新高考2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題突破精練第37講活用圓錐曲線的定義教師版

第37講活用圓錐曲線的定義一．選擇題（共24小題）1．（2021秋?成都期中）下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為①直線與曲線有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍為；②若動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線；③點(diǎn)，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且橢圓上存在點(diǎn)使得，則橢圓的離心率的取值范圍為；④點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為5；⑤斜率為2的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，直線的斜率為為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率為．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：對(duì)于①，直線恒過(guò)定點(diǎn)，曲線表示圓心為原點(diǎn)，半徑為1的上半圓，如圖1，由直線經(jīng)過(guò)圓心，可得；由直線和圓相切，可得，解得（負(fù)的舍去），所以的范圍是，，則直線的傾斜角的取值范圍為，故①正確；對(duì)于②，若動(dòng)點(diǎn)滿足，即與兩點(diǎn)，的距離的差為2，因?yàn)?，所以的軌跡為以，為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由橢圓的定義可得，又，解得，設(shè)橢圓的半焦距為，可得，即有，所以，，故③正確；對(duì)于④，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，如圖2，由橢圓的定義可得，由在橢圓內(nèi)，，當(dāng)且僅當(dāng)，，共線時(shí)，取得最小值5，故④正確；對(duì)于⑤，設(shè)，，，，可得，，兩式相減可得，由題意可得，且，，，所以，則，故⑤正確．故選：．2．（2021春?湖北校級(jí)期中）已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，是右支上一點(diǎn)，，，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積為A． B． C． D．【解答】解：由題意，設(shè)是右焦點(diǎn)，則周長(zhǎng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)），直線的方程為與聯(lián)立可得，的縱坐標(biāo)為，周長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積為．故選：．3．（2021秋?湖州期末）已知為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為圓，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到軸距離之和的最小值是A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：拋物線的焦點(diǎn)為，的圓心為，半徑為1，根據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，如圖：故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求，，三點(diǎn)共線時(shí)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)距離之和的最小值，由于焦點(diǎn)到圓心的距離是，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值故選：．4．（2021?浙江模擬）在直角坐標(biāo)系中，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，．點(diǎn)滿足且，則A． B． C． D．【解答】解：設(shè)點(diǎn)，，，，，所以，，，①又，所以點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，所以，，，，橢圓方程為，②由①②解得，則．故選：．5．（2021?東勝區(qū)校級(jí)一模）已知在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，若平面內(nèi)點(diǎn)滿足，則的最大值為A．7 B．6 C．5 D．4【解答】解：設(shè)，，由于在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所以：，設(shè)，，由于平面內(nèi)點(diǎn)滿足，則，，，整理得：，，所以，當(dāng)時(shí)，的最大值為5．故選：．6．（2021?江西）是雙曲線的右支上一點(diǎn)，、分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：雙曲線中，如圖：，，，，，，，，，所以，．故選：．7．（2021秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）是雙曲線的右支上一點(diǎn)，，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：雙曲線雙曲線，如圖：，，，，，，，和，，，，，所以，．故選：．8．（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是的右支上的一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)），過(guò)作的角平分線的垂線，垂足是，是原點(diǎn)，則A．隨點(diǎn)變化而變化 B．2 C．4 D．5【解答】解：雙曲線的左右焦點(diǎn)分別是，，延長(zhǎng)交于，是的角平分線，，在雙曲線上，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是△的中位線，，即，雙曲線中，則．故選：．9．（2021?廈門(mén)一模）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最大時(shí)，的面積等于A． B． C． D．【解答】解：橢圓的，，，由題意，設(shè)是左焦點(diǎn)，則周長(zhǎng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，且在的延長(zhǎng)線上，取等號(hào)），直線的方程為與橢圓，聯(lián)立可得，解得的縱坐標(biāo)為，則周長(zhǎng)最大時(shí)，該三角形的面積為．故選：．10．（2021秋?海曙區(qū)校級(jí)期中）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)，，當(dāng)周長(zhǎng)最大時(shí)，直線的方程為A． B． C． D．