簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞

第3節(jié)簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞考試要求1了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義；2理解全稱量詞與存在量詞的意義；3能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定知識梳理且1簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞1命題中的____、____、____叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞2命題p∧q，p∨q，綈p的真假判斷或非pqp∧qp∨q綈p真真____真____真假________假假真假________假假____假____真假假真真真假真2全稱量詞與存在量詞1全稱量詞：短語“所有的”、“任意一個”等在邏輯中通常叫做全稱量詞，用符號“____”表示2存在量詞：短語“存在一個”、“至少有一個”等在邏輯中通常叫做存在量詞，用符號“____”表示??3全稱命題和特稱命題名稱全稱命題特稱命題結(jié)構(gòu)對M中的任意一個x，有p(x)成立存在M中的一個x0，使p(x0)成立簡記______________________________________________否定?x0∈M，綈p(x0)____________，綈p(x)?∈M，p?0∈M，p0?∈M1含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假判斷口訣：p∨q→見真即真，p∧q→見假即假，p與綈p→真假相反2含有一個量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”3“p∨q”的否定是“綈p∧綈q”，“p∧q”的否定是“綈p∨綈q”4邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”對應(yīng)集合運(yùn)算中的“并”“交”“補(bǔ)”，可借助集合運(yùn)算處理含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題診斷自測1判斷下列結(jié)論正誤在括號內(nèi)打“√”或“×”1命題“5>6或5>2”是假命題2命題綈，，綈p的真假性相反解析1∨q中，p，q有一真則真2錯誤p∧q是真命題，則p，q都是真命題3錯誤命題“長方形的對角線相等”是全稱命題答案1×2×3×4√2老教材選修2－1P18A13改編已知p：2是偶數(shù)，q：2是質(zhì)數(shù)，則命題綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命題的個數(shù)為A1 B2 C3 D4解析p和q顯然都是真命題，所以綈p，綈q都是假命題，p∨q，p∧q都是真命題答案B333改編命題“表面積相等的三棱錐體積也相等”的否定是________________________答案有些表面積相等的三棱錐體積不相等A?∈R，2＋4＋6≥0 B?∈R，2＋4＋6>0C?∈R，2＋4＋6>0 D?∈R，2＋4＋6≥0解析依據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，由此知答案A是正確的答案A52020·唐山模擬已知命題p：f＝3－a的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；命題q：g＝cos的圖象關(guān)于y軸對稱則下列命題為真命題的是 BqCp∧q Dp∧綈q解析根據(jù)題意，對于f＝3－a，有f－＝－3－a－＝－3－a＝－f，為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，p為真命題；對于g＝cos，有g(shù)－＝－cos－＝－cos，為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，q為假命題，則綈p為假命題，q為假命題，p∧q為假命題，p∧綈q為真命題答案D∴實(shí)數(shù)m的最大值為1答案1Ap∨q Bp∧qC綈p∧綈q Dp∧綈q考點(diǎn)一含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷【例1】1設(shè)a，b，:若a·b＝0，b·c＝0，則a·c＝0；命題q：若a∥b，b∥c，則a∥c則下列命題中真命題是22020·廣州調(diào)研已知命題，n是直線，α為平面，若m∥α，n?α，則m∥n下列命題為真命題的是Ap∧q Bp∧綈qC綈p∧q D綈p∧綈q解析1取a＝c＝1，0，b＝0，1，顯然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命題又a，b，c是非零向量，由a∥b知a＝b∈R，由b∥c知b＝y(tǒng)cy∈R，∴a＝y(tǒng)c，∴a∥c，∴q是真命題綜上知p∨q是真命題，p∧q是假命題綈p為真命題，綈q為假命題∴綈p∧綈q，p∧綈q都是假命題2對于命題∥α，但是m，n有可能是異面直線，故命題q為假命題，∧綈q為真命題答案1A2B規(guī)律方法1“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命題真假的判斷關(guān)鍵是對邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”含義的理解，其操作步驟是：1明確其構(gòu)成形式；2判斷其中命題p，q的真假；3確定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命題的真假2p∧q形式是“一假必假，全真才真”，p∨q形式是“一真必真，全假才假”，綈p則是“與p的真假相反”【訓(xùn)練1】1若命題“p∨q”與命題“綈p”都是真命題，則都是真命題都是假命題是真命題，命題q是假命題是假命題，命題q是真命題22020·衡水中學(xué)檢測命題p：若向量a·b<0，則a與b的夾角為鈍角；命題q：若cosα·cosβ＝1，則sinα＋β＝0下列命題為真命題的是Ap