第三章-數(shù)字頻譜分析

第三章數(shù)字頻譜分析數(shù)字頻譜分析是目前應(yīng)用最廣的一種測(cè)試ADC性能方法之一，它是一種頻域分析，能測(cè)試采集系統(tǒng)的SNR、SINAD、THD、EN0B、SFDR、IMD等指標(biāo)，其原理是在ADC的輸入端加一“純凈”（pure)的正弦波。對(duì)ADC的輸出數(shù)字信號(hào)作譜分析，分離其中的信號(hào)、直流、諧波、雜散波以及噪聲成分。如果輸入信號(hào)是兩正弦波的迭加，還可以找出雙音互調(diào)制成分。假設(shè)除信號(hào)和直流成分外，其余均由ADC產(chǎn)生，借此可以獲得第二章所提到的種種動(dòng)態(tài)特性指標(biāo)。第一節(jié)數(shù)字頻譜法的基本流程1、選擇數(shù)字信號(hào)記錄長(zhǎng)度M，選擇M時(shí)有幾個(gè)要考慮的因素，后面有詳細(xì)的討論。2、獲取M個(gè)采樣數(shù)據(jù)（順序，連續(xù)），信號(hào)應(yīng)是滿幅度的純凈正弦波。3、對(duì)SampledData加窗處理，這對(duì)非相關(guān)采樣而言是必須的，而對(duì)于相關(guān)采樣，則無(wú)需加窗。4、計(jì)算FFT，由于多數(shù)情況下處理的數(shù)據(jù)為實(shí)數(shù)，由離散傅里葉變換的特性可知，離散的幅度關(guān)于M/2點(diǎn)對(duì)稱，因而只需計(jì)算M/2點(diǎn)的幅度譜：對(duì)FFT，如果實(shí)、虛部取平方和，得功率譜；如果再開(kāi)方則得幅度譜，規(guī)一化后用分貝表示。5、分析譜圖，分離其中的信號(hào)、諧波、互調(diào)制波、噪聲、直流成分等，一般認(rèn)為頻譜圖中最大成分為信號(hào)。6、計(jì)算信號(hào)、諧波、噪聲以及互調(diào)制波的功率。7、計(jì)算SNR、SINAD、THD、ENOB、IMD、SFDR等動(dòng)態(tài)特性指標(biāo)。第二節(jié)數(shù)字頻譜分析的基礎(chǔ)3-2-1單頻信號(hào)輸入情況設(shè)有限長(zhǎng)序列x(n):由于離散富氏變換(DFT)只能處理有限長(zhǎng)的數(shù)據(jù)序列,上述相當(dāng)于對(duì)無(wú)窮長(zhǎng)系列加一矩形窗后得到:x(n)的頻譜:(對(duì)無(wú)限長(zhǎng)序列加矩形窗)(3-2-1)如果,如圖3-2-1所示:EMBEDMSDraw圖3-2-1相干采樣時(shí)的離散頻譜如果，則如圖3-2-2所示:圖3-2-2非相干采樣時(shí)的離散頻譜這樣單頻信號(hào)的頻譜經(jīng)DFT后變成了多條譜線,造成功率的分散（即是泄漏），下面詳細(xì)分析其原因。假設(shè)輸入信號(hào)頻率為采樣頻率.（=1\*ROMANI）當(dāng)l為整數(shù)（相干采樣）時(shí)，這種情況下，頻譜沒(méi)有泄漏，輸入信號(hào)頻率為的整數(shù)倍。采樣點(diǎn),即采樣長(zhǎng)度為信號(hào)的整數(shù)倍周期。這種情況稱為相干采樣。（=2\*ROMANII）l不為整數(shù)時(shí)（記錄長(zhǎng)度M中不含整數(shù)個(gè)信號(hào)周期，非相干采樣）EMBEDEquation.3有：,這時(shí)便出現(xiàn)頻譜泄漏，本來(lái)應(yīng)是單條譜線(單頻信號(hào))，但作DFT后出現(xiàn)多條譜線。從上面可知這是由于對(duì)無(wú)窮長(zhǎng)信號(hào)截短產(chǎn)生的必然結(jié)果，是非相干采樣的固有特性，不能根本消除，只能使用窗函數(shù)使泄漏減小.3-2-2.頻譜泄漏的直觀解釋:由離散傅氏變換的含義及來(lái)源可知:DFT實(shí)際上相當(dāng)于將采樣的信號(hào)在時(shí)間軸上，即上作無(wú)限的周期延拓，產(chǎn)生無(wú)限長(zhǎng)的周期信號(hào)。對(duì)作傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)，得到，由傅氏級(jí)數(shù)的性質(zhì);周期離散離散周期因而是離散周期的系列。