【解答】解：橢圓方程：，，，，如圖所示設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，，則，，的周長(zhǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)，，共線時(shí)取等號(hào)．則直線的方程：，整理得，故選：．11．（2021?平湖市模擬）已知雙曲線，是左焦點(diǎn)，，是右支上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是A．4 B．6 C．8 D．16【解答】解：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，，，則故選：．12．（2021?浙江模擬）已知點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為A． B． C．3 D．【解答】解：如圖所示，由橢圓，可得：，，，．設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，則，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)，，共線取等號(hào)．，故選：．13．（2021?香坊區(qū)校級(jí)二模）已知點(diǎn)，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，，以為圓心的圓過(guò)，兩點(diǎn)，且與直線相切．若存在定點(diǎn)，使得當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，為定值，則點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C． D．【解答】解：線段為的一條弦，是弦的中點(diǎn)，圓心在線段的中垂線上，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，與直線相切，，，整理得，的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，，當(dāng)為定值時(shí)，則點(diǎn)與點(diǎn)重合，即的坐標(biāo)為，存在定點(diǎn)使得當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，為定值．故選：．14．（2021秋?麗水期末）已知，，點(diǎn)，在曲線上，若直線，的斜率分別為，，則A． B． C． D．【解答】解：因?yàn)榍€，即；點(diǎn)在以，，為焦點(diǎn)，的雙曲線上，且在右支上，對(duì)應(yīng)的曲線方程為：，；．故選：．15．（2021秋?溫州期末）已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足為大于零的常數(shù)），則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是A．線段 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線【解答】解：因?yàn)闉榇笥诹愕某?shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而方程表示動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)，的距離和為，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到點(diǎn)，的距離和大于，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓．故選：．16．（2021秋?奉新縣校級(jí)月考）已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【解答】解：動(dòng)點(diǎn)滿足，可得：，就是動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)，滿足雙曲線的第二定義，所求軌跡是雙曲線．故選：．17．（2021秋?北林區(qū)期中）已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是A．兩條相交直線 B．拋物線 C．雙曲線 D．橢圓【解答】解：令，則其幾何意義為點(diǎn)到的距離，令，其幾何意義為點(diǎn)到直線的距離，依題意二者相等，即點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等，進(jìn)而可推斷出的軌跡為拋物線．故選：．18．（2021秋?潮州期末）的頂點(diǎn)，，的內(nèi)切圓圓心在直線上，則頂點(diǎn)的軌跡方程是A． B． C． D．【解答】解：如圖設(shè)與圓的切點(diǎn)分別為、、，則有，，，所以．根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支，方程為．故選：．19．（2021秋?吉林期末）點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比是常數(shù)，則的軌跡方程為A． B． C． D．【解答】解：點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比是常數(shù)，由橢圓的第二定義得的軌跡是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且，解得，，，的軌跡方程為．故選：．20．（2021秋?宿州期末）的兩個(gè)頂點(diǎn)為，，周長(zhǎng)為16，則頂點(diǎn)的軌跡方程為A． B． C． D．【解答】解：由題意可得，故頂點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，除去與軸的交點(diǎn)．，，故頂點(diǎn)的軌跡方程為：，，故選：．21．（2015秋?桂林期末）設(shè)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為A． B． C． D．【解答】解：是圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，，，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，，點(diǎn)的軌跡為雙曲線，，，，點(diǎn)的軌跡方程為．故選：．22．（2021秋?諸暨市校級(jí)期中）已知點(diǎn)和，是上的動(dòng)點(diǎn)，直線與線段的垂直平分線交于點(diǎn)，則點(diǎn)所滿足的軌跡方程為A． B． C． D．【解答】解：點(diǎn)在線段的垂直平分線上，，．點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線，且，，，，其軌跡方程是．故選：．23．（2015春?天水校級(jí)月考）已知，是的兩個(gè)頂點(diǎn)，且，則頂點(diǎn)的軌跡方程為A． B． C． D．【解答】解：，由正弦定理，得（定值），雙曲線的焦距，，即，可得的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線左支，可得雙曲線的方程為頂點(diǎn)的軌跡方程為故選：．