2021屆人教a版（文科數(shù)學(xué)） 空間向 量與立體幾何單元測試

2021屆人教A版（文科數(shù)學(xué)）空間向量與立體幾何單元測試

1、在坐標平面內(nèi)，與點A（1,2）距離為1,且與點B（3,1）距離為2的直線共

有（）

A.1B.2C.3D.4

2、過點A（-2,1,3）,且與面xoy垂直的直線上點的坐標滿足（）

（A）x=-2（B）y=l（C）x=-2或y=l（D）x=-2且y=l

3、以下命題中，不正確的命題個數(shù)為（）

①已知A、B、C、D是空間任意四點，則A+B+C+D=0

②若｛a,b,c｝為空間一個基底,則｛a+b,b+c,c+a｝構(gòu)成空間的另一個基底；

③對空間任意一點0和不共線三點A、B、C,若0=x+y+z（其中x,y,zGR）,則P、

A、B、C四點共面.

A.0B.1C.2D.3

4、直三棱柱ABC-AAG中，若a=a，函=A,工'=c,則率=（）

A.a+b—cB.a—cC.—a+Z?+cD.—a+b—c

5、若位標｝是空間的一個基底，則下列各組中不能構(gòu)成空間一個基底的是（）

A.a,2b,3cB.a+）方+c,c+a

C.a+b+c,b+c,cD.a+2b,2b+3c,3a-9c

6、在平行六面體ABCD—ER汨中，^AG=2xAB+3yBC+3zHD,貝ij尤+y+z

]_

cD.

-i2

7、如圖,在正四棱柱ABCD-ABCD中,AA）=2,AB=BC=1,動點P,Q分別在線段

C,D.AC±,則線段PQ長度的最小值是（）.

8、已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，若點F是側(cè)面CD1的中心，且AF=AD+mAB-nAAi

則m,n的值分別為()

11111111

A.2,-2B.-2,-2C.-2,2D.2,2

9、已知空間任意一點0和不共線三點A,B,C,若&=2&+而,則下列結(jié)論正確的是

()

A.0P=OA+2OB-2OC

B.0P=-20A-0B+30C

C.0P=20A+OB-3OC

D.0P=20A+OB-2OC

10、下面關(guān)于空間直角坐標系的敘述正確的是()

A.點P(L-LO)、＜2(1,2,3)的距離為(1-1)2+(-1-2)2+(0-3/=18

B.點4-3,-1,4)與點8(3,-1,-4)關(guān)于y軸對稱

C.點以-3,-L4)與點8(3,-1,-4)關(guān)于平面xOz對稱

D.空間直角坐標系中的三條坐標軸把空間分為八個部分

1k已知勉=(L2,3),岫=(2,1,2),1=(1,1,2),點Q在直線0P上，那么當郵?薪取得最

小值時,點Q的坐標是()。

金斗431./448,(空4

A.肩3)B.1223)C.(八勺D.棧勺

12、已知空間向量a=（3,1,0）,B=（x,—3,I）,且]_L5,則X=（）

A.-3B.-1C.1D.2

13、在長方體中，AB=AAt=2,AD=],E為CG的中點，則異面

直線BC,與AE所成角的余弦值為.

14、如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是棱CD,CC1的中點,則異面直線AIM

與DN所成的角的大小是.

15、已知空間四點A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10),D(8,4,a),如

果四邊形ABCD為梯形，則實數(shù)a的值為.

16、己知點E,F分別在正方體ABCD—ABCQi的棱BBi，CG上，且B|E=2EB,

CF=2FG,則平面AEF與平面ABC所成的二面角的正切值為.

17、已知空間三點A(0,2,3),B(-2,1,6),C(l,-1,5).

⑴求以AB和AC為鄰邊的平行四邊形的面積；

⑵若|a|",且a分別與冠亞垂直,求向量a的坐標.

18、如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,以長方體的八個頂點中的

兩點為起點和終點的向量中.

(D單位向量共有多少個？

(2)試寫出模為由的所有向量.

(3)試寫出與晶相等的所有向量.

(4)試寫出AA1的相反向量.

19、如圖，在三棱錐A-BCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜

邊,且AD=百，BD=CD=1,另一個側(cè)面ABC是正三角形.

(1)求證：AD1BC；

(2)求二面角B—AC—D的余弦值；

(3)在線段AC上是否存在一點E,使ED與面BCD成30。角？若存在，確定CE大

小；若不存在，說明理由.

A

20、AABC中，A(l,-1,2),B(3,3,1),C(3,1,3),設(shè)M(x,y,z)是平面

ABC上任一點.

(1)求平面ABC的一個法向量；

(2)求x,y,z滿足的關(guān)系式.

21、在正方體ABCD—AIBIGDI中，求證：品1是平面BQC的法向量.

22、如圖是圓柱體0-0'的母線，A3是底面圓的直徑，W,N分別

是的中點，8C=1,AB=A4'=2.

(1)求證：也N//平面ABC；

(2)求點C'到平面BCM的距離；

(3)求二面角8-CM-。的大小.

