直線和圓的位置關(guān)系 省賽獲獎

作圖1：過⊙O外一點P作直線作圖2：若點A為⊙O上的一點，如何過點A作⊙O的切線.直線和圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線思考：如圖，如果直線l是⊙O的切線，點A為切點，那么OA與l垂直嗎？AlO∵直線l是⊙O的切線，A是切點，∴直線l⊥OA切線的性質(zhì)定理1、切線性質(zhì)

圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．應(yīng)用格式小亮的理由是:直徑AB與直線CD要么垂直,要么不垂直（1）假設(shè)AB與CD不垂直,過點O作一條直徑垂直于CD,垂足為M,（2）則OM<OA,即圓心到直線CD的距離小于⊙O的半徑,因此,CD與⊙O相交這與已知條件“直線與⊙O相切”相矛盾CDBOA（3）所以AB與CD垂直M證法1：反證法性質(zhì)定理的證明CDOA證法2：構(gòu)造法作出小⊙O的同心圓大⊙O，CD切小⊙O于點A,且A點為CD的中點，連接OA,根據(jù)垂徑定理，則CD⊥OA,即圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．練一練1、如圖：AB是⊙O的直徑，直線l1，l2是⊙O的切線，A，B是切點，l1與l2有怎樣的位置關(guān)系？證明你的結(jié)論．證明:l1∥l2∵l1是⊙O切線，∴l(xiāng)1⊥OA∵l2是⊙O切線，∴l(xiāng)2⊥OBAB為直徑，l1∥l2∴練一練2、如圖：以⊙O為圓心的兩個同心圓，大圓的弦AB是小圓的切線，點P為切點求證：AP=BP．證明：連結(jié)OP，∵AB是小圓的切線∴OP⊥AB，∵AB是大圓的弦，∴AP=PB例1：如圖：AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為D,求證：AC平分∠DAB．證明連接OC∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD又∵AD⊥CD，∴OC∥AD∴∠1＝∠3又∵OC＝OA，∴∠2＝∠3∴∠1＝∠2∴AC平分∠DAB123利用切線的性質(zhì)解題時，常需連接輔助線，一般連接圓心與切點解題例2如圖,△ABC中，AB＝AC，O是BC的中點，⊙O與AB相切于E求證：AC是⊙O的切線．BOCEA分析：根據(jù)切線的判定定理，要證明AC是⊙O的切線，只要證明由點O向AC所作的垂線段OF是⊙O的半徑就可以了，而OE是⊙O的半徑，因此只需要證明OF=OEF證明：連接OE，OA,過O作OF⊥AC∵⊙O與AB相切于E，∴OE⊥AB又∵△ABC中，AB＝AC，O是BC的中點．∴AO平分∠BAC，F(xiàn)BOCEA∴OE＝OF∵OE是⊙O半徑，OF＝OE，OF⊥AC∴AC是⊙O的切線．又OE⊥AB，OF⊥AC例3

如圖，PA為⊙O的切線，A為切點．直線PO與⊙O交于B、C兩點，∠P＝30°，連接AO、AB、AC.(1)求證：△ACB≌△APO；(2)若AP＝，求⊙O的半徑．OABPC在△ACB和△APO中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，∴△ACB≌△APO1證明：∵PA為⊙O的切線，A為切點，又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，又OA＝OB，∴△AOB為等邊三角形．∴AB＝AO，∠ABO＝60°又∵BC為⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°∴∠OAP＝90°2若AP＝，求⊙O的半徑．OABPC∴AO＝1，∴CB＝OP＝2，∴OB＝1，即⊙O的半徑為1(2)解：在Rt△AOP中，∠P＝30°