九年級數(shù)學(xué)培優(yōu)講義及測試

第一講一次函數(shù)和反比例函數(shù)知識點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)函數(shù)稱為一次函數(shù)，其函數(shù)圖像是一條直線。假設(shè)時，則稱函數(shù)為正比例函數(shù)，故正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊情況。當(dāng)時，函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，即函數(shù)值隨增大〔減小〕而增大〔減小〕；當(dāng)，是遞減函數(shù)，即函數(shù)值隨增大〔減小〕而減小〔增大〕。函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其函數(shù)圖像是雙曲線。當(dāng)且時，函數(shù)值隨增大〔減小〕而減小〔增大〕；當(dāng)且，函數(shù)值隨增大〔減小〕而減小〔增大〕，也就是說：當(dāng)時，反比例函數(shù)分別在第一或第三象限是單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)分別在第二或第四象限是單調(diào)遞增函數(shù)。假設(shè)當(dāng)時，時，兩面直線平行。當(dāng)時，時，兩面直線重合。當(dāng)時，兩直線相交。當(dāng)時，兩直線互相垂直。求一次函數(shù)、反比例函數(shù)解析式，關(guān)鍵是要待定解析式中的未知數(shù)的系數(shù)；其次，在解題過程中要重視數(shù)形相結(jié)合。例題精講例1：在直角坐標(biāo)平面上有點(diǎn)、、，求為何值時取最小值。解顯然，當(dāng)點(diǎn)在線段時，最短。設(shè)直線方程為，代入、得解得所以線段為代入，得例2：求證：一次函數(shù)的圖像對一切有意義的恒過一定點(diǎn)，并求這個定點(diǎn)。解由一次函數(shù)得整理得。因?yàn)榈仁綄σ磺杏幸饬x的成立，所以得解得當(dāng)，時，一次函數(shù)解析式變?yōu)楹愕仁剑院瘮?shù)圖像過定點(diǎn).例3：、、為常數(shù)，，并且求。解用代換原方程中的，得eq\o\ac(○,1)用代換原方程中的，得eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,1)得因?yàn)?，所以，所?例4:如圖，設(shè)因?yàn)楫?dāng)時，為遞增函數(shù)，在上的最小值為所以因此在上為遞減函數(shù)；在上為遞增函數(shù)，故的最大值為例5：畫函數(shù)的圖像。解，，，將整個數(shù)軸分為四段討論〔見圖〕并定義域?yàn)榈囊磺袑?shí)數(shù)。例6：一次函數(shù)圖像交軸于A點(diǎn)，將此直線沿直線翻折交軸于B點(diǎn)，這兩條直線相交于P點(diǎn)，且四邊形OAPB的面積為3，求k的值。解設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為又與是翻折而成，所以面積是四邊形OAPB的一半等于。設(shè)代入得點(diǎn)為由得即點(diǎn)因點(diǎn)在上，代入得A卷一、填空題1.設(shè)是反比例函數(shù)，則；其圖像經(jīng)過第象限時；當(dāng)時，隨增大而。2.兩個一次函數(shù)的圖像與軸所圍成的三角形面積是。3.等腰三角形一個底角的度數(shù)記作，頂角的度數(shù)記作，將表示成的函數(shù)是，其中的取值圍是。4.如果函數(shù)的圖像與直線平行，則。5.四條直線、、、所圍成的車邊形的面積是12，則。6.一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)且與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)。假設(shè)則線段的長為。7.一次函數(shù)中，假設(shè)的值每增加4，的值也相應(yīng)增加8，則。8.如果把函數(shù)的圖像向下平移兩個單位，再向左平移一個單位，則得到的是的圖像。9.一次函數(shù)則的值為。10.假設(shè)直線不經(jīng)過第二象限，則的取值圍是。二、解答題11.求證：不管為何值，一次函數(shù)的圖像恒過一定點(diǎn)。12.*商人將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元售出時，每天可以銷售100件，現(xiàn)在他想采用提高售出價(jià)的方法來增加利潤．