圓錐曲線專題復(fù)習(xí)及訓(xùn)練-經(jīng)典好

..高考數(shù)學(xué)專題復(fù)高考數(shù)學(xué)專題復(fù)〔第2輪難點(diǎn)突破〕圓錐曲線專題復(fù)習(xí)與訓(xùn)練——常用性質(zhì)歸納、解題方法探尋、典型例題剖析、高考真題演練【高考命題特點(diǎn)】圓錐曲線是歷年高考的重點(diǎn)容，常作為高考數(shù)學(xué)卷的壓軸題。1.從命題形式上看，以解答題為主，難度較大。2.從命題容上看，主要考察求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程、根據(jù)方程求最值、求參數(shù)的取值圍、證明定點(diǎn)、定值、探索存在性等。3.從能力要求上看，主要考察數(shù)學(xué)思想方法〔如數(shù)形結(jié)合、分類討論等〕的運(yùn)用能力。分析問題和解決問題的能力及運(yùn)算能力。一、圓錐曲線的常用性質(zhì)1.關(guān)于橢圓的補(bǔ)充性質(zhì)〔常在解題中遇到〕：①經(jīng)過焦點(diǎn)或的橢圓的弦，當(dāng)軸時(shí)，最短，且②過焦點(diǎn)的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)M是軸上一定點(diǎn)，那么當(dāng)軸時(shí)，的面積最大。③設(shè)右〔左〕準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)E，過E點(diǎn)的直線與橢圓交于P,，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)P關(guān)于軸對(duì)稱，那么直線一定過橢圓的右〔左〕焦點(diǎn)F。一般地，設(shè)P、Q是橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，直線PQ交軸于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)P關(guān)于軸對(duì)稱，直線交軸于點(diǎn)，那么為定值。④設(shè)點(diǎn)P是橢圓右〔左〕準(zhǔn)線上任一點(diǎn)〔不在軸上〕，是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線,與橢圓分別交于兩點(diǎn)，那么直線一定過橢圓的右〔左〕焦點(diǎn)。反之，過橢圓右〔左〕焦點(diǎn)F的直線交橢圓于兩點(diǎn)，那么直線的交點(diǎn)P在橢圓的右〔左〕準(zhǔn)線上。。⑤設(shè)是橢圓的左、右頂點(diǎn)，是橢圓的上、下頂點(diǎn)，P是橢圓上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，那么為定值。一般地，設(shè)過橢圓中心的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，P是橢圓上異于M、N的任一點(diǎn)，那么為定值。⑥存在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓，使得圓的任一切線與橢圓交于P,Q兩點(diǎn)，滿足，且圓的方程為；反之，假設(shè)，那么點(diǎn)到直線PQ的距離為定值.當(dāng)時(shí)，|PQ|取得最大值；當(dāng)或軸時(shí)，|PQ|取得最小值。.⑦設(shè)ABCD是橢圓的接矩形，那么矩形ABCD的最大面積為.⑧點(diǎn)P在橢圓上，設(shè)，那么焦點(diǎn)三角形的面積。2.雙曲線的補(bǔ)充性質(zhì)〔在解雙曲線問題時(shí)常遇到〕：①平行于漸近線〔斜率為〕的任一條直線與雙曲線有唯一交點(diǎn).②假設(shè)斜率為k的直線與雙曲線的兩支各交于一點(diǎn)，那么，假設(shè)直線只與雙曲線的同一支相交于兩點(diǎn)，那么?！苍诘那疤嵯?，反之也成立〕.③雙曲線上任一點(diǎn)到兩條漸近線的距離的乘積為定值..④當(dāng)焦點(diǎn)弦軸時(shí)，，是同一支上所有焦點(diǎn)弦中的最短者。⑤在焦點(diǎn)三角形中，設(shè)，那么焦點(diǎn)三角形的面積⑥設(shè)P是雙曲線右〔左〕支上任一點(diǎn)，那么的切圓與x軸的切點(diǎn)為雙曲線的右〔左〕頂點(diǎn)。⑦雙曲線和稱為共軛雙曲線共軛雙曲線的性質(zhì)：⑴漸近線一樣；⑵3.拋物線的常用性質(zhì)〔常在解題中遇到〕：〔1〕拋物線的焦點(diǎn)性質(zhì)：拋物線：，過焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，分別過作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，設(shè)直線的傾斜角為，那么：①，②.③，當(dāng)時(shí)，的最小值為。④.⑤三點(diǎn)共線；三點(diǎn)共線。⑥以為直徑的圓與直線相切。⑦以為直徑的圓過焦點(diǎn)。〔2〕拋物線的補(bǔ)充性質(zhì)：⑴設(shè)A、B是拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足，〔O為坐標(biāo)原點(diǎn)〕，那么直線AB經(jīng)過軸上的定點(diǎn)。反之，也成立。⑵設(shè)拋物線的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)E，過E點(diǎn)的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，是點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，那么直線過拋物線的焦點(diǎn)F.⑶過軸上的定點(diǎn)的直線與拋物線)交于兩點(diǎn)，那么〔定值〕。⑷〔拋物線的切線〕設(shè)是拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)，分別過A、B兩點(diǎn)作拋物線的切線相交于點(diǎn)，那么有：①切線的方程分別為：。②切線的交點(diǎn)坐標(biāo)為：，即。③直線AB的斜率為：。④假設(shè)直線AB與軸交于點(diǎn)，那么。二、圓錐曲線常見題型及解題思路方法。1.求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程先判斷焦點(diǎn)的位置，設(shè)出相應(yīng)圓錐曲線的方程，再根據(jù)條件和圓錐曲線的性質(zhì)列方程〔組〕〔如求橢圓方程，就是根據(jù)條件和性質(zhì)列出關(guān)于a、b、c的方程組〕，求出待定參數(shù)。在解方程〔組〕求a，b時(shí)，要注意考題中經(jīng)常出現(xiàn)的幾種方程的形式，對(duì)于復(fù)雜的方程〔組〕，常常是觀察——猜測(cè)——驗(yàn)證，得出a，b的值。2.求橢圓〔或雙曲線〕的離心率或離心率的取值圍求離心率就是根據(jù)條件和圓錐曲線的性質(zhì)，尋找a、b、c之間的等量關(guān)系，求出的值。在橢圓中，有：；在雙曲線中，有：。能求出，也就求得了離心率。在雙曲線中，還要注意漸近線與離心率的關(guān)系。