離散傅氏變換:DFT(x(n))實(shí)際上是取的一個(gè)周期，k=0,1,...,M-1.記為：其中：。當(dāng)x(n)不是由相干采樣產(chǎn)生時(shí),即n=0,1...m-1時(shí),信號(hào)長(zhǎng)度不包含整數(shù)周期的正弦波。如果作周期延拓,如圖3-2-3所示,圖3-2-3采樣延拓信號(hào)與原始信號(hào)這時(shí)M*Ts=L*T0,L不是整數(shù),作周期延拓后的信號(hào)顯然與原信號(hào)有所不同.在接點(diǎn)處,即t=M*Ts*k(k=...,-1,0,1,...),延拓信號(hào)是不連續(xù)不光滑的(導(dǎo)數(shù)不存在或不連續(xù))。這樣從延拓信號(hào)看便產(chǎn)生了高頻成份，而導(dǎo)致了泄漏!如果M=L*fs/f0,即M*Ts=L*f0,L是整數(shù),則延拓后的信號(hào)和原信號(hào)一樣。因而沒(méi)有產(chǎn)生泄漏。從這一直觀的分析也同樣得出結(jié)論:只有相干采樣才能根本消除泄漏。在非相干采樣中是無(wú)法根本消除的.只有用窗函數(shù)來(lái)減少這一影響.以上考慮單頻輸入的情況.如果幾種輸入頻率不同,則一般更難于用相干采樣,因而絕大多數(shù)情況,窗函數(shù)是不可避免的!第三節(jié)窗函數(shù)3-3-1.窗函數(shù)的物理意義由上面討論可知,非相干采樣時(shí),數(shù)據(jù)泄漏造成頻譜圖嚴(yán)重失真,為提高頻譜的估計(jì)準(zhǔn)確度,使用窗函數(shù)減少泄漏。窗函數(shù)是一種權(quán)重函數(shù)在時(shí)域上和采樣數(shù)據(jù)相乘，因而減少了周期延拓信號(hào)在邊界上的不連續(xù)性程度,使加窗后的數(shù)據(jù)在邊界上(0與M-1)有盡可能高次的微分連續(xù)。為達(dá)到這一目的,一種簡(jiǎn)單的方法是將加窗的數(shù)據(jù)靠近邊界處使數(shù)據(jù)緩慢地變成零。目前常用的窗函數(shù)都如此。如圖3-3-1所示。圖3-3-1窗函數(shù)的時(shí)域圖在時(shí)域中,x(n)、w(n)相乘,而在頻域中x(k)、w(k)是周期卷積,離散情況為。從頻域看，窗函數(shù)是一種作用于DFT基向量{k/MTs},k=0,1,2...M-1的一種乘性因子。這種因子使得任何頻率的信號(hào)只在頻率靠近此信號(hào)的基向量上有較大的投影(分量)，從這種含義上看，窗函數(shù)相當(dāng)于一種濾波器。這兩種觀點(diǎn)是等價(jià)的,也是設(shè)計(jì)窗函數(shù)的基本指導(dǎo)思想.3-3-2.窗函數(shù)的主要技術(shù)指標(biāo)等效噪聲帶寬ENBW：設(shè)窗函數(shù)w(n),n=0,1,2...M-1.則其等效噪聲帶寬（3-3-1）頻域中,窗函數(shù)相當(dāng)于一種濾波器,在任何一個(gè)頻率點(diǎn)上,它以某種權(quán)重將整個(gè)頻帶的噪聲累加起來(lái)。等效噪聲帶寬是指一個(gè)理想的矩形濾波器的帶寬，其高度與窗函數(shù)的最大功率增益相同,且累加的噪聲功率也和窗函數(shù)相同。2)處理增益(processinggain)假設(shè)加窗前信號(hào)為:f(n)=Aexp(jwknT)+q(nT)，其中q(nT)為噪音，其方差(功率)為2。這里假設(shè).(相干采樣)。則加窗后的頻譜為：EMBEDEquation.3.（3-3-2）(功率最大的譜線,相干成份)。可見(jiàn)如果無(wú)噪聲,其頻譜與A成正比,也正比于窗函數(shù)的直流信號(hào)增益。相干增益為，相干功率增益為上述的平方。非相干成分(噪聲部分)為:（3-3-3）這實(shí)際上是噪聲平臺(tái)的平均高度。輸出噪聲總功率為:（3-3-4）(白噪聲分布)。PG定義為輸出信噪比與輸入信噪比的比值。由此可見(jiàn)它和等效噪聲帶寬恰好成反比。實(shí)際上這是理所當(dāng)然的。因?yàn)榈刃г肼晭捲酱?則加窗后就有越多的噪聲被加入頻譜。