這種商品每提高價(jià)1元〔每件〕，日銷售量就要減少10件，則他要使每天獲利最大．應(yīng)把售出價(jià)定為多少元？B卷一、填空題1.函數(shù)的最小值為。2.如圖，正比例函數(shù)和的圖像與反比例函數(shù)的圖像分別交于點(diǎn)和點(diǎn)。假設(shè)直角三角形和直角三角形的面積分別為和，則與的大小關(guān)系是。3.點(diǎn)、是平面直角坐標(biāo)系中的兩定點(diǎn)，是圖像上的動點(diǎn)，則滿足上述條件的直角三角形或畫出個。4.直線經(jīng)過象限。5.一個三角形以、及為三個頂點(diǎn)，一條與軸相垂直的直線將該三角形劃分成面積相等的兩局部，則此直線的解析式為。6.函數(shù)及則以這兩個函數(shù)圖像的交點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為。7.雙曲線與一次函數(shù)的圖像有兩個不同的交點(diǎn)，則的取值圍是。8.反比例函數(shù)，當(dāng)時隨的增大而增大，則一次函數(shù)的圖像經(jīng)過象限。9.實(shí)數(shù)、滿足則的取值圍是。10.一次函數(shù)與的圖像在第四象限交于一點(diǎn)，則整數(shù)。二、解答題11.設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)A，它們與*軸的交點(diǎn)為，求中BC邊上的中線所在的直線方程。12.函數(shù)，(1)求證：無論取何實(shí)數(shù)，此函數(shù)圖像恒過*一定點(diǎn)；(2)當(dāng)在變化時，在，數(shù)的值。13.假設(shè)對于滿足的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的值恒大于0，數(shù)的取值圍。14．A、B兩廠生產(chǎn)*商品的產(chǎn)量分別為60噸與100噸，供給三個商店。甲店需45噸，乙店需75噸，丙店需40噸。從A廠到三商店每噸運(yùn)費(fèi)分別為10元、5元、6元，從B廠到三商店每噸運(yùn)費(fèi)分別為4元、8元、15元，如何分配使總運(yùn)費(fèi)最省？C卷一、填空題1．函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對稱則，。2．三個一次函數(shù)、、在同一直角坐標(biāo)系中的圖像如下圖，分別為直線、、，則、、的大小關(guān)系是。3.函數(shù)當(dāng)自變量的取值圍為時，有既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，則實(shí)數(shù)的取值圍是。4．，則函數(shù)的最小值是。5．一次函數(shù)滿足，則。6．并且則一次函數(shù)的圖像一定通過象限。7.一次函數(shù)(為整數(shù)〕的圖像經(jīng)過點(diǎn)(98，19)，它與軸的交點(diǎn)為(p，0)，與y軸的交點(diǎn)為(0，q).假設(shè)P為質(zhì)數(shù)，q為正整數(shù)，則適合上述條件的一次函數(shù)的個數(shù)是個。8.把函數(shù)的圖像沿軸向平移個單位，再沿y軸向平移個單位，得到的圖像。9.方程表示成兩個一次函數(shù)是。10.一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(10，13〕，它在軸上的截距是一個質(zhì)數(shù)，在y軸上的截距是一個正整數(shù)，則這樣的函數(shù)有個。二、解答題11.如圖，設(shè)直線與坐標(biāo)軸所構(gòu)成的直角三角形的面積是，求12.在直角坐標(biāo)系中有一個矩形，點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，在軸的正半軸上，在軸的正半軸上，點(diǎn)在邊上，直線經(jīng)過點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)。假設(shè)，的面積是的5倍，求直線的解析式。13.在相距為L的兩個車庫里，分別有、輛汽車，擬在A、B兩個車庫之間設(shè)修理站以檢修車輛。假設(shè)每輛車的運(yùn)費(fèi)與距離成正比例，要使全部汽車都檢修一次所需要的總運(yùn)費(fèi)最小，修理站應(yīng)設(shè)在何處？14.直線和點(diǎn)，在直線上求一點(diǎn)Q，使過PQ的直線與直線以及軸在第一象限圍成的三角形的面積最小。