北京高三（期末）理數(shù)9.圓錐曲線

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精【解析分類匯編系列一：北京2013高三期末】：9圓錐曲線一、選擇題1．（北京市東城區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理科試題)已知拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點為，點在拋物線上且，則△的面積為 （）A．4 B．8 C．16 D．【答案】D【解析】雙曲線的右焦點為，拋物線的焦點為,所以，即。所以拋物線方程為，焦點,準(zhǔn)線方程，即,設(shè)，過A做垂直于準(zhǔn)線于M,由拋物線的定義可知,所以，即，所以，整理得，即，所以,所以,選D。2．(北京市海淀區(qū)北師特學(xué)校2013屆高三第四次月考理科數(shù)學(xué))方程的曲線是 （）A．一個點 B．一條直線 C．兩條直線 D．一個點和一條直線【答案】C【解析】由得,即，為兩條直線,選C。3．（北京市海淀區(qū)北師特學(xué)校2013屆高三第四次月考理科數(shù)學(xué)）已知雙曲線,過其右焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線交于兩點，為坐標(biāo)原點。若，則雙曲線的離心率為 ()A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知三角形為等腰直角三角形，所以，所以點，代入雙曲線方程，當(dāng)時，，得，所以由，的，即,所以,解得離心率，選D。4．（北京市通州區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）已知直線和直線，拋物線上一動點到直線和直線的距離之和的最小值是 （）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為拋物線的方程為，所以焦點坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為。所以設(shè)到準(zhǔn)線的距離為，則。到直線的距離為，所以,其中為焦點到直線的距離,所以，所以距離之和最小值是2，選B。5（北京市朝陽區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題）已知雙曲線的中心在原點，一個焦點為，點P在雙曲線上，且線段PF1的中點坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是 （）A． B． C． D．【答案】B【解析】由雙曲線的焦點可知，線段PF1的中點坐標(biāo)為，所以設(shè)右焦點為，則有,且，點P在雙曲線右支上。所以,所以，所以，所以雙曲線的方程為，選B。6（北京市海淀區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題）橢圓的左右焦點分別為,若橢圓上恰好有6個不同的點，使得為等腰三角形，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)點P位于橢圓的兩個短軸端點時，為等腰三角形，此時有2個.,若點不在短軸的端點時，要使為等腰三角形，則有或.此時。所以有，即，所以，即,又當(dāng)點P不在短軸上,所以,即,所以。所以橢圓的離心率滿足且，即,所以選D.二、填空題7．（北京市東城區(qū)普通高中示范校2013屆高三3月聯(lián)考綜合練習(xí)(二)數(shù)學(xué)（理）試題）若雙曲線與直線無交點，則離心率的取值范圍是.【答案】【KS5U解析】雙曲線的漸近線方程為,要使雙曲線與直線無交點，則，即，所以，即,,所以，即離心率的取值范圍是，即。8．（北京市西城區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理科試題）已知橢圓的兩個焦點是，，點在該橢圓上．若，則△的面積是______．【答案】【解析】由橢圓的方程可知，且，所以解得，又，所以有，即三角形為直角三角形,所以△的面積。9．(北京市順義區(qū)2013屆高三第一次統(tǒng)練數(shù)學(xué)理科試卷）在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)拋物線的焦點為,準(zhǔn)線為為拋物線上一點,，為垂足.如果直線的傾斜角為,那么_______.【答案】4【解析】拋物線的焦點坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為。因為直線的傾斜角為，所以，又,所以。因為,所以，代入，得，所以.10．(北京市昌平區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題）以雙曲線的右焦點為圓心，并與其漸近線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_____。【答案】【解析】雙曲線的漸近線為,不妨取，即。雙曲線的右焦點為，圓心到直線的距離為，即圓的半徑為4，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。11.（北京市海淀區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題）以為漸近線且經(jīng)過點的雙曲線方程為______。