求離心率的取值圍就是根據(jù)條件和圓錐曲線的性質(zhì)尋找a、b、c之間的不等關(guān)系。關(guān)于不等式的來(lái)源，通常是依據(jù)不等式，同時(shí)還要注意圓錐曲線中幾個(gè)常用的不等關(guān)系：①圓錐曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的圍；②在橢圓中，有，〔其中B為短軸的端點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)〕；③在雙曲線中，有〔其中F為焦點(diǎn)，P為雙曲線上任一點(diǎn)，A是同一支雙曲線的頂點(diǎn)〕。解這類問題時(shí)，要盡可能地結(jié)合圖形，依據(jù)定義，多從幾何角度思考問題。如果涉及直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題，還要聯(lián)立方程，用坐標(biāo)法找關(guān)系。3.在圓錐曲線中判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系除常規(guī)方法外〔比擬點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小〕，通常用向量法。例如，直線與圓錐曲線交于A、B兩點(diǎn)，要判斷點(diǎn)P與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系，只需確定的大小，通過計(jì)算，確定其符號(hào)。4.證明定點(diǎn)，定值，定直線問題可先取參數(shù)的特殊值〔或圖形的特殊位置〕，對(duì)定點(diǎn)，定值，定直線進(jìn)展探求，然后證明當(dāng)參數(shù)變化時(shí)，結(jié)論成立。證明直線過定點(diǎn)，有兩種思路：①求出滿足條件的動(dòng)直線方程〔只含一個(gè)參數(shù)〕，再根據(jù)方程求出定點(diǎn)；②先探求定點(diǎn)，再設(shè)出要證明的定點(diǎn)的坐標(biāo)〔如設(shè)動(dòng)直線與x軸交于點(diǎn)〕，把坐標(biāo)表示出來(lái)，表示式中，往往會(huì)含有〔或〕，用所求得的結(jié)果代入，就可得出坐標(biāo)為定值。證明定點(diǎn)、定值、定直線問題，還可利用圓錐曲線中定點(diǎn)、定值、定直線的性質(zhì)，將問題進(jìn)展轉(zhuǎn)化。5.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題這類問題是平面解析幾何中的重點(diǎn)問題，常涉及直線和圓錐曲線交點(diǎn)的判斷，弦長(zhǎng)，面積，對(duì)稱，共線等問題處理問題的根本方法有兩種：〔1〕聯(lián)立方程法：解題步驟是：先設(shè)交點(diǎn)，再設(shè)直線方程，聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程構(gòu)成方程組，消元，求，〔或〕，令〔如果直線經(jīng)過曲線的點(diǎn)，可以省去這一步〕，再根據(jù)問題的要求或求距離，或求弦長(zhǎng)，或求點(diǎn)的坐標(biāo)，或求面積等。〔2〕點(diǎn)差法：設(shè)交點(diǎn)為及AB的中點(diǎn)，將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代人圓錐曲線方程，作差變形，可得：，即，再由題設(shè)條件，求中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)問題的條件和要求列式。值得注意的是，用聯(lián)立方程法，設(shè)直線方程時(shí)，為簡(jiǎn)化運(yùn)算，可采用這種的策略，假設(shè)直線過軸上的定點(diǎn)，那么直線方程可設(shè)為〔此直線不包括軸〕，聯(lián)立方程，消去，得到關(guān)于的方程，求出備用。有時(shí)，還要根據(jù)，求出。假設(shè)直線過軸上的定點(diǎn)，那么直線方程可設(shè)為〔此直線不包括軸〕，聯(lián)立方程，消去y。對(duì)于直線，無(wú)特殊交代時(shí)，通常注意分兩種情況：①直線的斜率存在，消元后，注意；②直線的斜率不存在，即直線為。在涉及到弦的中點(diǎn)及斜率時(shí)，求參數(shù)〔如直線的斜率k〕的取值圍，通常采用點(diǎn)差法。6.最值問題這類問題是從動(dòng)態(tài)角度研究解析幾何中的有關(guān)問題，往往涉及求弦長(zhǎng)〔或距離〕、面積、坐標(biāo)〔或截距〕、向量的模〔或數(shù)量積〕、參數(shù)等的最大〔小〕值。其解法是：設(shè)變量，建立目標(biāo)函數(shù)。處理的方法有：〔1〕利用根本不等式；〔2〕考察函數(shù)的單調(diào)性；〔3〕利用導(dǎo)數(shù)法；〔4〕利用判別式法。在目標(biāo)函數(shù)的變形上有一定的技巧，關(guān)于弦長(zhǎng)，面積表達(dá)式的變形，常用到移入根號(hào)，別離常數(shù)，換元等方法，把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為雙勾函數(shù)的形式，或用根本不等式，或利用函數(shù)的單調(diào)性求最值。求坐標(biāo)的最值時(shí)，可構(gòu)造一個(gè)一元二次方程，利用。7.求參數(shù)的取值圍問題這類問題主要是根據(jù)條件建立關(guān)于參變量的不等式，或者把所求參數(shù)轉(zhuǎn)化關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)，通過解不等式或求函數(shù)的值域來(lái)求參數(shù)的取值圍。具體解法如下：〔1〕結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系?！?〕不等式〔組〕求解法：利用題意結(jié)合圖形列出所討論的參數(shù)適合的不等式〔組〕，通過解不等式組得出參數(shù)的變化圍。不等式的來(lái)源常有以下途徑：①不等式〔含根本不等式〕；②直線與圓錐曲線相交時(shí)，有；③點(diǎn)與圓錐曲線〔以橢圓最為多見〕的位置關(guān)系；④圓錐曲線〔特別是橢圓〕上點(diǎn)的坐標(biāo)的圍?！?〕函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個(gè)函數(shù)，用一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來(lái)表示這個(gè)函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來(lái)求參數(shù)的變化圍?！?〕利用根本不等式：根本不等式的應(yīng)用，往往需要?jiǎng)?chuàng)造條件，并進(jìn)展巧妙的構(gòu)思?！?〕結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性。圓、橢圓的參數(shù)方程，它們的一個(gè)共同特點(diǎn)是均含有三角式。