Cp∧q Dp∨q解析1因?yàn)榻恜為真命題，所以p為假命題，又p∨q為真命題，所以q為真命題2當(dāng)a，b方向相反時，a·b<0，但夾角是180°，不是鈍角，命題p是假命題；若cosαcosβ＝1，則cosα＝cosβ＝1或cosα＝cosβ＝－1，所以sinα＝sinβ＝0，從而sinα＋β＝0，命題q是真命題，所以p∨q是真命題答案1D2D考點(diǎn)二全稱量詞與存在量詞 多維探究角度1含有量詞命題的否定【例2－1】2020·河南八所重點(diǎn)高中聯(lián)考已知集合A是奇函數(shù)集，：?f∈A，|f|∈B，則綈p為A?f∈A，|f|?B B?f?A，|f|?BC?f∈A，|f|?B D?f?A，|f|?B解析全稱命題的否定為特稱命題：改寫量詞，否定結(jié)論∴綈p：?f∈A，|f|?B答案C角度2全稱特稱命題的真假判斷【例2－2】1已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f不是偶函數(shù)，則下列命題一定為真命題的是A?∈R，f－≠fB?∈R，f－≠－fC?0∈R，f－0≠f0D?0∈R，f－0≠－f0Ap∧q B綈p∧qCp∧綈q D綈p∧綈q解析1∵定義域?yàn)镽的函數(shù)f不是偶函數(shù)，∴?∈R，f－＝f為假命題，∴?0∈R，f－0≠f0為真命題答案1C2A規(guī)律方法1全稱命題與特稱命題的否定與命題的否定有一定的區(qū)別，否定全稱命題和特稱命題時，一是要改寫量詞，全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞；二是要否定結(jié)論，而一般命題的否定只需直接否定結(jié)論2判定全稱命題“?∈M，中的每一個元素，證明p成立；要判斷特稱命題是真命題，只要在限定集合內(nèi)找到一個＝0，使p0成立即可【訓(xùn)練2】1角度1命題“?0∈R，1<f0≤2”的否定形式是A?∈R，1<f≤2B?0∈R，1<f0≤2C?0∈R，f0≤1或f0>2D?∈R，f≤1或f>22角度22020·株洲模擬已知命題p：?>0，e>＋1，命題q：?∈0，＋∞，ln≥，則下列命題正確的是Ap∧q B綈p∧qCp∧綈q D綈p∧綈q解析1特稱命題的否定是全稱命題，原命題的否定形式為“?∈R，f≤1或f>2”2令f＝e－－1，則f′＝e－1，當(dāng)>0時，f′>0，所以f在0，＋∞上單調(diào)遞增，∴f>f0＝0，即e>＋1，命題p真；當(dāng)∈0，1時，g′>0；當(dāng)∈1，＋∞時，g′<0，即當(dāng)＝1時，g取得極大值，也是最大值，所以gma＝g1＝－1<0，∴g<0在0，＋∞上恒成立，則命題q假，因此綈q為真，故p∧綈q為真答案1D2C考點(diǎn)三由命題的真假求參數(shù) 典例遷移【遷移】本例2中，若將“?2∈”，其他條件不變，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________________________________________________規(guī)律方法1由含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假求參數(shù)的方法步驟：1求出每個命題是真命題時參數(shù)的取值范圍；2根據(jù)每個命題的真假情況，求出參數(shù)的取值范圍2全稱命題可轉(zhuǎn)化為恒成立問題3含量詞的命題中參數(shù)的取值范圍，可根據(jù)命題的含義，利用函數(shù)的最值解決【訓(xùn)練3】已知命題p：?∈R，2<3，命題q：?∈R，2＝2－，若命題綈p∧q為真命題，則的值為A1 B－1 C2 D－2解析因?yàn)榻恜：?∈R，2≥3，要使綈p∧q為真，所以綈p與q同時為真由2＝2－，得＝1或＝－2②由①②知＝－2答案D邏輯推理——突破雙變量“存在性或任意性”問題邏輯推理的關(guān)鍵要素是：邏輯的起點(diǎn)、推理的形式、結(jié)論的表達(dá)解決雙變量“存在性或任意性”問題關(guān)鍵就是將含有全稱量詞和存在量詞的條件“等價轉(zhuǎn)化”為兩個函數(shù)值域之間的關(guān)系或兩個函數(shù)最值之間的關(guān)系，目的在于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)和良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)類型1形如“對任意1∈A，都存在2∈B，使得g2＝f1成立”的問題令h＝f′＋2a＝32＋2－aa＋2，思維升華理解全稱量詞與存在量詞的含義是求解本題的關(guān)鍵，此類問題求解的策略是“等價轉(zhuǎn)化”，即“函數(shù)f的值域是g的值域的子集”，從而利用包含關(guān)系構(gòu)建關(guān)于a的不等式組，求得參數(shù)的取值范圍類型2形如“存在1∈A及2∈B，使得f1＝g2成立”的問題思維升華本類問題的實(shí)質(zhì)是“兩函數(shù)f與g的值域的交集不為空集”，上述解法的關(guān)鍵是利用了補(bǔ)集思想另外，若把此種類型中的兩個“存在”均改為“任意”，則“等價轉(zhuǎn)化”策略