3)柵欄損失(ScallopingLoss)我們知道,DFT實(shí)際上是整個(gè)頻譜中按基向量{k*fs/N},k=0,1,2...N/2取樣。取樣結(jié)果即是DFT的輸出譜瓣。當(dāng)輸入信號(hào)的頻譜不是上述基矢中的一個(gè)是時(shí)則譜峰必然有損失。損失最大的情況出現(xiàn)在兩基矢正中時(shí),即輸入信號(hào)頻率為:(K+1/2)*fs/N；k=0,1,2...N/2-1時(shí)。定義SL為上述頻率的相干增益與頻率為基矢中的一個(gè)時(shí)的相干增益比:（3-3-5）SL表示由于頻率不等于基矢頻率而導(dǎo)致的處理增益最大損失。4)最差處理?yè)p失(Processingloss)這也是從信號(hào)主峰高度而言。一方面,PL定義為窗函數(shù)的最大柵欄損失與窗的等效噪聲帶寬之和。PL是由于加窗和頻率不等于DFT取樣點(diǎn)而導(dǎo)致的信號(hào)主峰與噪聲平臺(tái)比的最大損失，這在討論譜平均時(shí)有用。5)加窗后的頻譜泄漏從上述討論ENBW的圖上可知，頻譜在某點(diǎn)的測(cè)量值不僅受到寬帶噪聲的影響,還受到其它頻率信號(hào)或雜散波的影響,即在處的信號(hào),在處也有貢獻(xiàn),其大小取決于中心位置在W0處的窗函數(shù)在W處的增益。實(shí)際上即為由此可見(jiàn)加窗后仍然存在泄漏,泄漏的大小由窗函數(shù)的邊瓣大小和邊瓣遠(yuǎn)離中心瓣時(shí)的下降速度有關(guān)：邊瓣幅度越小,邊瓣衰減越快,則頻譜泄漏導(dǎo)致的誤差越小。因而衡量一個(gè)窗函數(shù)的泄漏時(shí),用Peaksidelope和asymptonicsidelepeoffalloffofthesesidelobes。此外,還有主瓣寬度,重疊相干等指標(biāo)：主瓣寬度可以用3dB或6dB寬度表示，6dB寬度還表示窗函數(shù)能分辨的最小帶寬(MinimumResolutionBandwidth)，即兩信號(hào)頻率只有大于窗的6dB帶寬才能明顯地在頻譜圖中分辨出兩個(gè)峰。3-3-3幾種常用窗函數(shù)這里列出幾種常用窗函數(shù)的表達(dá)式。1)矩形窗,即是最簡(jiǎn)單的截短函數(shù).雙邊形式為:W(n)=1,n=-M/2,...,0,1,...,M/2.單邊形式為:W(n)=1,n=0,1...M-1.2)三角窗:雙邊形式為:單邊形式為:W(n)=2n/M,n=0,1...M/2=2(M-n)/M,n=M/2,M/2+1...M-13)漢寧窗(Hanning).雙邊:單邊:4)海明窗(hamming)單邊雙邊:5)Blackman窗雙邊形式為單邊形式為其中系數(shù)k為整數(shù)一般取2,3,4.a0是窗的相干增益a0a1a2a3Blackman:0.420.500.08ExactBlackman:3Term(-67dB)0.423230.492530.079123Term(-61dB)0.449598.493648.056774Term(-92dB)0.358750.488290.141280.011684Term(-74dB)0.402170.497050.093720.001836)凱澤--貝塞爾窗(Kaiser-Besselwidow)這是一種最優(yōu)化窗，其優(yōu)化準(zhǔn)則是:使主瓣內(nèi)的能量最大。7)高斯窗:單邊形式為雙邊形式為8)Dolph-chebyshow窗這也是一種最優(yōu)化窗,優(yōu)化準(zhǔn)則是在規(guī)定的旁瓣大小下,使主瓣寬度最小。雙邊頻譜形式為:第四節(jié)選擇合適的記錄長(zhǎng)度M數(shù)學(xué)頻譜分析所需的信號(hào)記錄長(zhǎng)度M，要從以下幾個(gè)方面綜合考慮：1.為了便于FET計(jì)算,M應(yīng)取2的冪次方,因而采樣點(diǎn)數(shù)取，一般為128--4096(8192)點(diǎn).實(shí)際上如果連續(xù)采樣點(diǎn)數(shù)不是2的冪次,可以利用補(bǔ)零(或截短)的方法使其點(diǎn)數(shù)滿足這一要求。2.從頻率分辨率上考慮:DFT輸出的離散頻譜,相鄰譜線的頻率間隔為fs/M,這里fs是采樣頻率。在多頻率信號(hào)時(shí)，這一指標(biāo)非常重要。