因此，它們的應(yīng)用價(jià)值在于：①通過參數(shù)θ簡(jiǎn)明地表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)；②利用三角函數(shù)的有界性及其變形公式來(lái)幫助求解諸如最值、圍等問題?！?〕構(gòu)造一個(gè)二次方程，利用判別式0。8.求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是解析幾何中兩類根本問題之一，即根據(jù)動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件，求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系式。最根本的方法是直接法，步驟是：建系設(shè)點(diǎn)條件立式坐標(biāo)代換化簡(jiǎn)方程查漏除雜。此外還有定義法〔主要是利用圓錐曲線的定義〕，相關(guān)點(diǎn)法，參數(shù)法，幾何法等。在涉及直線、圓的軌跡問題時(shí)，常從幾何角度去探求動(dòng)點(diǎn)滿足的關(guān)系，選用幾何法；如果題目沒有直接給出動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件，而是給出了與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的點(diǎn)所滿足的條件，先設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，再把相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示，根據(jù)相關(guān)點(diǎn)的條件列式，此即為相關(guān)點(diǎn)法；參數(shù)法是求軌跡方程常用的方法，合理引入?yún)?shù)〔通常是相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)〕列式，消去參數(shù)得到關(guān)于的方程，要求所列方程的數(shù)目要比引入的參數(shù)多一個(gè)，才能消去所有參數(shù)。三.圓錐曲線問題中的條件及要求與韋達(dá)定理之間的聯(lián)系舉例：解決圓錐曲線問題的根本方法是坐標(biāo)法，這就需要把問題的條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的關(guān)系，而把問題的條件和要求用坐標(biāo)表示，特別是用或來(lái)表示，往往又是打通問題思路的關(guān)鍵。以下是問題中一些條件的坐標(biāo)表示：設(shè)斜率為的直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)，聯(lián)立方程，可求出，以及?！?〕弦的中點(diǎn)：弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)可表示為〔2〕弦的垂直平分線過定點(diǎn)或：弦的垂直平分線方程為：。弦的垂直平分線過定點(diǎn)，那么有：〔3〕點(diǎn)與以為直徑的圓的位置關(guān)系，判斷的符號(hào)：，，。其中〔4〕垂直問題：如，那么有：〔5〕A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱：，〔其中k為直線AB的斜率〕關(guān)于圓錐曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某條直線對(duì)稱的問題，一般涉及到弦的斜率和中點(diǎn)，所以常采用"點(diǎn)差法〞，用點(diǎn)差法處理問題時(shí)，對(duì)于不同的圓錐曲線，有不同的表示方法：當(dāng)圓錐曲線分別為橢圓、雙曲線、拋物線時(shí)，k的表示式有以下三種形式：〔橢圓〕；〔雙曲線〕；〔拋物線〕〔6〕弦長(zhǎng)問題：當(dāng)直線時(shí)：當(dāng)直線時(shí)：〔7〕三角形的面積：MNAB①；〔d是點(diǎn)到直線ABMNAB②或，其中M、N為x軸上兩定點(diǎn)，為定長(zhǎng)。〔8〕三點(diǎn)共線問題：遇三點(diǎn)共線問題，常利用斜率相等列方程。設(shè)，假設(shè)共線，那么利用直線方程將換成〔或?qū)Q成〕，通分后令分子為0，可使所得方程中僅含有〔或僅含有〕。〔9〕為正三角形：點(diǎn)C在的垂直平分線上，且滿足，其中M為的中點(diǎn)。由點(diǎn)C在的垂直平分線上可得：又，，這樣就把問題與韋達(dá)定理聯(lián)系起來(lái)了?！?0〕A、B與C、D四點(diǎn)共圓：當(dāng)A、C、B、D四點(diǎn)共圓時(shí)，其圓心是線段AB的垂直平分線與線段CD的垂直平分線的交點(diǎn)G，且滿足|GA|=|GC|。線段AB的垂直平分線方程為，假設(shè)CD垂直平分AB，那么圓心G是CD的中點(diǎn)，且有.【高考真題、模擬題解析】【例1】〔2010〕橢圓E經(jīng)過點(diǎn)A〔2，3〕，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)軸上，離心率〔1〕求橢圓E的方程；〔2〕求的角平分線所在直線的方程?！窘狻俊?〕設(shè)橢圓E的方程為：橢圓方程形式將A〔2，3〕代入上式，得：∴橢圓E的方程為〔I2〕由〔I〕知，設(shè)的角平分線所在直線的方向向量為，那么。易知，，所以，，故。所以的角平分線所在直線的斜率為k=2，故所求直線為：，即。【注】假設(shè)OC平分AOB，那么【例2】〔2010〕橢圓C的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，離心率是，直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)，以線段為直徑作圓P，圓心為P?！?〕求橢圓C的方程；〔2〕假設(shè)圓P與軸相切，求圓心P的坐標(biāo)；〔3〕設(shè)是圓P上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，求y的最大值.【解】〔1〕因?yàn)椋遥?所以橢圓C的方程為.〔2〕由題意知.由得： 所以圓P的半徑為。由得：解得.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是〔?！?〕由〔Ⅱ〕知，圓P的方程。因?yàn)辄c(diǎn)在圓P上，所以設(shè)，那么當(dāng)，即，且，y取最大值2．【注】對(duì)于形如的函數(shù)，可采用三角代換法求最值，令，那么，于是有：。【例3】〔2010〕如圖，拋物線：經(jīng)過橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)．〔1〕求橢圓的離心率；〔2〕設(shè)點(diǎn)，又為與不在軸上的兩個(gè)交點(diǎn)，假設(shè)的重心在拋物線上，求和的方程．【解】〔1〕因?yàn)閽佄锞€C1經(jīng)過橢圓C2的兩個(gè)焦點(diǎn)，所以，由，所以橢圓的離心率．〔2〕由〔1〕可知：，所以橢圓C2的方程為：聯(lián)立解得：〔舍去〕，所以，即所以△QMN的重心坐標(biāo)為〔1，0〕，因?yàn)橹匦脑贑1上，所以所以所以拋物線C1的方程為：，橢圓C2的方程為：【注】聯(lián)立橢圓方程與其它方程時(shí)，為方便運(yùn)算起見，通常要簡(jiǎn)化橢圓方程。