數(shù)字信號(hào)處理-基于幅度特征傳輸函數(shù)分類

7.1基于幅度特征傳輸函數(shù)分類7.1.1具有理想幅度響應(yīng)的數(shù)字濾波器通帶：頻率響應(yīng)取值為1的頻率范圍。阻帶：頻率響應(yīng)取值為0的頻率范圍。實(shí)沖激響應(yīng)系數(shù)的理想濾波器的四個(gè)典型頻率響應(yīng)：由低通濾波器的頻率響應(yīng)HLP(ej

)推出它的沖激響應(yīng)：hLP[n]=sincn/n,-<n<7.1.2有界實(shí)傳輸函數(shù)因果穩(wěn)定實(shí)系數(shù)傳輸函數(shù)H(Z)可定義為有界實(shí)傳輸函數(shù)，若7.1.3

全通傳輸函數(shù)AllpassTransferFunction全通傳輸函數(shù)：在頻率上具有單位幅度響應(yīng)的無(wú)限沖激響應(yīng)傳輸函數(shù)A(z)，即：設(shè)一個(gè)M階的因果實(shí)系數(shù)全通傳輸函數(shù)：若定義全通函數(shù)AM(z)的分母多項(xiàng)式DM(z)則如果z=rej

是實(shí)系數(shù)全通傳輸函數(shù)的一個(gè)極點(diǎn)，那么它的零點(diǎn)在z=(1/r)e-j

全通函數(shù)的分子稱為分母的鏡像多項(xiàng)式，反之亦然。用表示M階多項(xiàng)式的鏡像多項(xiàng)式，則：~~表明實(shí)系數(shù)全通傳輸函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)在z平面展示了鏡像對(duì)稱性為了說明對(duì)所有的ω有所以因此一個(gè)簡(jiǎn)單的應(yīng)用－－延時(shí)均衡器G(z)A(z)例：一個(gè)因果FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為h(0)>1，求三個(gè)具有相同幅值的頻率響應(yīng)的其他FIR因果濾波器。7.2.1零相位傳輸函數(shù)x[n]v[n]u[n]w[n]H(z)H(z)u[n]=v[-n],y[n]=w[-n]零相位濾波方案實(shí)現(xiàn)之一為了使數(shù)字濾波器在通帶內(nèi)不會(huì)使輸入信號(hào)的相位發(fā)生失真，采用一種方法是用零相位濾波器7.2基于相位特征的傳輸函數(shù)分類X(ej

),V(ej

),U(ej

),W(ej

)

和Y(ej

)

是

x[n],v[n],u[n],w[n]和y[n]的DTFT。V(ej

)=H(ej

)X(ej

),W(ej

)=H(ej

)U(ej

)

U(ej

)=V*(ej

),Y(ej

)=W*(ej

)聯(lián)立上面的方程，得Y(ej

)=W*(ej

)=H*(ej

)U*(ej

)

=H*(ej

)V(ej

)=H*(ej

)H(ej

)X(ej

)=|H(ej

)|2X(ej

)因此，它實(shí)現(xiàn)一個(gè)頻率響應(yīng)為|H(ej

)|2的零相位濾波器x[n]v[n]u[n]w[n]H(z)H(z)u[n]=v[-n],y[n]=w[-n]頻率響應(yīng)：H(ej

)=e-jD它從w=0到w=2π有一個(gè)線性相位響應(yīng)注意：|H(ej

)|=1

()=D線性相位濾波器：對(duì)于輸入為x[n]=Aejn其輸出為：

y[n]=Ae-jDejn

=

Aej(n-D)7.2.2線性相位傳輸函數(shù)若xa(t)和ya(t)是連續(xù)時(shí)間信號(hào)，它在t=nT處抽樣后為x[n]和y[n]，則xa(t)和ya(t)之間的延遲正好是數(shù)量為D的群延遲。故如果D為整數(shù)，則輸出序列等于輸入序列，但延遲D個(gè)樣本。若D不是整數(shù)，則x[n]不等于y[n]。如果需要在某個(gè)頻率分量上使幅度和相位不失真的通過輸入信號(hào)，則傳輸函數(shù)應(yīng)該在感興趣的頻帶內(nèi)具有單位幅度響應(yīng)和線性相位響應(yīng)例：確定具有線性相位響應(yīng)的一個(gè)理想低通濾波器的沖激響應(yīng)。設(shè)頻率響應(yīng)為：通過截?cái)嗟茫篰N=12N=13^^~例：一個(gè)因果線性時(shí)不變FIR離散時(shí)間系統(tǒng)由沖激響應(yīng)h[n]=a1δ[n]+a2δ[n-1]+a3δ[n-2]+a4δ[n-3]+a5δ[n-4]+a6δ[n-5]+a7δ[n-6]描述。什么樣的沖激響應(yīng)值可使它的頻率響應(yīng)具有線性相位。7.2.3最小相位Minimum-Phase與最大相位Maximum-Phase傳輸函數(shù)設(shè)兩個(gè)一階傳輸函數(shù)：H1(z)H2(z)兩個(gè)傳輸函數(shù)有相同的幅度函數(shù)，因?yàn)閯ta＝0.8b=-0.5因果穩(wěn)定的所有零點(diǎn)都在單位圓內(nèi)的傳輸函數(shù)，與幅度完全相同但所有零點(diǎn)都在單位圓外的傳輸函數(shù)相比，有超前的相位。因此，最小相位傳輸函數(shù)：因果穩(wěn)定的所有零點(diǎn)都在單位圓內(nèi)的傳輸函數(shù)；最大相位傳輸函數(shù)：任意所有零點(diǎn)都在單位圓外的穩(wěn)定傳輸函數(shù)例：一個(gè)因果線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是求H(Z)的形如H(Z)=Hmin(z)?Hap(z)的因式分解式，這里Hmin(z)有最小相位，Hap(z)是一個(gè)全通濾波器。7.3線性相位FIR傳輸函數(shù)的類型(偶)對(duì)稱h[n]=h[N-1-n]