【答案】【解析】因為雙曲線經(jīng)過點，所以雙曲線的焦點在軸，且，又雙曲線的漸近線為，所以雙曲線為等軸雙曲線，即，所以雙曲線的方程為.12。（北京市石景山區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題）已知定點的坐標(biāo)為，點F是雙曲線的左焦點，點是雙曲線右支上的動點，則的最小值為．【答案】9【解析】由雙曲線的方程可知，設(shè)右焦點為，則。，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng) 三點共線時取等號,此時，所以,即的最小值為9。三、解答題13。(北京市東城區(qū)普通高中示范校2013屆高三3月聯(lián)考綜合練習(xí)（二）數(shù)學(xué)（理）試題）（本小題滿分14分）已知平面內(nèi)一動點到點的距離與點到軸的距離的差等于1．(1）求動點的軌跡的方程;（2）過點作兩條斜率存在且互相垂直的直線，設(shè)與軌跡相交于點，與軌跡相交于點,求的最小值．【答案】(1）設(shè)動點的坐標(biāo)為,由題意得……………2分化簡得當(dāng)時;當(dāng)時所以動點的軌跡的方程為和（）………5分（2）由題意知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)為,則的方程為．由設(shè)則，…………7分因為，所以的斜率為．設(shè)，則同理可得，…………8分…………………11分……………13分當(dāng)且僅當(dāng)即時,取最小值16．…………14分14．（北京市東城區(qū)普通校2013屆高三3月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）已知橢圓的離心率為(I）若原點到直線的距離為求橢圓的方程；（II）設(shè)過橢圓的右焦點且傾斜角為的直線和橢圓交于A,B兩點。（i）當(dāng)，求b的值；（ii)對于橢圓上任一點M,若，求實數(shù)滿足的關(guān)系式.【答案】(I）解得橢圓的方程為…………4分(II）(i）∵e橢圓的方程可化為:①易知右焦點，據(jù)題意有AB：②由①，②有：③設(shè)，………8分(2）（ii)顯然與可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理,對于這一平面內(nèi)的向量，有且只有一對實數(shù)λ,μ，使得等成立.設(shè)M（x，y)，又點M在橢圓上，④由③有：則⑤又A，B在橢圓上，故有⑥將⑥,⑤代入④可得:……14分15.（北京市東城區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理科試題）在平面直角坐標(biāo)系中,動點到兩點，的距離之和等于，設(shè)點的軌跡為曲線,直線過點且與曲線交于，兩點．（Ⅰ）求曲線的軌跡方程；（Ⅱ）是否存在△面積的最大值，若存在，求出△的面積;若不存在，說明理由.【答案】(Ⅰ）由橢圓定義可知，點的軌跡C是以，為焦點,長半軸長為的橢圓．……………3分故曲線的方程為．…………………5分（Ⅱ）存在△面積的最大值?！?分因為直線過點，可設(shè)直線的方程為或(舍）．則整理得．…………………7分由．設(shè)．解得，．則．因為．………10分設(shè)，，．則在區(qū)間上為增函數(shù)．所以．所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即．所以的最大值為．………………13分16.（北京市海淀區(qū)北師特學(xué)校2013屆高三第四次月考理科數(shù)學(xué)）已知橢圓C:，左焦點,且離心率(Ⅰ）求橢圓C的方程;(Ⅱ)若直線與橢圓C交于不同的兩點(不是左、右頂點），且以為直徑的圓經(jīng)過橢圓C的右頂點A. 求證：直線過定點,并求出定點的坐標(biāo).【答案】（Ⅰ）由題意可知：……1分解得………2分所以橢圓的方程為：……3分（II）證明:由方程組…4分整理得………。.5分設(shè)則……。6分由已知，且橢圓的右頂點為………7分………8分即也即……10分整理得:……11分解得均滿足……12分當(dāng)時，直線的方程為，過定點（2，0）與題意矛盾舍去……13分當(dāng)時,直線的方程為,過定點故直線過定點,且定點的坐標(biāo)為…….14分17。（北京市西城區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理科試題)如圖，已知拋物線的焦點為．過點的直線交拋物線于,兩點，直線,分別與拋物線交于點，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）記直線的斜率為,直線的斜率為。證明：為定值．【答案】（Ⅰ）解：依題意，設(shè)直線的方程為．………………1分將其代入，消去，整理得．………………4分從而．………………5分（Ⅱ）證明:設(shè)，．則．………………7分設(shè)直線的方程為，將其代入，消去，整理得．………………9分所以．………………10分同理可得．………………11分故．………………13分由（Ⅰ)得,為定值．………………14分18．（北京市順義區(qū)2013屆高三第一次統(tǒng)練數(shù)學(xué)理科試卷（解析））已知橢圓的上頂點為，左焦點為,直線與圓相切。過點的直線與橢圓交于兩點。(I）求橢圓的方程;(II）當(dāng)?shù)拿娣e達(dá)到最大時，求直線的方程。【答案】（I）將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,則圓的圓心，半徑.由得直線的方程為.由直線與圓相切，得,所以或(舍去）。