如離心率或者a、b、c中的一個(gè)，那么橢圓方程可化為只含一個(gè)參數(shù)的方程?！纠?】〔2010〕設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C:的左、右焦點(diǎn)，過F2的直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)，直線的傾斜角為60°，F(xiàn)1到直線的距離為2．〔1〕求橢圓C的焦距；〔2〕如果，求橢圓C的方程．【解】〔1〕設(shè)焦距為2c，直線的方程為由可得：F1到直線的距離為d=所以橢圓C的焦距為4． 〔2〕設(shè)，由〔1〕知：橢圓C的方程可化為，直線l的方程為聯(lián)立，消去x，得：由韋達(dá)定理得：因?yàn)棰蹚蘑佗冖壑邢?，求得：。故橢圓C的方程為【注】題目中的向量條件往往轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的關(guān)系?！纠?】直線x＋ky－3＝0所經(jīng)過的定點(diǎn)F恰好是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F的最大距離為8.〔1〕求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔2〕圓O：x2＋y2＝1，直線l：mx＋ny＝1.試證明：當(dāng)點(diǎn)P(m，n)在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l與圓O恒相交，并求直線l被圓O所截得的弦長(zhǎng)L的取值圍．【解】〔1〕由x＋ky－3＝0得，〔x－3〕＋ky＝0，所以直線過定點(diǎn)〔3，0〕，即F〔3，0〕．設(shè)橢圓C的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝3,a＋c＝8,a2＝b2＋c2，))解得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝4，,c＝3.))故所求橢圓C的方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.〔2〕因?yàn)辄c(diǎn)P〔m，n〕在橢圓C上運(yùn)動(dòng)，所以eq\f(m2,25)＋eq\f(n2,16)＝1.從而圓心O到直線l的距離d＝eq\f(1,\r(m2＋n2))＝eq\f(1,\r(m2＋16(1－\f(1,25)m2)))＝eq\f(1,\r(\f(9,25)m2＋16))＜1.所以直線l與圓O恒相交．直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)為L(zhǎng)＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(1－\f(1,m2＋n2))＝2eq\r(1－\f(1,\f(9,25)m2＋16))，由于0≤m2≤25，而L關(guān)于m2遞增，所以eq\f(\r(15),2)≤L≤eq\f(4\r(6),5)，即L∈[eq\f(\r(15),2)，eq\f(4\r(6),5)]，即直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)的取值圍是[eq\f(\r(15),2)，eq\f(4\r(6),5)]．【例6】〔高考題〕是橢圓C的左右頂點(diǎn)，P為橢圓上異于點(diǎn)A、B的動(dòng)點(diǎn)，且的最大面積為?！?〕求橢圓C的方程?！?〕直線AP與橢圓在B點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷直線PF〔F為橢圓C的右焦點(diǎn)〕與以線段BD為直徑的圓的位置關(guān)系，證明你的結(jié)論?！?〕設(shè)橢圓C的右準(zhǔn)線為，直線AP與準(zhǔn)線交于點(diǎn)M，直線BM與橢圓C交于點(diǎn)Q，試判斷點(diǎn)B與以PQ為直徑的圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論。【解】〔1〕橢圓C的方程為：?！?〕由〔1〕得：。設(shè)直線AP的方程為：，那么有：。于是以BD為直徑的圓E的圓心為，半徑為。聯(lián)立，消去x，得：，由韋達(dá)定理得：，所以，從而有：，即。①假設(shè)，那么有，圓E的圓心為，半徑，顯然有直線PF與以BD為直徑的圓E相切。②假設(shè)，即，那么有，所以直線PF的方程為。于是圓心E到直線PF的距離為。所以直線PF與以BD為直徑的圓E相切。綜上，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線PF與以BD為直徑的圓E相切。〔3〕由〔1〕知：橢圓的右準(zhǔn)線為，所以由〔2〕知：，又于是，，所以，所以為銳角，從而為鈍角，故點(diǎn)B在以PQ為直徑的圓的部?！咀ⅰ吭趫A錐曲線中判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，常采用向量法。【例7】〔2011三?！矨，B是橢圓的左，右頂點(diǎn)，，過橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于點(diǎn)M，N，交直線于點(diǎn)P，且直線PA，PF，PB的斜率成等差數(shù)列，R和Q是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，R和Q的橫坐標(biāo)之和為2，RQ的中垂線交x軸于T點(diǎn)?！?〕求橢圓C的方程；〔2〕求三角形MNT的面積的最大值【解】〔1〕由：b=2，設(shè)P〔4，〕，那么,又由：，即，從而。所以橢圓C的方程為〔2〕因?yàn)辄c(diǎn)Q、R在橢圓上，所以即，由，線段QR的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以線段QR的中垂線方程為，，令，得：，所以RQ的中垂線交x軸的交點(diǎn)為設(shè)，，那么設(shè)直線，與橢圓聯(lián)立可得:令，那么函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以從而，故GBAD-3【例8】〔2011文22〕在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓.如下圖，斜率為且不過原點(diǎn)的直線交橢圓GBAD-3于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，射線交橢圓于點(diǎn)，交直線于點(diǎn).〔1〕求的最小值；〔2〕假設(shè)?，①求證：直線過定點(diǎn)；②試問點(diǎn)B，能否關(guān)于軸對(duì)稱？假設(shè)能，求出此時(shí)的外接圓方程；假設(shè)不能，請(qǐng)說明理由.【解】〔1〕由題意:設(shè)直線,由消去y，得:,設(shè)A、B,AB的中點(diǎn)E,那么由韋達(dá)定理得:=,即,,所以中點(diǎn)E的坐標(biāo)為E,因?yàn)镺、E、D三點(diǎn)在同一直線上，所以，即，解得，所以=,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),即的最小值為2.