24．如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)，，，其中點(diǎn)，在拋物線上，點(diǎn)在軸上，記的面積為，的面積為，則等于是A． B． C． D．【解答】解：由題意，拋物線的準(zhǔn)線方程為．設(shè)，，，由拋物線的定義知，，則，故選：．二．填空題（共11小題）25．（2021秋?萬(wàn)州區(qū)校級(jí)期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為．【解答】解：如圖所示，橢圓，又為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓上任意一點(diǎn)，，（當(dāng)且僅當(dāng)，，共線時(shí)取等號(hào)），，當(dāng)且僅當(dāng)，，，共線時(shí)，等號(hào)成立，，，，的最小值為．故答案為：．26．（2021秋?邢臺(tái)月考）已知點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則取最大值時(shí)，直線的斜率為1．【解答】解：如圖所示，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為．由題意可得：，，．由橢圓的定義可得：，則．當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)，，共線時(shí)取等號(hào)．．故答案為：1．27．（2021秋?北碚區(qū)校級(jí)月考）已知橢圓，為左焦點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離最大值為，、為左、右頂點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，直線和滿足，過(guò)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，則的最小值為．【解答】解：，，設(shè)，，，橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離最大值為，，又，，，，設(shè)，則，又，，故當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最小值，又，當(dāng)時(shí)，取得最大值16，的最小值．故答案為：．28．（2021?杭州模擬）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，定點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的右支上運(yùn)動(dòng)，則的最小值等于11．【解答】解：在雙曲線的右支上，，，又，雙曲線右焦點(diǎn)，（當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取“”．故答案為：11．29．（2021春?鉛山縣校級(jí)月考）橢圓的左焦點(diǎn)為，直線與橢圓相交于點(diǎn)，，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最大時(shí)，的面積是．【解答】解：設(shè)右焦點(diǎn)為，連接，，，中，兩邊之和大于第三邊）．，當(dāng)直線過(guò)右焦點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)最大．由橢圓的定義可得：的周長(zhǎng)的最大值．．把代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得：，解得．此時(shí)的面積．故答案為：．30．（2017?浙江）已知向量、滿足，，則的最小值是4，最大值是．【解答】解：記，則，如圖，由余弦定理可得：，，令，，則、，其圖象為一段圓弧，如圖，令，則，則直線過(guò)、時(shí)最小為，當(dāng)直線與圓弧相切時(shí)最大，由平面幾何知識(shí)易知即為原點(diǎn)到切線的距離的倍，也就是圓弧所在圓的半徑的倍，所以．綜上所述，的最小值是4，最大值是．故答案為：4、．31．（2021?浙江二模）設(shè)是橢圓上的右焦點(diǎn)，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，是直線的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【解答】解：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，根據(jù)橢圓的定義，，，要想使得最小，只需的值為點(diǎn)到直線的距離，，的最小值為，故答案為：．32．（2021?嘉興模擬）已知拋物線的焦點(diǎn)為，若點(diǎn)，是該拋物線上的點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為，則的最大值為．【解答】解：設(shè)，，、在準(zhǔn)線上的射影點(diǎn)分別為、，連接、由拋物線定義，得且在梯形中根據(jù)中位線定理，得．由勾股定理得，配方得，又，得到．所以，即的最大值為．故答案為：33．（2021秋?諸暨市期末）已知是平面向量，且是互相垂直的單位向量，若對(duì)任意均有的最小值為，則的最小值為3．【解答】解：因?yàn)閷?duì)任意均有的最小值為，所以，整理的，所以△，即，不妨設(shè)為軸方向向量，為軸方向向量，所以，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，，，，，，因?yàn)?，為拋物線向上平移個(gè)單位，所以焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，所以到的距離與到的距離相同，所以，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，所以的最小值為3．故答案為：3．34．（2021?西湖區(qū)校級(jí)模擬）已知，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上移動(dòng)時(shí)，為△的內(nèi)心，則的取值范圍為坐標(biāo)原點(diǎn)）為，．【解答】解：橢圓的，，，如圖：由橢圓的對(duì)稱性可知在橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，取得最小值，此時(shí)是等腰直角三角形的內(nèi)心，的方程為：．，解得；當(dāng)運(yùn)動(dòng)到長(zhǎng)軸的端點(diǎn)時(shí)，取得最大值，與焦點(diǎn)坐標(biāo)重合，可得的最大值為1，此時(shí)不是三角形，的取值范圍：，．故答案為：，．35．（2021?浙江模擬）已知，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上移動(dòng)時(shí)，△的內(nèi)心的軌跡方程為．【解答】解：橢圓的，，，延長(zhǎng)交軸于，設(shè)，，，，連接，，設(shè)，，則，，，由內(nèi)角平分線定理可得，，可得，，由橢圓的焦半徑公式可得：，即，可得，，代入橢圓可得，即有，故答案為：．三．解答題（共1小題）36．（2021?崇明縣二模）已知橢圓的左、右