但實(shí)際上頻率分辨還與所用窗函數(shù)有關(guān)。結(jié)合上式和窗函數(shù)的6dB帶寬便可以較準(zhǔn)確地確定加窗FFT的頻率分辨能力。 f=fs/M=1/(MTs)=1/tl（3-4-1）實(shí)際上由信號(hào)連續(xù)記錄的時(shí)間tl決定.(如果人為地在信號(hào)后加零,不會(huì)增加頻率分辨率!)3.在非相干采樣時(shí),要使用窗函數(shù),窗函數(shù)都有一定寬度的主瓣和一定幅度的邊瓣。例如Hanning窗:主瓣的寬度為(4*fs/M)。這里以過(guò)零點(diǎn)考慮，而最大邊瓣為-32dB，邊瓣下降速度為-18dB/倍頻。這樣為了使計(jì)算的譜精度高于68dB，則要計(jì)算主峰一旁的譜線數(shù)為:計(jì)算信號(hào)能量時(shí),左右兩邊共21條譜線要計(jì)算在內(nèi)。如果FFT的點(diǎn)數(shù)M=256,則信號(hào)峰占:21/128=16%M=1024,則信號(hào)峰占:21/512=4%為使信號(hào)Mgqust頻率內(nèi)點(diǎn)的成份少,點(diǎn)數(shù)M需要適當(dāng)?shù)卦黾?大一些好!)如圖3-4-1:圖3-4-1FFT點(diǎn)數(shù)與信號(hào)峰在奈奎斯特頻率范圍內(nèi)所占的成分4.FFTNoisefloor的限制如果FFT本身的截?cái)嗾`差而引起的噪聲可忽略,那么信號(hào)的功率與每個(gè)bin(瓣)上的噪聲功率比為:SNR=6.02N+1.76+10lg(M/2)（3-4-2）這里出現(xiàn)10lgM/2一項(xiàng)是因?yàn)镾NR為信號(hào)功率與與單位頻率內(nèi)(fs/M)的噪聲功率比。而不是信號(hào)與噪聲的總功率比。關(guān)于這個(gè)公式的含義在后兩譜平均和公式中還會(huì)提到。如圖3-4-2所示： 圖3-4-2FFT噪聲平臺(tái)由上述可知，M越大,FFTfloor的成份就越大,總的"噪聲平臺(tái)"就越低，要從噪聲平臺(tái)中分析出一個(gè)寄生成份(spuriouscomponent),則這個(gè)峰至少要比"平臺(tái)"高10dB左右，因而這也給出一個(gè)M的限制(M越大,越易分辨)。以上幾個(gè)因素都要求M越大越好,但M大給實(shí)際計(jì)算帶來(lái)困難。占用機(jī)時(shí)長(zhǎng)，使用的內(nèi)存空間大，一般M最大取到4096或8192就可以了。如果有特別的要求,如要求在局部有很高的頻率分辨率，則可用"細(xì)化"技術(shù)，這樣不使計(jì)算量增加，大多的情況下能達(dá)到滿意的結(jié)果。第五節(jié)采樣頻率與信號(hào)頻率的選擇1.在相干采樣中,采樣頻率和輸入信號(hào)滿足:（3-5-1）這里k必須是整數(shù),以保證被分析的M個(gè)數(shù)據(jù)恰好是整數(shù)個(gè)輸入信號(hào)周期:（3-5-2）k為記錄長(zhǎng)度內(nèi)的信號(hào)周期數(shù),為了使記錄長(zhǎng)度中沒(méi)有重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù),Mc必須是奇數(shù),同時(shí)必須是素?cái)?shù),k只能取1,3,5,7,11,13,17,...等，這樣保證在記錄長(zhǎng)度中M個(gè)采樣點(diǎn)能是唯一的。如果使用相干采樣,則采樣率與信號(hào)頻率a是恒定的常數(shù),可以使從互相鎖定的兩個(gè)信號(hào)源取得,如兩個(gè)鎖相合成信號(hào)發(fā)生器中取出。2.在非相干采樣中設(shè)為不可約分?jǐn)?shù)L,P為整數(shù)要求采樣點(diǎn)數(shù).否則M個(gè)點(diǎn)中將有重復(fù)采樣存在（3-5-3）即如果M>P，則M個(gè)點(diǎn)中實(shí)際上由P采樣點(diǎn)的重復(fù)，這樣量化噪聲將出現(xiàn)在Kfs/P這樣分散的確譜線上與白噪聲的假設(shè)相差很遠(yuǎn)，計(jì)結(jié)果也會(huì)因此受到嚴(yán)重的影響，如圖3-5-1：