〔2〕①由題意知：m>0，直線OD的方程為,所以由得交點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為,易知：，，因?yàn)?，所以有?又由〔Ⅰ〕知:，所以，于是直線l的方程為,即有，所以直線l過定點(diǎn)〔-1，0〕.②假設(shè)點(diǎn)B，G能關(guān)于軸對(duì)稱。那么有。那么的外接圓的圓心在x軸上，又在線段AB的中垂線上,由〔i〕知：G，所以，B,又因?yàn)橹本€l過定點(diǎn)〔-1，0〕，所以直線l的斜率為，又因?yàn)椋杂校?，解得，從而有，由于，所以k=1，m=1，E，從而AB的中垂線方程為2x+2y+1=0，所以外接圓的圓心為，G，圓的半徑為R=，所求圓的方程為.綜上所述,點(diǎn)B、G能關(guān)于軸對(duì)稱，此時(shí)的外接圓的方程為.【例9】〔2010理21〕如圖，橢圓的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為，一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于項(xiàng)點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D.〔1〕求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔2〕設(shè)直線、的斜率分別為、，證明：；〔3〕是否存在常數(shù)，使得恒成立？假設(shè)存在，求的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.【解】〔1〕設(shè)橢圓的半焦距為，由題意知： 所以。又，因此 故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 由題意設(shè)等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為， 因?yàn)榈容S雙曲線的頂點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，所以 因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為〔2〕設(shè)，那么 因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線上，所以。 因此。即?！?〕由于PF1的方程為，將其代入橢圓方程得 由違達(dá)定理得 所以 同理可得那么 又，所以 故 因此，存在，使恒成立?！纠?0】〔2012預(yù)測(cè)題原創(chuàng)題〕橢圓C：，過橢圓的右焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)〔不與左、右頂點(diǎn)重合〕，分別是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，〔1〕證明：直線的交點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線l上。〔2〕設(shè)橢圓C的右準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)D，求的面積的最大值，并求出當(dāng)面積最大時(shí)的正切值。【解】由：F〔1，0〕，右準(zhǔn)線l的方程為：設(shè)直線MN的方程為，且設(shè)，聯(lián)立，消去x，得：，那么有：，?！?〕設(shè)直線與右準(zhǔn)線l分別交于P、Q兩點(diǎn)，那么，。于是，所以，即點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合。故直線的交點(diǎn)在橢圓右準(zhǔn)線上?！?〕由：D〔2，0〕.。令，那么。函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故。當(dāng)面積最大時(shí)，t=1，即k=0，此時(shí)軸，所以.【例11】〔2009卷〕橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)面積為8的正方形〔記為Q〕.〔1〕求橢圓C的方程;〔2〕設(shè)點(diǎn)P是橢圓C的左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)線段MN的中點(diǎn)落在正方形Q〔包括邊界〕時(shí)，求直線的斜率k的取值圍?！窘狻俊?〕依題意，設(shè)橢圓C的方程為焦距為2c，由題設(shè)條件知，所以故橢圓C的方程為.〔2〕橢圓C的左準(zhǔn)線方程為所以點(diǎn)P的坐標(biāo)，顯然直線的斜率存在，所以直線的方程為。如圖，設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為線段MN的中點(diǎn)為G，聯(lián)立消去y得：.那么有解得.…………①又由韋達(dá)定理可得：，于是有：=，從而.因?yàn)?，所以點(diǎn)G不可能在y軸的右邊，又直線，方程分別為所以點(diǎn)G在正方形Q〔包括邊界〕的充要條件為即亦即解得，此時(shí)①也成立.故k的取值圍是【例12】〔2009〕直線經(jīng)過橢圓的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓的右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)S是橢圓C上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AS、BS與直線分別交于M、N兩點(diǎn)?！?〕求橢圓的方程；〔2〕求線段MN的長(zhǎng)度的最小值；〔3〕當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓上是否存在這樣的點(diǎn)T，使得的面積為？假設(shè)存在，確定點(diǎn)T的個(gè)數(shù)，假設(shè)不存在，說明理由?！窘狻俊?〕由得，橢圓的左頂點(diǎn)為上頂點(diǎn)為故橢圓C的方程為〔2〕直線AS的斜率k顯然存在，且k>0，故可設(shè)直線AS的方程為，從而聯(lián)立消去y得:0設(shè)那么得，從而即又由得:故又當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，時(shí)，|MN|取最小值〔3〕由〔Ⅱ〕可知，當(dāng)|MN|取最小值時(shí)，此時(shí)BS的方程為要使橢圓C上存在點(diǎn)T，使得的面積等于，只須T到直線BS的距離等于，所以T在平行于BS且與BS距離等于的直線l上。設(shè)直線那么由解得或即直線l：或。聯(lián)立，因?yàn)?，所以直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)。聯(lián)立，因?yàn)?，所以直線與橢圓沒有交點(diǎn)。綜上，滿足條件的點(diǎn)T存在，且有兩個(gè)。