參考答案

1、答案B

2、答案D

3、答案B

4、答案D

要表示向量福，只需要用給出的基底ab,C表示出來即可，要充分利用圖形的直觀

性，熟練利用向量加法的三角形法則進行運算.

解答：解:4月_AjA+AB=—OCj+CB-CA

=-a+b-c

故選D

5、答案D

根據(jù)空間向量的共面定理，一組不共面的向量構(gòu)成空間的一個基底，對選項中的向量進

行判斷即可。

詳解

對于4:2,2瓦32,B:R+Mb+/+2,C:怎+5+2石+工￡,每組都是不共面的向量，能構(gòu)成空

間的一個基底，

對于0：0+2瓦25+3乙32一92滿足：

3a-^=3[(^+2b)-(2b+3^],是共面向量，不能構(gòu)成空間的一個基底,

故選D

名師點評

本題主要考查了向量的相關(guān)知識，考查了空間向量共面的判斷與應(yīng)用問題，熟練掌握向

量基底的定義以及判斷條件是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題。

6、答案D

―?—?—.—.11

vAG=AB+BC-HD<3y=1/.<y=—..x+y+z=—

3z=-1

z=—

3

考查目的：平面向量基本定理

7、答案C

本題建立如圖所示的空間直角坐標系；則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),

Ci(0,1,2),

設(shè)點P的坐標為(0,入，2X),AG[0,1],點Q的坐標為(1—P,M,0),yG[0,

1],

.pQ_yj(l—//)2+(A-/Z)2+422=^2/?2+512-2^/z—2/rl-l_

152

當且僅當入=，,N=3時，線段PQ的長度取得最小值

考查目的：運用空間坐標化為代數(shù)的最值問題用配方法解決.

8、答案A

1111

直接利用向量的線性運算化簡得點=同+5前+5就，比較系數(shù)得m=5,n=-2.

詳解

1i

由于靠=藺+和=同+5(DC+DDi)=AD+2AB+2AAi,所以m=5,n=-2,

故答案為：A

名師點評

本題主要考查向量的線性運算和空間向量的基本定理，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握

水平和分析推理能力.

9、答案D

將&=而-OC,CA=OA-OC,CB=OB-Sq弋入&=2&+扇后化簡可得結(jié)果.

詳解

因為CP=2cA+CB,

又cb=OP-OC/CA=OA-ot,cb=OB-OC,

所以SP-OC=2(OA-OC)+(OB-OC)?

整理得OP=20A+OB-2OC

故選D.

名師點評

本題考查空間向量的表示，解題時根據(jù)向量運算的三角形法則求解即可，考查變換能力,

屬于簡單題.

10、答案B

根據(jù)空間坐標系兩點間距離公式、空間點的對稱性及空間直角坐標系的概念對題目中的

命題進行分析，判斷正誤即可.

詳解

對于A,點P(1,-1,0)>Q(1,2,3)的距離為J(1-1肝+(-1-2/+(0_3)2=3點,

A錯誤；

對于B,點A(-3,-1,4)與B(3,-1,-4)關(guān)于y軸對稱，B正確；

對于C,點A(-3,-1,4)與B(3,-1,-4)不關(guān)于平面xOz對稱，C錯誤；

對于D,空間直角坐標系中的三條坐標軸組成的平面把空間分為八個部分，口錯誤.

故選：B.

名師點評

本題考查了空間直角坐標系的概念與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

11、答案C

由點Q在直線OP上運動，可得存在實數(shù)人使得OQ=XOP=。，入,2人)，利用數(shù)量積可得QAQB,

再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

詳解

解：點Q在直線。P上運動，二存在實數(shù)人使得皿=入加=(入，入，2人)，

QA=(1-X,2-A,3-2A),血=(2■?入,1-入,2-2人).

QA-QB=(1-A)(2-X)+(2-X)(l-X)+(3-20)(2-2人)

474

=6入2-16入+10=6(入—)2+—

39,

4

入二一

當且僅當3時，上式取得最小值，

448

故選：C.

名師點評

熟練掌握向量共線定理、數(shù)量積運算、二次函數(shù)的單調(diào)性等是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

12、答案C

利用向量垂直的充要條件，利用向量的數(shù)量積公式列出關(guān)于x的方程，即可求解x的值.

詳解

由題意知，空間向量"(3,1,0),6=(X,-3,1),Kalb,

所以鼠6=(),所以3X+1X(-3)+°X1=°,即3X-3=O,解得X=1.

故選：C.

名師點評

本題主要考查了向量垂直的充要條件，以及向量的數(shù)量積的運算，其中解答中熟記向量

垂直的條件和數(shù)量積的運算公式，準確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力,

屬于基礎(chǔ)題.

13、答案強

10

建立坐標系如圖，

則以1,0,0),￡(0,2,1),5(1,2,0),C|(O,2,2).

—>—>

_BCi-AE_^30

%=(-1,0,2),AE=(—1,2,1),cos<BC涵

Vff-10'

1gli聞

所以異面直線BG與AE所成角的余弦值為.

14、答案90°.