相干采樣非相干采樣圖3-5-1

第六節(jié)數(shù)字頻譜分析

用于測(cè)試數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的頻譜分析只用到功率譜(幅度譜的平方）。M點(diǎn)的采集數(shù)據(jù)經(jīng)加窗處理后，用FFT方法求出其離散傅里葉變換，再對(duì)其實(shí)部、虛部求平方和得到功率譜。實(shí)際上這并不是原信號(hào)的真實(shí)功率譜，僅僅是原信號(hào)加窗｛W（n）｝后所得“信號(hào)”的功率譜的一估計(jì)。要使得原功率有效，估計(jì)還要在上述求得功率譜后再乘以一修正因子。

功率譜為：

修正的功率譜：

上式中為功率修正因子，它實(shí)際上補(bǔ)償由于加窗后在兩端(0與M—1）信號(hào)衰減到0而帶來(lái)的功率損失。

（3-6-1）對(duì)Hanning窗：對(duì)Hamming窗：對(duì)Blackman窗：

但由于采集系統(tǒng)測(cè)試中要求動(dòng)態(tài)特性指標(biāo)，如SNR、SINAD、THD、SFDR、IND等都是功率比，因此如果僅用于求這些指標(biāo)，功率修正這一步可不做，因?yàn)檫@樣不影響上述比值的正確計(jì)算。以下討論的公式就考慮到這一修正。直接利用修正前的功率譜計(jì)算

另外X（n）、W（n）顯然是實(shí)數(shù)，因而其功率譜,(k=0,1,...M-1)是關(guān)于M/2點(diǎn)對(duì)稱的。本來(lái)計(jì)算信號(hào)或噪聲時(shí)應(yīng)-f~+f兩部分同時(shí)計(jì)入。

圖3-6-1FFT頻譜示意圖K=M/2--M-1部分對(duì)應(yīng)f=-fs/2--0.

同樣道理，由于上述對(duì)稱性和計(jì)算結(jié)果為比值，因而只計(jì)算K=0—N/2部分即可以了。這樣不影響計(jì)算結(jié)果，而且使計(jì)算速度加快一倍。除直流成份外，其它成份只要在0—M/2中的功率乘2即可。

分析功率譜中部0—M/2個(gè)成份，分別找出下列譜線集合：

信號(hào)集Bs：最高譜峰及兩邊譜線，其具體的Bin數(shù)要視所用窗函數(shù)的邊瓣高度，邊辨衰減速度以及計(jì)算精度而定。設(shè)信號(hào)主峰頻率為。諧波集：B2，B3,...處于2f0,3f0....等處的峰成份認(rèn)為是諧波。如果kf0>fs/2，則考慮折疊，以重新定位諧波成份。如果諧波噪聲不可分辨，則認(rèn)為該種諧波不存在！(被噪聲掩蓋）。

直流：B0，在K=0,1,2,等波線處認(rèn)為是直流成份，所含的Bin數(shù)取信號(hào)集BS的一半即可。

雜散波：Bz(I)：如果除上述三個(gè)成份外，還有較大的波峰，則認(rèn)為是某種雜波，其數(shù)目不定（也可以沒(méi)有）。分清雜散波與折疊的諧波，不要混淆。

噪聲：Bn：除上述幾個(gè)部分，其余的認(rèn)為是噪聲。

分析出上述集合后，分別計(jì)算各成份的功率。

信號(hào)：(3-6-2)

諧波：(3-6-3)

直流：(3-6-4)

雜散波：(3-6-5)

噪聲：(3-6-6)