反、奇對(duì)稱h[n]=-h[N-1-n]對(duì)稱中心N又分為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況，所以有4種序列Type1:N=8Type2:N=7Type3:N=8Type4:N=71、1型FIR傳輸函數(shù)（奇長(zhǎng)度對(duì)稱沖激響應(yīng)）例如

N=8，則傳輸函數(shù)：其中h[0]=h[8],h[1]=h[7],h[2]=h[6],h[3]=h[5]故則它的頻率響應(yīng)為：上面括號(hào)里的量是

的一個(gè)實(shí)函數(shù)，并在0||內(nèi)可以取正值或負(fù)值。它的相位是其中b

是

0

或p,。它的群延遲為：~它的頻率表達(dá)形式：振幅響應(yīng)/零相位響應(yīng)：2、2型FIR傳輸函數(shù)（偶長(zhǎng)度對(duì)稱沖激響應(yīng)）例如

N=7，則傳輸函數(shù)：其中h[0]=h[7],h[1]=h[6],h[2]=h[5],h[3]=h[4]則它的頻率響應(yīng)為：上面括號(hào)里的量是

的一個(gè)實(shí)函數(shù)，并在0||內(nèi)可以取正值或負(fù)值。它的相位是其中b

是

0

或p,。它的群延遲為：~它的頻率表達(dá)形式：振幅響應(yīng)/零相位響應(yīng)：3、3型FIR傳輸函數(shù)（奇長(zhǎng)度反對(duì)稱沖激響應(yīng)）例如

N=8，則傳輸函數(shù)：其中h[0]=－h(huán)[8],h[1]=－h(huán)[7],h[2]=－h(huán)[6],h[3]=－h(huán)[5]，h[4]=0故則它的頻率響應(yīng)為：上面括號(hào)里的量是

的一個(gè)實(shí)函數(shù)，并在0||內(nèi)可以取正值或負(fù)值。它的相位是其中b

是

0

或p,。它的群延遲為：~它的頻率表達(dá)形式：振幅響應(yīng)/零相位響應(yīng)：4、4型FIR傳輸函數(shù)（偶長(zhǎng)度反對(duì)稱沖激響應(yīng)）例如

N=7，則傳輸函數(shù)：其中h[0]=－h(huán)[8],h[1]=－h(huán)[7],h[2]=－h(huán)[6],h[3]=－h(huán)[5]，h[4]=0則它的頻率響應(yīng)為：上面括號(hào)里的量是