分別以DA,DC,D%所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)DA=2,則

Ai(2,0,2),M(0,l,0),A；M=(-2,1,-2),

.rrAM■DN(-2,1,-2)(0,2,1)

N(O,2,1),DN=(0,2,1)cos〈AM,DN)=————=——5-----3——=0

|AM||DN||AM||DN|

n

AM1品，即異面直線A.M與DN所成角的大小是2

考查目的：異面直線所成的角

15、答案9

因為靠=(4,-8,2),BC=(8,5,7),DC=(2,-4,10-a),AD=(10,La

-1),四邊形ABCD為梯形，則還〃疾，解得a=9,此時就與病不平行.

16、答案申

如圖，建立空間直角坐標系.

設(shè)DA=1,由已知條件得A(l,0,0),EILJ,F(°'LJ,

設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z),

平面AEF與平面ABC所成的二面角為。，

n?AE=O,Iy+y=O?

—<

2

由Ln-AF=O,得-x+y+^z=O.

令y=l,得z=—3,x=—1,則n=(—1,1,—3),

平面ABC的法向量為m=(0,0,-1),

展苴

cos0=cos<n,m〉=4",tan0=3.

17、答案(1)78(2)a=(1,1,1)或(-1,-1,-1)

試題分析：(1)先寫出兩邊表示向量坐標，再由向量夾角公式求角A的余弦值，由同角

關(guān)系求角A的正弦值，再由面積公式可求解。(2)設(shè)！=(x,y,z),由向量垂直則數(shù)量積為

0,待定系數(shù)法求得向量!坐標。

詳解

(1)由題中條件可知,溟(-2,-1,3),辰=(1,-3,2),

ABAC-2+3+61

所以《?<京,曲>=|的||曲|板x屈2

于是sin<AB,AC>=2.

故以M和扇為鄰邊的平行四邊形的面積為

S=|AB||AC|sin<AB/AC>=i4x2=7湎.

,2x+y2+z2=3c,

-2x-y+3z=0,

⑵設(shè)a=(x,y,z),由題意得Ix-3y+2z=0,

(X=1,/X=-1,

y=1,或卜=-1,

解得[z=l[z=-1.

故a=(l,1,1)或a=(-l,T,T).

名師點評

->T

-?->a'b->-?

cos<a,b>=r-------<a,b[0,n]-?-

求平面向量夾角公式：|a|-|b|,若2=%4/1)力="2以222),則

“x1x2+y1y2+z1z2一

cos<a,b>=,=~<a,b>e[0,n]

222222

JX]+y]+Z].*2+y2+Z2o

18、答案:：(1)根據(jù)定義模為1的向量即為單位向量(2)在長方體中求出對角線長為

拈，即可寫出所求向量(3)根據(jù)大小相等，方向相同即為相等向量可寫出(4)大小相

等，方向相反的向量即為相反向量.

詳解

⑴模為1的向量有A1A，AA1，B1B,BB],C1C,CC1，D1D,DD1,共8個單位向量.

(2)由于這個長方體的左右兩側(cè)的對角線長均為6因此模為拈的向量為AD】，DiA,AR

DA],BC],C]B,B]C,CB]

-?T->

(3)與向量AB相等的向量(除它自身之外)為A[B],DC及D]J

(4)向量AA1的相反向量為A】A,BIB,C]C,D]D

名師點評

本題主要考查了向量的模，相等向量，相反向量，及向量的相等，屬于中檔題.

19、答案(1)坐標法，以D為原點，直線DB,DC為x,y軸，

可得於?萬A=0.AD1BC

(2)平面ABC、ACD的法向量取m=(l,1,-1)、n2=(l,0,一1),可得

/、_R

cosxfii,r)2>.

3

(3)存在，CE=1.設(shè)E(x,y,z)可得及=(x,1,x),又面BCD的一個法向量為n=(0

一,

,0,1),由cos〈￡)E,n>=cos60o,得x=——.CE=1

2

20、答案(1)設(shè)平面ABC的法向量n=(a,b,c),

'?,班=(2，4,—1),AC=(2,2,1),

,n-AB=2a+4b-c=0.C=b

??<,??43?

.n-AC=2a+2b+c=0la=-2b

故可取n=(—3,2,2).

平面ABC的一個法向量為n=(-3,2,2).

(2);?點M(x,y,z)是平面ABC上任一點，

.,.-3(x-l)+2(y+l)+2(z-2)=0,

3x—2y—2z—1—0.

這就是所求的x、y、z滿足的關(guān)系式.

21、答案證明如圖，以D為坐標原點，DA、DC、DD別為x、y、z軸，建立空間直

角坐標系.設(shè)正方體的棱長為1,則Di(0,0,1),A(l,0,0),C(0,1,0),Bi(l,1,

1),Ci(0,1,1).

所以局1=（一1，1，1），咂1=（1，1，0），諦1=（1，0,1）,

所以或I?取1=（—1，1，1）,（1，1，0）=0,

ACi*OTi=（-h1>0*（1>0,1）=0,

所以就1，師1，ACjlCBp

又BiDGCB尸Bi,

所以或1是平面B,D）C的法向量