【例13】〔2010T20〕雙曲線的左、右分別為，點(diǎn)是雙曲線上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)?！?〕求直線與直線的交點(diǎn)E的軌跡方程?！?〕假設(shè)過點(diǎn)H〔0，h〕〔h>1〕的兩條直線與〔1〕中的軌跡都只有一個(gè)交點(diǎn)，且，求h的值?！窘狻俊?〕由：，設(shè)E〔x，y〕直線的方程為：直線的方程為：得：。由：，即，故有：。因?yàn)槭请p曲線上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，所以不與雙曲線的左右頂點(diǎn)重合，所以，又當(dāng)x=0時(shí)，直線與直線分別與雙曲線的兩條漸近線平行，此時(shí)P、Q不可能在雙曲線上，所以。故E點(diǎn)的軌跡方程為〔，〕〔2〕設(shè)直線的方程分別為〔h>1〕因?yàn)椋?。?dāng)直線與點(diǎn)E的軌跡都只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直線的位置有以下3種情況：①直線都與橢圓相切：聯(lián)立，于是有，同理可得：。因?yàn)?，所以，又h>1，故求得：。②直線中有一條與橢圓相切，有一條經(jīng)過左〔右〕頂點(diǎn)：不妨設(shè)直線與橢圓相切，直線過右頂點(diǎn)，那么有，，因?yàn)?，所以，又h>1，故求得：。③直線分別經(jīng)過左、右頂點(diǎn)：那么有，。于是有，又h>1，故求得：。綜上，滿足條件的h的值為：或或?！纠?4】〔全國(guó)高考題〕如圖，是拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且〔為常數(shù)〕，求以下兩種情況下線段的中點(diǎn)到軸的最短距離【解】設(shè)直線的方程為：，且設(shè)那么到軸的距離，聯(lián)立消去，得:那么有，從而所以求得：。所以令，那么〔1〕當(dāng)時(shí)，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以〔2〕當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞增，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最小值且、【例15】直線l過拋物線的焦點(diǎn)F，交拋物線與A,，B兩點(diǎn)，C是拋物線的準(zhǔn)線上任一點(diǎn)〔1〕證明：不可能為鈍角〔2〕是否存在這樣的點(diǎn)C，使得為正三角形？假設(shè)存在，求點(diǎn)C的坐標(biāo)，假設(shè)不存在，說明理由。【解】〔1〕設(shè)直線AB的方程為，且設(shè)，聯(lián)立，消去x得：。于是有：，從而有：，易知，所以。又，即方程有兩個(gè)不等實(shí)根，所以不重合，故為銳角或直角，不可能為鈍角?！玖碜C】由拋物線的性質(zhì)可知：以焦點(diǎn)弦AB為直徑的圓一定和拋物線的準(zhǔn)線相切，而點(diǎn)C為準(zhǔn)線上任一點(diǎn)，所以點(diǎn)C在圓外或圓上，故為銳角或直角，不可能為鈍角?！?〕假設(shè)拋物線的準(zhǔn)線上存在點(diǎn)，使得為正三角形。取AB的中點(diǎn)D，那么，且。由〔1〕可得：，從而，由得：，即，所以。于是，易知。由得：，所以。故拋物線的準(zhǔn)線上存在點(diǎn)，使得為正三角形【例16】〕〔2011年市高三第2次模擬考試〕〔1〕動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)與到直線的距離相等，求點(diǎn)P的軌跡L的方程；〔2〕假設(shè)正方形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)，，()在〔1〕中的曲線L上，設(shè)直線BC的斜率為k，，求關(guān)于k的函數(shù)解析式；〔3〕求〔2〕中正方形ABCD的面積S的最小值．【解】〔1〕由題設(shè)可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為．〔2〕由〔1〕，可設(shè)直線BC的方程為：，聯(lián)立消去y得：易知、為該方程的兩個(gè)根，故有，得，從而得：，類似地，可設(shè)直線AB的方程為：，從而得，由，得，解得：：所以〔3〕由〔2〕得：，由根本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)上述兩式等號(hào)均成立所以，僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào)。故，即當(dāng)k=1時(shí)，l取得最小值。故S的最小值為32，【例17】〔2012年威海一?！硻E圓〔0＜b＜2〕的離心率等于拋物線〔p＞0〕的焦點(diǎn)F在橢圓部，且到短軸端點(diǎn)的距離為。〔1〕寫出橢圓和拋物線的方程；〔2〕在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P的切線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且滿足？假設(shè)存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.【解】〔1〕〔2〕假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)P滿足條件。設(shè)過點(diǎn)P的拋物線的切線方程為，且設(shè)，聯(lián)立，消去y，得：，那么有：，又由韋達(dá)定理得：從而。因?yàn)?，所以，即，從而得：。?lián)立，消去y，得：因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以，即。由②④可求得：，代入①檢驗(yàn)，符合。代入③，求得切點(diǎn)P的坐標(biāo)為。故在拋物線上存在點(diǎn)P滿足條件，且點(diǎn)P的坐標(biāo)為?！纠?8】〔2012實(shí)驗(yàn)中學(xué)〕橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為；一動(dòng)圓經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，且與直線相切，記動(dòng)圓圓心的軌跡為?！?〕分別求曲線、的方程?！?〕曲線上有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q，曲線上有兩動(dòng)點(diǎn)M、N，滿足、〔為正實(shí)數(shù)〕，且，求四邊形的面積的最小值。【解】〔1〕，?！?〕由：直線MN和直線PQ都經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，且直線MN和直線PQ互相垂直。易知直線PQ不可能與x軸垂直，即直線MN不可能與x軸重合。設(shè)直線PQ的方程為，那么直線MN的方程為。聯(lián)立，消去y，得：，設(shè)，那么，于是。聯(lián)立，消去x，得：，設(shè)，那么，從而，于是。所以.令，那么。