diǎn)C、D，假設(shè)直線與的夾角為，那么。例1(卷)如圖，長方體ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，點(diǎn)E、F、G分別是DD1、AB、CC1的中點(diǎn)，那么異面直線A1E與GF所成的角是〔〕 A． B．C． D．〔向量法，傳統(tǒng)法〕例2(2005年全國高考XX卷)如圖，平面，且，那么異面直線PB與AC所成角的正切值等于_____．解：〔1〕向量法〔2〕割補(bǔ)法：將此多面體補(bǔ)成正方體，與所成的角的大小即此正方體主對角線與棱所成角的大小，在Rt△PDB中，即．故填．點(diǎn)評：此題是將三棱柱補(bǔ)成正方體②直線與平面所成的角(重點(diǎn)講述平行與垂直的證明)圖1－2圖1－1圖1－3可轉(zhuǎn)化成用向量與平面的法向量的夾角表示，由向量平移得：假設(shè)時〔圖〕；假設(shè)時〔圖〕.圖1－2圖1－1圖1－3平面的法向量是向量的一個重要容，是求直線與平面所成角、求點(diǎn)到平面距離的必備工具.求平面法向量的一般步驟：(1)找出(求出)平面的兩個不共線的向量的坐標(biāo)(2)設(shè)出平面的一個法向量為(3)根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x,y,z的方程組(4)解方程組，取其中的一組解，即得法向量。ABCDEFGxyz1.(線線角,線面角).在棱長為ABCDEFGxyz〔1〕求直線所成角；〔2〕求直線與平面所成的角.BCDPAxyz2.如圖，底面為直角梯形，，面，，為的中點(diǎn)，求BCDPAxyz異面直線與所成角的余弦值；直線與面所成角的正弦值；③求二面角的大小1.圍：2.二面角的向量求法：方法一：如圖，假設(shè)AB、CD分別是二面角α-l-β的兩個面與棱l垂直的異面直線,那么二面角的大小就是向量與的夾角.ββlα方法二:設(shè)是二面角α-l-β的兩個面α,β的法向量,那么向量與的夾角(或其補(bǔ)角就是二面角的平面角的大小.如圖,設(shè)二面角的平面角的大小為,法向量的夾角為.注意:在用向量求二面角的大小時，我們是先求出兩半平面的法向量所在直線的夾角，但二面角可能是鈍角或銳角，因此在求出角后，應(yīng)判斷二面角的大小，再確定二面角就是兩半平面的法向量所在直線的夾角或是其補(bǔ)角。ABCPDExyABCPDExyz1.[2014·新課標(biāo)全國卷Ⅱ]如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．(1)證明：PB∥平面AEC；(2)設(shè)AP＝1，AD＝eq\r(3)，三棱錐P-ABD的體積V＝eq\f(\r(3),4)，求A到平面PBC的距離．2、(2011年高考卷理科16)〔本小題總分值12分〕如圖：在，沿把折起，使.證明：〔Ⅰ〕平面；〔Ⅱ〕設(shè)。3、(2011年高考卷理科16)〔本小題共14分〕如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，.(Ⅰ)求證：平面〔Ⅱ〕假設(shè)求與所成角的余弦值；4、(2011年高考全國新課標(biāo)卷理科18)(本小題總分值12分)如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)證明：PA⊥BD；(Ⅱ)假設(shè)PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。直線與平面平行或者垂直〔重點(diǎn)掌握〕ABCDA111B11C11111D1111MN1.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1ABCDA111B11C11111D1111MN(1)MN//平面ACD1;(2)DB1⊥平面ACD1.2、如圖，四棱錐P—ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E為PC中點(diǎn)．ABCDEP(=1\*ROMANI)求證：CD平面PADABCDEP(=2\*ROMANII)求證：BE//平面PAD．3.正方體ABCD—A1B1C1D1中O為正方形ABCD的中心，M為BB1的中點(diǎn)，求證：D1O//平面A1BC1;〔2〕D1O⊥平面MAC.4.如圖,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，求證：〔I〕AC⊥BC1；〔=2\*ROMA