的一個(gè)實(shí)函數(shù)，并在0||內(nèi)可以取正值或負(fù)值。它的相位是其中b

是

0

或p,。它的群延遲為：~它的頻率表達(dá)形式：振幅響應(yīng)/零相位響應(yīng)：

7.3.1線性相位FIR傳輸函數(shù)的零點(diǎn)位置

1、零點(diǎn)的分布原則所以，如果是零點(diǎn)，則也一一定是H（Z）的零點(diǎn)，h（n）為實(shí)數(shù)時(shí)，H（Z）的零點(diǎn)必成共軛對(duì)出現(xiàn)，即也一定是H（Z）的零點(diǎn)，也一定是H（Z）的零點(diǎn)。2、零點(diǎn)的位置（1）既不在實(shí)軸上，也不在單位圓上，則零點(diǎn)是互為倒數(shù)的兩組共軛對(duì)，10(2)不在實(shí)軸上，但在單位圓上，共軛對(duì)的倒數(shù)就是它們本身，如01（3）在實(shí)軸上，不在單位圓上，實(shí)數(shù)零點(diǎn)，沒復(fù)共軛；只有倒數(shù)。例如，01（4）既在實(shí)軸上也在單位圓上。此時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，且有兩種可能，或位于Z=1，或位于Z=-1。N為偶數(shù)時(shí)的偶對(duì)稱為其零點(diǎn)；N為偶數(shù)奇對(duì)稱H（0）=0，有Z=1零點(diǎn)；N為奇數(shù)奇對(duì)稱有零點(diǎn)Z=1，和Z=-1。例：一個(gè)線性相位濾波器的單位沖激響應(yīng)是實(shí)數(shù)，且n<0和n>7是h(n)=0。如果h(0)＝1且傳輸函數(shù)在和z=3處各有一個(gè)零點(diǎn)，求H(z)。將h(0)=1帶入上式，得A＝1/0.167.4簡(jiǎn)單數(shù)字濾波器7.4.1簡(jiǎn)單FIR數(shù)字濾波器一、低通FIR數(shù)字濾波器最簡(jiǎn)單的低通FIR數(shù)字濾波器是M=2的滑動(dòng)平均濾波器，其傳輸函數(shù)為則其頻率響應(yīng)為當(dāng)頻率ω=ωc時(shí)，增益用dB為單位表示為由于故，頻率ω=ωc稱為3dB截止頻率設(shè)則ω/π二、高通FIR數(shù)字濾波器則其頻率響應(yīng)為ω/π7.4.2簡(jiǎn)單IIR數(shù)字濾波器一、低通IIR數(shù)字濾波器一個(gè)一階低通IIR數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)為其零點(diǎn)z=-1，極點(diǎn)z=a。幅度函數(shù)的最大值出現(xiàn)在ω＝0處，最小值出現(xiàn)在ω＝

處其平方幅度函數(shù)為則令或故要得到一個(gè)穩(wěn)定的傳輸函數(shù)HLP(z)，則二、高通IIR數(shù)字濾波器一個(gè)一階高通IIR數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)為例：設(shè)計(jì)一個(gè)3dB截止頻率為0.8

的一階高通濾波器。解：因?yàn)閯t三、帶通IIR數(shù)字濾波器一個(gè)二階帶通IIR數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)為其幅度平方函數(shù)為它在ω＝0和ω＝π時(shí)得到零值，在ω＝ω0時(shí)得到最大值1，則ω0稱為帶通濾波器的中心頻率平方幅度函數(shù)為1/2的頻率稱為3dB截止頻率，則帶寬為四、帶阻IIR數(shù)字濾波器一個(gè)二階帶阻IIR數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)為五、高階IIR數(shù)字濾波器一個(gè)高階IIR數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)為當(dāng)7.4.3梳狀濾波器由低通FIR濾波器H0(z)產(chǎn)生的梳狀濾波器的傳輸函數(shù)由高通FIR濾波器H1(z)產(chǎn)生的梳狀濾波器的傳輸函數(shù)7.5互補(bǔ)傳輸函數(shù)7.5.1延時(shí)互補(bǔ)Delay-Complementary傳輸函數(shù)如果由L個(gè)傳輸函數(shù)構(gòu)成的集合{H0(z)，…，HL-1(z)}，各傳輸函數(shù)的和等于單位延時(shí)的整數(shù)積，則將它們定義為相互的延時(shí)互補(bǔ)，即n0是一個(gè)非負(fù)整數(shù)。設(shè)計(jì)一個(gè)延時(shí)互補(bǔ)對(duì){H0(z),H1(z)}，如果這對(duì)傳輸函數(shù)之一是已知的奇長(zhǎng)度，則是具有線性相位1型FIR傳輸函數(shù)。令H0(z)是線性相位1型FIR傳輸函數(shù)，其長(zhǎng)度M=2K+1，則其延時(shí)互補(bǔ)傳輸函數(shù)為：7.5.2全通互補(bǔ)Allpass-Complementary傳輸函數(shù)如果由M個(gè)傳輸函數(shù)構(gòu)成的集合{H0(z)，…，HM-1(z)}，各傳輸函數(shù)的和等于全通函數(shù)A(z)，則將它們定義為互為全通互補(bǔ)，即7.5.3功率互補(bǔ)power-Complementary傳輸函數(shù)如果由M個(gè)傳輸函數(shù)構(gòu)成的集合{H0(z)，…，HM-1(z)}，各傳輸函數(shù)的幅度響應(yīng)的平方和對(duì)于所有的ω都是一個(gè)常數(shù)K，則將它們定義為相互的功率互補(bǔ)，即7.6逆系統(tǒng)InverseSystems

當(dāng)兩個(gè)因果個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)滿足h1[n]*h2[n]=δ[n]則稱這兩個(gè)系統(tǒng)互為逆系統(tǒng)。x[n]y[n]w[n]h1(z)h2(z)H1(z)H2(z)=1對(duì)于有理傳輸函數(shù)H1(z)則逆系統(tǒng)H2(z)7.8數(shù)字二端口網(wǎng)絡(luò)X1Y1X2Y2X1Y1Y2X2二端口網(wǎng)絡(luò):雙輸入、雙輸出相互連接的結(jié)構(gòu)。7.8.1特性數(shù)