第二講一元二次方程的解法知識點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)例題精講例1：解方程例2：解方程例3：解關(guān)于的方程例4：首項(xiàng)系數(shù)不相等的兩個關(guān)于的二次方程及〔是正整數(shù)〕有一個公共根，求的值。例5：假設(shè)二次方程有實(shí)根，其中、為奇數(shù)。證明：此方程的根是無理數(shù)。例6：解關(guān)于的方程：習(xí)題A卷一、填空題1.設(shè)方程，當(dāng)時，是一元一次方程；當(dāng)時，是一元二次方程。2.方程，用方法較簡捷，其根是。3.用公式法解，其根是。4.將方程化成的形式，可得。5.假設(shè)是方程的一個根，則。6.假設(shè)方程有一個根為0，則。7.關(guān)于的方程，則。8.假設(shè)是方程的根，則。9.，則的值是。10.如果對于任意兩個實(shí)數(shù)、，定義，解方程：，可得。二、解答題11.用公式法解12.假設(shè)方程與方程至少有一個一樣的實(shí)數(shù)根，數(shù)的值。B卷一、填空題1.解方程，則。2.解方程，則。3.當(dāng)時，方程有一個根是1。4.，則。5.、為方程的兩個根，且，則，。6.假設(shè)是方程的一個根，其中、為有理數(shù)，則。7.假設(shè)1、是一元二次方程的兩個根，則。8.假設(shè)是方程的一個根，則這個方程的另一個根是。9.二次方程有根0與1，則。10.關(guān)于的方程恰有一個實(shí)根，則應(yīng)取值為。二、解答題11.方程的一個正根為，求+的值。12.假設(shè)，在一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根中，求較大的實(shí)數(shù)根。13.證明：假設(shè)是方程的一個根，則也是它的一個根。C卷一、填空題1.是正整數(shù)，且表示兩個相鄰正整數(shù)之和，則的值有個。2.方程的實(shí)根個數(shù)是個。3.方程的解是。4.，則。5.關(guān)于的方程無實(shí)根，甲因看錯了二次項(xiàng)系數(shù)解的根為2、4；乙因看錯了*項(xiàng)的符號解的根為－1、4，則的值是。6.設(shè)則的結(jié)果是。7.方程，各根的和是。8.、是方程的兩個實(shí)數(shù)根，則的值為。9.設(shè)等腰三角形的一腰與底邊的長分別是方程的兩根，當(dāng)這樣的三解形只有一個時，的圍是。10.是正整數(shù)，方程，當(dāng)時，兩根為、；當(dāng)時，兩根為、…；當(dāng)時，兩根為、，則代數(shù)式的值等于。二、解答題11.假設(shè)三個整數(shù)、、使得方程的兩個根為、，求的值。12.、、、是非零實(shí)數(shù)，、是方程的兩根；、是方程的兩根，求的值。13.，且求的值。14.是方程的根，求的值。第三講一元二次方程根的判別式知識點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)例題精講例1：如、為實(shí)數(shù)，證明：方程有兩相異實(shí)數(shù)根。例2：如果*的一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，證明：例3：設(shè)a、b、c為正數(shù)，證明：方程和，至少有一個方程有實(shí)根。例4：二次方程有兩個異號的實(shí)數(shù)根和，且，試判斷二次方程根的情況。例5：解方程組①②例6：如圖，△ABC中，AB>AC，AD為角平分線，AD的垂直平分線交BC延長線于E，設(shè)CE=a，DE=b，BE=c.求證：二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根。習(xí)題A卷一、填空題1.方程的判別式是。2.關(guān)于的方程有兩個實(shí)數(shù)根，則的取值圍是。3.當(dāng)不小于時，方程的根的情況是。4.方程一定實(shí)數(shù)根。5.，當(dāng)，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。6.方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則=。7.關(guān)于的方程沒有實(shí)數(shù)根，則的最小值為。8.關(guān)于的方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根且、、是的三條邊，則是三角形。9.方程的根的判別式的值是4，則這個方程的根是。10.為實(shí)數(shù)且使關(guān)于的二次方程有實(shí)根，則該方程根所能取得的最小值是。二、解答題11.