因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=3時(shí)，y取得最小值，且，故.即四邊形的面積的最小值為8.【例17】拋物線D以雙曲線C:的上焦點(diǎn)F〔0，c〕為焦點(diǎn).〔1〕求拋物線D的標(biāo)準(zhǔn)方程〔2〕過直線l:上的動(dòng)點(diǎn)P作拋物線兩條切線，切點(diǎn)為A、B，求證：直線AB過定點(diǎn)Q，并求點(diǎn)Q的坐標(biāo)*〔3〕在〔2〕的條件下，假設(shè)直線PQ交拋物線D于M，N兩點(diǎn)，求證：|PM||QN|=|QM|||PN|。【解】〔1〕。〔2〕設(shè)，由得：，所以。于是，。所以切線AP的方程為，即，同理切線BP的方程為。由得：，即。因?yàn)辄c(diǎn)P在直線上，所以。易知：，所以直線AB的方程為，即，亦即。令，那么直線AB的方程可表示為，顯然直線AB過定點(diǎn)。〔3〕設(shè)，那么直線PQ的方程為：，聯(lián)立，消去y得：。設(shè)，那么有，。|PM||QN|=|QM|||PN|而，，只需證。事實(shí)上，。所以|PM||QN|=|QM|||PN|?！咀ⅰ吭诮馕鰩缀螁栴}中，對(duì)于同一直線上兩條線段的比，通常用端點(diǎn)坐標(biāo)之差的絕對(duì)值的比來(lái)表示。【例19】〔2011高考理22〕動(dòng)直線與橢圓：交于兩不同點(diǎn)，且的面積，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)．〔1〕證明：和均為定值；〔2〕設(shè)線段的中點(diǎn)為，求的最大值；〔3〕橢圓上是否存在三點(diǎn)，使得？假設(shè)存在，判斷的形狀；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由．【解】〔1〕當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，那么，由在橢圓上，那么，而，那么，于是，.當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線為，代入可得，即，那么，即，又由韋達(dá)定理，可得：于是又有：，所以那么，滿足，，綜上可知.〔2〕當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由〔Ⅰ〕知當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由〔Ⅰ〕知，，即所以又所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，綜上可知的最大值為?！?〕假設(shè)橢圓上存在三點(diǎn)，使得，由〔Ⅰ〕知：，.解得。因此只能從中選取，只能從中選取，因此只能從中選取三個(gè)不同點(diǎn)，而這三點(diǎn)的兩兩連線必有一個(gè)過原點(diǎn)，這與相矛盾故橢圓上不存在三點(diǎn)，使得。【專題演練之根本訓(xùn)練題】1．橢圓的焦點(diǎn)是F1、F2，P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長(zhǎng)F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是〔〕A．圓B．橢圓C．雙曲線的一支D．拋物線2．設(shè)F1、F2為橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)，過橢圓中心任作一直線與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形PF1QF2面積最大時(shí)，eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的值等于〔〕A．0B．2C．4D．－23．〔2009年高考卷〕橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1〔a＞b＞0〕的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B在橢圓上，且BF⊥x軸，直線AB交y軸于點(diǎn)P.假設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，那么橢圓的離心率是〔〕A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)4．〔2010年模擬〕F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左，右焦點(diǎn)，過F1且垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，假設(shè)△ABF2為鈍角三角形，那么橢圓C的離心率e的取值圍為〔〕A．(0，eq\r(2)－1)B．(0，eq\r(3)－1)C．(eq\r(2)－1,1)D．(eq\r(3)－1,1)5.B1、B2是橢圓短軸的兩端點(diǎn)，O為橢圓中心，過左焦點(diǎn)F1作長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于P，假設(shè)|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中項(xiàng)，那么eq\f(|PF1|,|OB2|)的值是〔〕A.eq\r(2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(2),3)6．〔2009年高考全國(guó)卷Ⅱ〕雙曲線eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1的漸近線與圓〔x－3〕2＋y2＝r2〔r＞0〕相切，那么r＝〔〕A.eq\r(3)B．2C．3D．67．〔2009年高考卷〕設(shè)F1和F2為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，假設(shè)F1、F2、P(0,2b)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，那么雙曲線的離心率為〔〕A.eq\f(3,2)B．2C.eq\f(5,2)D．38．設(shè)P是雙曲線eq\f(x2,22)－eq\f(y2,b2)＝1上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為3x－2y＝0，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)．假設(shè)|PF1|＝3，那么|PF2|等于〔〕A．1或5B．6C．7D．99.〔2009年高考卷〕設(shè)橢圓C1的離心率為eq\f(5,13)，焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26，假設(shè)曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8，那么曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為〔〕A.eq\f(x2,42)－eq\f(y2,32)＝1B.eq\f(x2,132)－eq\f(y2,52)＝1C.eq\f(x2,32)－eq\f(y2,42)＝1D.eq\f(x2,132)－eq\f(y2,122)＝110．