無限大接地導體平面上有象電荷分布的計算

無限大接地導體平面上有象電荷分布的計算

顯微鏡法通常用于解決點電蓮附近有一根桿的問題。若有一定大小形狀的帶電體附近有導體時,由于靜電感應,導體上的感應電荷也影響原帶電體,使原帶電體本身的電荷也將重新分布,再用鏡象法就不方便了。但若原帶電體本身電荷分布變化比較小(如帶電體是一段介質(zhì)線),在所討論的問題中影響不大,此時仍可用鏡象法求其場分布并進而求得導體上的感應電荷分布。雖然比點電荷復雜一些,但卻是可行的,尤其是導體表面為簡單的幾何形狀,如無限大平面、球面等。本文暫時只討論無限大接地導體平面(以下稱導體平面)附近有點電荷及一段線電荷的情況。1區(qū)域內(nèi)體驗空間和回歸系數(shù)的確定設點電荷Q為正,則導體平面上感應電荷為負,空間電場由點電荷Q和感應電荷共同激發(fā),邊界條件是:導體平面上U=0。根據(jù)邊界條件及感應電荷分布的對稱性,由鏡象法設導體平面下方有象電荷Q′=-Q,其位置與Q關于導體平面為對稱。Q和Q′與導體平面距離相等,設為a。此時導體平面上任一點的電勢為:滿足邊界條件,因而用Q′激發(fā)的電場代替感應電荷激發(fā)的電場是正確的。此時導體平面上方空間任一點P處(到Q、Q′的距離分別為r、r′)的電勢(見圖1)為:電場強度為:與一個軸線為2a,電矩Pe=2aQ的電偶極子電場相同。在導體平面表面上,即z=0處,分別由(3),(4),(5)式求得:即在導體平面表面上無電場強度分量,與靜電平衡條件是相符的。相當于偶極子Pe=2aQ的中垂面上的場強,方向與z軸正方向相反。在QQ′的聯(lián)線上,由(3),(4),(5)式可得:相當于電偶極子延長線上的場強,方向與z軸正方向相同。可見,當距離無限大均勻接地導體平面為a處有一點電荷時,在點電荷同側(cè)空間的電場相當于電矩大小Pe=2aQ的電偶極子所激發(fā)的場。導體平面上感應電荷面密度分布由(8)式求得:遍布于整個平面,并以坐標原點(Q到平面的垂足)為中心的圓對稱,在r=(x2+y2)1/2圓周上e相同。整個導體表面上感應電荷總量為:從電力線角度看,因平面無限大,可認為由Q發(fā)出的電力線將全部終止于接地導體平面上,與實際相符(見圖2)。2導電規(guī)范檢測整根帶導線上的應力場設帶電細介質(zhì)線(以下簡稱帶電線)長為b,電量為Q,其電荷線密度λ=Q/b,平行于y軸放置,與導體平面距離為a,細線中點在平面上的投影與坐標原點重合。同樣,空間電場由Q和感應電荷共同激發(fā)。邊界條件是將線電荷看成是無數(shù)點電荷dq=λdl組成。由鏡象法,每一電荷元dq都有象電荷dq′=-dq與dq關于導體平面為對稱,則整根帶電線有象電荷Q′=-Q,長為b,與原帶電線關于導體平面為對稱。任一對電荷元dq和dq′在平面上方空間(與Q同側(cè))任一點P處產(chǎn)生的電勢(見圖3)為:整根帶電線與象電荷在空間產(chǎn)生的電勢為:由(14)式可求得,導體平面上的電勢:滿足邊界條件,即用象電荷Q′激發(fā)的電場代替感應電荷激發(fā)的電場是正確的。再由(14)式可求得,平面上方空間任一點電場強度為:在導體平面上,由(16),(17),(18)式分別求得:即導體平面的表面上的電場強度與導體垂直,與靜電平衡條件相符。且由上式可知,若原帶電線帶正電荷(λ>0),則E垂直指向平面,其分布如圖4(圖4中的a,b,c分別為從正,側(cè),反三個角度去觀察的分布圖象)。反之E由平面垂直指向外,與實際相符。由(20)式可求得導體平面上感應電荷分布為:遍布于整個平面,其分布圖同E的分布圖,僅在數(shù)值上相差X0。整個平面所帶感應電荷總量為:(注:此積分結(jié)果由計算機算得)即整個平面所帶感應電荷與原帶電線所帶電荷等量異號。從電力線角度來看,可認為原帶電線發(fā)出的電力線全部終止在無限大接地導體平面上,與實際相符。3導電規(guī)范的求解將以上帶電線沿Z軸放置,下端距導體平面為a。同樣,空間電場由Q和感應電荷共同激發(fā),其邊界條件是:由鏡象法,帶電線上任一電荷元dq=λdl和象電荷dq′在平面上方空間任一點P處的電勢(見圖5)為:整根帶電線與像電荷在空間產(chǎn)生的電勢為:由(25)式可求得導體平央上任一點電勢為:滿足邊界條件,因此導體平面上的感應電荷所激發(fā)的電場可用象電荷激發(fā)的電場代替。再由(25)式求得空間任一點的電場強度:在導體平面上,分別由(27),(28),(29)式求得:可見,在導體平面的表面上只有EZ分量,即與靜電平衡條件相符。若原帶電線帶正電,即λ>0,E垂直指向?qū)w平面,反之,由導體平面垂直指向外,與實際相符。由(31)式求得平面上電荷密度分布為:遍及整個平面,其分布為以O點中心的圓對稱,即在距O點為的圓周上,e量值相同。整個平面的感應電荷總量為:整個平面所帶感應電荷總量與原帶電線所帶電荷等量異號。從電力線角度來看,可認為帶電線所發(fā)出的電力線全部終止于無限大導體平面上,與實際相符。同樣可以用鏡象法求出導體為球面時空間電場的分布以及球面上感應電荷的分布,但是當電荷在球外時,其象電荷及感應電荷的電量與原電荷不再等值。帶電線若不沿徑向放置,則象電荷不再是直線,這里不再討論。由以上