證明：當(dāng)取任何值時，一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。12.、為整數(shù)，有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；有兩個相等的實(shí)數(shù)根；沒有實(shí)數(shù)根，求、的值。B卷一、填空題1.方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則可以是。2.如果關(guān)于的方程沒有實(shí)數(shù)根，則關(guān)于的方程的實(shí)數(shù)根的個數(shù)為。3.是時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。4.是時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根。5.方程無實(shí)數(shù)根，則的取值圍是。6.是有理數(shù)，當(dāng)時，方程的根為有理數(shù)。7.關(guān)于的一元二次方程的兩根相等，則、、的關(guān)系式是〔填“<〞“=〞或“>〞〕。8.方程有實(shí)數(shù)根，則方程的根為。9.對于方程，如果方程實(shí)根的個數(shù)恰為三個，則。10.關(guān)于的方程有兩個實(shí)數(shù)根，且這兩個根的平方和等于1，則的值為。二、解答題11.判別方程的實(shí)根個數(shù)，這里、是實(shí)數(shù)。12.假設(shè)正整數(shù)系數(shù)二次方程有兩個不相等的有理根、，且；又方程與方程有一個公共根，試求的另一個根。C卷一、填空題1.方程的實(shí)數(shù)解是。2.實(shí)數(shù)、、滿足，則的取值圍是。3.設(shè)為整數(shù)，且，方程有有理根，則的值為。4.關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，其中為實(shí)數(shù)，則的值為。5.、是實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是。6.設(shè)且，則二次方程的實(shí)數(shù)根有個。7.對任何實(shí)數(shù)，二次方程都有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則、、之間的關(guān)系是。8.恰好有一個實(shí)數(shù)滿足方程，則的值為。9.關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則，。10.，則〔填“<〞“=〞或“>〞〕。二、解答題11.實(shí)數(shù)、、滿足求證：、、都不大于12.當(dāng)在什么圍取值時，方程有且只有相異的兩實(shí)數(shù)根？13.三個關(guān)于的方程和，假設(shè)其中至少有兩個方程有實(shí)數(shù)根，數(shù)的圍。14.設(shè)是實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根〔1〕證明：；〔2〕求的最小值。第四講一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系〔韋達(dá)定理〕知識點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)例題精講例1：二次方程的根是正整數(shù)，證明：是合數(shù)。例2：設(shè)關(guān)于的一元二次方程的一根為另一根的倍，試求系數(shù)間的關(guān)系。例3：方程的兩根是〔1〕求的值；〔2〕求作一個新的一元二次方程，使其兩根分別等于的倒數(shù)的立方。例4：二次方程的兩根為；的兩根為，證明：例5：均是實(shí)數(shù)，且證明：中必有一個數(shù)大于例6：為正質(zhì)數(shù)，方程有整數(shù)根嗎？習(xí)題A卷一、填空題1.如果方程的兩個根是，則，。2.假設(shè)方程有兩個正的實(shí)數(shù)根，則其中系數(shù)應(yīng)滿足的條件是。3.關(guān)于的一元二次方程的一個根是6，另一根是。4.方程的兩根的絕對值相等，則這個方程的根是。5.是關(guān)于的方程的兩個根，且，則的值是。6.關(guān)于的方程的兩實(shí)數(shù)根之積是兩實(shí)數(shù)根之和的2倍，。7.是關(guān)于的二次方程的兩個根，則的值是。8.設(shè)方程的一個根的3倍少7為另一個根，則。9.方程的一個根是另一個根的4倍，則所滿足的關(guān)系式是。10.設(shè)方程的兩根差為1，則的值為。