上述計(jì)算噪聲的公式中有一項(xiàng)（M/2-L）/（M/2），其中的L是BS、B2、B3、B0、Bz（i）中總共占的BIN數(shù)，因此這里假設(shè)噪聲是白譜，因而在BS、B2、B0、Bz(i)等也是不可避免的混入噪聲，計(jì)算噪聲總功率時(shí)要加入這一項(xiàng)。

另外，若需更精細(xì)地計(jì)算各次功率值，則上述各項(xiàng)中還要減去迭加的噪聲，這時(shí)經(jīng)簡(jiǎn)單推導(dǎo)有下列公式：

F(Bs)表示BS中所含的譜線數(shù)〈BWS的數(shù)目〉，其余也如此，計(jì)算出上述各項(xiàng)后便有：

諧波失真:(3-6-7)

總諧波失真:(3-6-8)

雜波失真：(3-6-9)

信號(hào)隨機(jī)噪聲比:(3-6-10)

信號(hào)與諧波噪聲比：(3-6-11)

SFDR：(3-6-12)

有效位ENOB:(3-6-13)

以上討論的是單頻信號(hào)輸入情況。如果為了測(cè)量交互調(diào)制失真，輸入的信號(hào)f1,f2，則可以按上述輸入方法求出調(diào)制項(xiàng)能量：

(3-6-14)(3-6-15)雙音互調(diào)制失真：(3-6-16)實(shí)際上如果L<<M/2,，則上述的各項(xiàng)都可以忽略，這樣可以使計(jì)算進(jìn)一步簡(jiǎn)化。譜平均

上面討論的頻譜分析方法是單次FFT，即對(duì)一個(gè)頻譜分析計(jì)算。由于噪聲的隨機(jī)性，使單次頻譜圖的隨機(jī)噪聲有很大的起伏，噪聲平臺(tái)并不明顯。如果在相同的測(cè)試條件下，獲得多次計(jì)錄。（每次計(jì)錄點(diǎn)數(shù)M），并對(duì)每次計(jì)錄FFT求功率譜，然而對(duì)多次的結(jié)果點(diǎn)對(duì)點(diǎn)地求平均后的頻譜噪聲平臺(tái)被拉平，同時(shí)信號(hào)、諧波、雜散波等被突出。這樣可以很清楚地觀察到噪聲本底，諧波畸變，SFDR等性能。下面分析其數(shù)學(xué)原理：

設(shè)輸入信號(hào)為，采集系統(tǒng)輸出：（3-7-1）

上式中r(k)是白噪聲的采樣序列，加窗，作DFT得到：

（3-7-2）第一項(xiàng)為信號(hào)加窗后的DFT變換，第二項(xiàng)為噪聲加窗后的DFT變換（不是功率，而是源變換）。假設(shè)噪聲的統(tǒng)計(jì)值為0（白譜）。即因而有：加窗后的DFT結(jié)果，不再是“白譜”，但如果窗函數(shù)W（t）有很小的邊瓣和窄的主瓣，則幾乎是“白的”，從上式有（3-7-3）就是噪聲平臺(tái)?，F(xiàn)在再考慮信號(hào)項(xiàng)X(l)。設(shè)x(k)，w(k)分別連續(xù)是連續(xù)信號(hào)，x(t),w(t)采樣而得：w(t):連續(xù)的窗函數(shù)，t從0-NTs則x(t)w(t)的傅氏變換為：為連續(xù)窗函數(shù)w(t)的傅氏變換。上述為連續(xù)信號(hào)的傅氏變換，變?yōu)殡x散的有：

（3-7-4）

從上述幾式得到：（3-7-5）其中為連續(xù)窗函數(shù)w(t)的連續(xù)傅氏變換。為輸入加性白噪聲的功率。上述第一項(xiàng)代表信號(hào)功率，第二項(xiàng)代表噪聲功率。若作點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的平均，每點(diǎn)功率將收斂到一個(gè)值。這時(shí)信號(hào)最高峰與噪聲平臺(tái)的比為（3-7-6）假設(shè)W（k）為w(k)的離散DFT，則有：,上式變成：（3-7-7）其中：即為窗函數(shù)的等效噪聲帶寬?，F(xiàn)考慮SNR中的最后一項(xiàng)：設(shè)l條譜線為信號(hào)主峰，則,即,如果w(t)的頻譜中，主瓣峰較平坦，而且當(dāng)N足夠大時(shí)，則有。常用的窗函數(shù)滿足這一要求。在SNR表達(dá)式中忽略之：,使用dB為單位：