過雙曲線M：x2－eq\f(y2,b2)＝1的左頂點(diǎn)A作斜率為1的直線l，假設(shè)l與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于點(diǎn)B、C，且|AB|＝|BC|，那么雙曲線M的離心率是〔〕A.eq\r(10)B.eq\r(5)C.eq\f(\r(10),3)D.eq\f(\r(5),2)11．拋物線y＝4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，那么點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是〔〕A.eq\f(17,16)B.eq\f(15,16)C.eq\f(7,8)D．012．〔2009年高考卷〕假設(shè)點(diǎn)P到直線x＝－1的距離比它到點(diǎn)(2,0)的距離小1，那么點(diǎn)P的軌跡為〔〕A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線13．拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過F且傾斜角等于eq\f(π,3)的直線與拋物線在x軸上方的曲線交于點(diǎn)A，那么AF的長(zhǎng)為〔〕A．2B．4C．6D．814．如圖過拋物線y2＝2px〔p＞0〕的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C，假設(shè)|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，那么拋物線的方程為〔〕A．y2＝eq\f(3,2)xB．y2＝9xC．y2＝eq\f(9,2)xD．y2＝3x15．直線l過拋物線C：y2＝2px〔p＞0〕的焦點(diǎn)F，且交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，分別從A，B兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線引垂線，垂足分別為A1，B1，那么∠A1FB1是〔〕A．銳角B．直角C．鈍角D．直角或鈍角16．F1、F2是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,9)＝1的左、右兩焦點(diǎn)，P為橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，假設(shè)△PF1F2是等邊三角形，那么a2＝________.17．正方形ABCD，那么以A、B為焦點(diǎn)，且過C、D兩點(diǎn)的橢圓的離心率為________．18．〔2009年高考卷〕橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,2)＝1的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上，假設(shè)|PF1|＝4，那么|PF2|＝________，∠F1PF2的大小為________．19．〔2010年高考卷〕過雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1〔a＞0，b＞0〕的一個(gè)焦點(diǎn)作圓x2＋y2＝a2的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B.假設(shè)∠AOB＝120°(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，那么雙曲線C的離心率為________．20．〔2009年高考、卷〕設(shè)雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F.過點(diǎn)F平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，那么△AFB的面積為________．21.〔2008年高考卷〕過拋物線x2＝2py〔p>0〕的焦點(diǎn)F作傾斜角為30°的直線，與拋物線分別交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在y軸左側(cè))，那么eq\f(|AF|,|FB|)＝________.【答案】：1.A2.D3.D4.A5.B6.A7.B8.C9.A10.A11.B12.D13.B14.D15.B16.12;17.eq\r(2)－1;18.2、120°；19.2；20.eq\f(32,15)；21.eq\f(1,3)【專題演練之綜合訓(xùn)練題】【E1】橢圓C:的離心率e=，左,右焦點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)恰好是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)〔1〕求橢圓C的方程〔2〕假設(shè)斜率為k的直線l與x軸交于點(diǎn)A〔2，0〕，與橢圓C交于兩點(diǎn)M，N，證明：〔3〕在〔2〕的條件下，求的面積的最大值【解】〔1〕C：〔2〕設(shè)直線l的方程為，其中。設(shè)，聯(lián)立，消去x得：那么有：又由韋達(dá)定理得：，易知，所以，，因?yàn)?，即，所以直線與的傾斜角互補(bǔ)，故?！?〕由，。令，那么。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最大面積為?！綞2】在平面直角坐標(biāo)系中，的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A，B〔1，0〕，平面的兩點(diǎn)G，M同時(shí)滿足①,②,③〔1〕求的頂點(diǎn)C的軌跡E的方程；〔2〕過點(diǎn)D〔3，0〕的直線l與〔1〕中的軌跡E交于P、Q兩點(diǎn)，求的取值圍；〔3〕在〔2〕的條件下，求的最大面積。【解】〔1〕由條件①、②可得：G、M兩點(diǎn)分別是的重心和外心。設(shè)，那么，又由③可知：。因?yàn)?，所以，化?jiǎn)的：。此即為點(diǎn)C的軌跡方程?！?〕設(shè)直線l的方程為，且設(shè)，聯(lián)立，消去x，得：，那么有，又由韋達(dá)定理得：。易知，，所以，又因?yàn)?，所以，于是。故的取值圍為?！?〕。令，那么。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)。所以的最大面積為?！綞3】設(shè)橢圓：的焦點(diǎn)分別為、，拋物線C:的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為A，且．〔1〕求橢圓的方程；〔2〕過、分別作互相垂直的兩直線與橢圓分別交于D、E、M、N四點(diǎn)〔如圖〕，求四邊形DMEN面積的最大值和最小值．【解】〔1〕由題意，.拋物線:的準(zhǔn)線為，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為.，為的中點(diǎn).，，即橢圓方程為.〔2〕