二、解答題11.：關(guān)于的方程的兩個實(shí)數(shù)根滿足，求的值。12.設(shè)是方程的兩個根，利用韋達(dá)定理求以下各式的值：〔1〕；〔2〕；〔3〕B卷一、填空題1.是方程的兩個根，則，。2.是方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，且有，則的取值圍是。3.設(shè)方程的兩根為，則代數(shù)式的值是。4.方程的根是正整數(shù)，則是數(shù)。5.，則。6.關(guān)于的方程有兩個正根，則的取值圍是。7.方程有兩個實(shí)數(shù)根，且每根都大于5，則的取值圍是。8.方程的兩根分別比方程的兩根多2，則為，=。9.假設(shè)方程的兩個實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，則。10.是正整數(shù)，關(guān)于的方程有兩個小于1的正根，則的值是，的值是。二、解答題11.當(dāng)為何值時，方程的兩根滿足：〔1〕都為正根；〔2〕兩根異號，且負(fù)根的絕對值大于正根的絕對值；〔3〕兩根都大于－1；〔4〕兩根中一個大于－1，另一個小于－1。12.實(shí)數(shù)滿足，比擬的大小關(guān)系。C卷一、填空題1.方程的兩根為，則方程的兩個根的平方和為。2.如果是方程的兩實(shí)數(shù)根，則的最小值是。3.方程的兩根之差為8，兩根的算術(shù)平均數(shù)是5，則方程的根是。4.為方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，且是負(fù)整數(shù)，則的值是。5.方程的兩根之和為，兩根平方和為，兩根立方和為，則。6.方程的根是方程的根，則為，為。7.實(shí)系數(shù)方程有兩實(shí)根，設(shè)，且，則的取值圍是。8.且，則。9.關(guān)于的整系數(shù)一元二次方程，兩根異號且正根的絕對值小于負(fù)根的絕對值，則。10.設(shè)是實(shí)數(shù)且，則的圍是。二、解答題11.關(guān)于的一元二次方程一個根為另一根的平方，求證：12.方程的兩個實(shí)數(shù)根的倒數(shù)之和為，求的取值圍。13.實(shí)數(shù)滿足求證：中有且只有一個不小于14.方程的兩根之比為3：4判別式為，解此方程。第五講一元二次方程的整數(shù)根知識點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)例題精講例1：當(dāng)整數(shù)為值時，關(guān)于的一元二次方程的兩個根均為整數(shù)。例2：關(guān)于的方程的根是整數(shù)，數(shù)的值。例3：關(guān)于的一元二次方程有兩個整數(shù)根，且，求整數(shù)的值，并求此兩個整數(shù)根。例4：求出所有這樣的正整數(shù)，使得關(guān)于的一元二次方程至少有一個整數(shù)根。例5：證明：不管取什么整數(shù)，二次方程沒有整數(shù)根。例6：整數(shù)是*直角三角形的兩條直角邊長，且滿足二次方程求的值及此直角三角形的三邊長。習(xí)題A卷1.〔填：“有〞或“沒有〞〕有理根。2.關(guān)于的方程至少有一個整數(shù)根，則整數(shù)可取值的個數(shù)是個。3.為正整數(shù)，方程有一個整數(shù)根，則。4.滿足的整數(shù)對共有對。5.關(guān)于的方程有兩個整數(shù)根，則整數(shù)的值是。6.關(guān)于的方程有兩個整數(shù)根，則實(shí)數(shù)的值是。7.假設(shè)關(guān)于的一元二次方程有兩個正整數(shù)根，則的值是，方程的解是。8.設(shè)為質(zhì)數(shù)，且方程兩個根都是整數(shù)，則的值為。9.方程的正整數(shù)解的組數(shù)是。10.求使關(guān)于的二次方程的兩根都是整數(shù)的所有正數(shù)的和是。二、解答題11.方程有兩個整數(shù)根，求證：〔1〕兩個根中，一個是奇數(shù)而另一個是偶數(shù)；〔2〕是負(fù)的偶數(shù)。12.假設(shè)關(guān)于的二次方程有實(shí)根，且都是奇數(shù)，求證：此方程必有兩個無理根。B卷一、填空題1.關(guān)于的方程至少有一個整數(shù)根，則整數(shù)的值為。2.要使方程的根都是整數(shù)，的值應(yīng)等于。3.關(guān)于的方程有兩個不相等的整數(shù)根，則整數(shù)的值為。4.關(guān)于的方程至少有一個正整數(shù)根，正整數(shù)的值為。5.假設(shè)都是正整數(shù)，方程的兩根都為質(zhì)數(shù)，則。