當(dāng)時,，故橢圓的方程為(II)由題意可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為,則直線的方程為。因為點在橢圓內(nèi),所以對任意,直線都與橢圓交于不同的兩點.由得.設(shè)點的坐標(biāo)分別為，則,所以。又因為點到直線的距離，所以的面積為設(shè),則且,.因為，所以當(dāng)時,的面積達(dá)到最大，此時，即.故當(dāng)?shù)拿娣e達(dá)到最大時,直線的方程為19.（北京市通州區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）已知橢圓的中心在原點，短半軸的端點到其右焦點的距離為，過焦點F作直線，交橢圓于兩點．(Ⅰ）求這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ)若橢圓上有一點，使四邊形恰好為平行四邊形,求直線的斜率．【答案】（Ⅰ)由已知，可設(shè)橢圓方程為，……1分則,．…………2分所以，…………………3分所以橢圓方程為．…………4分（Ⅱ）若直線軸，則平行四邊形AOBC中,點C與點O關(guān)于直線對稱，此時點C坐標(biāo)為．因為，所以點C在橢圓外，所以直線與軸不垂直．…………6分于是，設(shè)直線的方程為，點,，…7分則整理得,…8分，…………9分所以．………10分因為四邊形為平行四邊形，所以，………11分所以點的坐標(biāo)為，……………12分所以,……………13分解得,所以．………………14分20．(北京市豐臺區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題）曲線都是以原點O為對稱中心、離心率相等的橢圓．點M的坐標(biāo)是（0,1），線段MN是的短軸,是的長軸.直線與交于A,D兩點（A在D的左側(cè)），與交于B,C兩點（B在C的左側(cè)）．（Ⅰ）當(dāng)m=，時，求橢圓的方程；(Ⅱ）若OB∥AN,求離心率e的取值范圍．【答案】(Ⅰ)設(shè)C1的方程為，C2的方程為,其中．..2分C1，C2的離心率相同，所以,所以,……….…3分C2的方程為．當(dāng)m=時,A,C．.………….5分又，所以,，解得a=2或a=(舍),………….…………..6分C1，C2的方程分別為,．…………………。7分(Ⅱ）A(—,m），B(-，m)．…………9分OB∥AN,,，．……。11分，，．………12分,，．。.。...。..。。.。。.。...。.。。。。..。.。。。.。13分21。（北京市昌平區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題）（本小題滿分13分）已知橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸,離心率為且拋物線的焦點是橢圓的一個焦點．（Ⅰ）求橢圓的方程；(Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于A、B兩點，以線段為鄰邊作平行四邊形OAPB,其中點P在橢圓上，為坐標(biāo)原點。求點到直線的距離的最小值．【答案】（I）由已知拋物線的焦點為，故設(shè)橢圓方程為,則所以橢圓的方程為……5分（II）當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)直線方程為，則由消去得,，…6分，①…………7分設(shè)點的坐標(biāo)分別為，則:，…………8分由于點在橢圓上，所以.………9分從而，化簡得，經(jīng)檢驗滿足①式。………10分又點到直線的距離為:………11分當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立………12分當(dāng)直線無斜率時，由對稱性知，點一定在軸上,從而點的坐標(biāo)為，直線的方程為,所以點到直線的距離為1.所以點到直線的距離最小值為?！?3分22。（北京市朝陽區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題）已知點是橢圓的左頂點,直線與橢圓相交于兩點，與軸相交于點。且當(dāng)時,△的面積為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線,與直線分別交于，兩點，試判斷以為直徑的圓是否經(jīng)過點？并請說明理由.【答案】（Ⅰ）當(dāng)時，直線的方程為，設(shè)點在軸上方，由解得,所以.因為△的面積為，解得。所以橢圓的方程為.…………………4分（Ⅱ）由得,顯然.……………5分設(shè)，則,………………6分，.又直線的方程為，由解得，同理得。所以，……9分又因為。…………13分所以,所以以為直徑的圓過點?！?4分23．（北京市海淀區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題）已知是拋物線上一點，經(jīng)過點的直線與拋物線交于兩點(不同于點），直線分別交直線于點.(Ⅰ）求拋物線方程及其焦點坐標(biāo)；（Ⅱ）已知為原點，求證：為定值.【答案】（Ⅰ)將代入，得所以拋物線方程為，焦點坐標(biāo)為……3分（Ⅱ）設(shè)，，，法一：因為直線不經(jīng)過點，所以直線一定有斜率設(shè)直線方程為與拋物線方程聯(lián)立得到，消去，得：則由韋達(dá)定理得：………………6分直線的方程為：,即,令，得………………9分同理可得：………………10分又，所以………………13分所以,即為定值………………14分法二：設(shè)直線方程為與拋物線方程聯(lián)立得到