6.設(shè)為正整數(shù)，且，假設(shè)方程的兩根均為整數(shù)，則。7.關(guān)于的方程①與②假設(shè)方程①的兩個實(shí)數(shù)根的平方和等于方程②的一個整數(shù)根，則。8.是正整數(shù)，且滿足，則的最大值是。9.如設(shè)，其中為正整數(shù)，在0、1之間，則的值是。10.關(guān)于的一元二次方程與方程的根都是整數(shù)，則的值為。二、解答題11.為整數(shù)，求證：關(guān)于的方程無整數(shù)根。12.關(guān)于的方程的兩個根都是正整數(shù)，求證：是合數(shù)。13.一直角三角形的兩直角邊長均為整數(shù)，且滿足方程，，試求的值及此直角三角形的三邊長。14.是否存在這樣的二位質(zhì)數(shù)，它的十位數(shù)碼為，個位數(shù)碼為，而、使方程有整數(shù)根？假設(shè)不存在，給出證明；假設(shè)存在，請求出所有這樣的質(zhì)數(shù)。C卷一、填空題1.關(guān)于的方程的兩根都是整數(shù)，則實(shí)數(shù)可以等于。2.關(guān)于的方程對于任意有理數(shù)，均有有理根，則實(shí)數(shù)的值為。3.關(guān)于的方程至少有一個整數(shù)根，則整數(shù)可以是。4.假設(shè)為整數(shù)，且關(guān)于的二次方程有兩個整數(shù)根，則的值為。5.設(shè)為整數(shù)，且方程的兩個不同的正整數(shù)根都小于1，則的最小值為。6.當(dāng)有理數(shù)為時，代數(shù)式的值恰為兩個連續(xù)正偶數(shù)的乘積。7.一元二次方程有兩個正整數(shù)根，且為整數(shù)，則的值為。8.為正整數(shù)，關(guān)于的一元二次方程的兩根為質(zhì)數(shù)，則此方程的根為。9.假設(shè)都是整數(shù)，則方程〔填“有〞或“沒有〞〕整數(shù)根。10.如圖，正方形接于，設(shè)〔是一個兩位數(shù)〕，三角形高是從小到大的四個連續(xù)正整數(shù)，則此的面積為。二、解答題11.是否存在這樣的質(zhì)數(shù)，使方程有有理根？假設(shè)不存在，給出證明；假設(shè)存在，請求出所有這樣的的值。12.關(guān)于的二次方程的兩根都是整數(shù)，數(shù)的值。13.求所有的正整數(shù)，使得關(guān)于的方程的所有根均為正整數(shù)。14.關(guān)于的方程有兩個正整數(shù)根〔是整數(shù)〕，的三邊滿足求：〔1〕的值；〔2〕的面積。第六講可化為一元二次方程的分式方程和根式方程知識點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)例題精講例1：解方程例2：解方程例3：解方程例4：解方程例5：解方程例6：解方程A卷1.如果則。2.方程的解是。3.方程的解是。4.方程的解是。5.方程的解是。6.方程的解是。7.方程的解是。8.方程的解是。9.方程的解是。10.如果關(guān)于的方程的解是正數(shù)，則的取值圍是。二、解答題11.解方程12.解方程B卷一、填空題1.方程的解是。2.方程的解是。3.方程的解是。4.方程的解是。5.方程的解是。6.方程的所有解的乘積等于。7.方程的一個根是5，則另一個根是。8.方程的解是。9.方程的解是。10.方程只有一個根，則的值為。二、解答題11.解方程12.解方程C卷一、填空題1.方程的所有根之積是。2.方程的解是。3.假設(shè)是實(shí)數(shù)，則方程的解為。4.假設(shè)方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值圍是。5.方程的解是。6.方程的解是。7.關(guān)于的方程有一個增根，則該方程的根，。8.方程的解是。9.設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則，，。10.方程的解是。二、解答題11.解方程12.解方程13.假設(shè)代數(shù)式的值是1，求的值。14.假設(shè)關(guān)于的方程只有一個實(shí)數(shù)根，求的值和相對應(yīng)的原方程的根。第七講可化為一元二次方程的方程組知識點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)例題精講例1：解方程組例2：解方程組①②例3：解方程組①②例4：解方程組例5：解方程組①②③例6：解方程組習(xí)題A卷一、填空題1.方程組的解得則與的關(guān)系是。，2.方程組的解是的解是。，3.方程組的解是。，4.方程組的解是，。，5.方程組的解是。，6.方程組的解是。7．*人用一架不等臂天平稱一塊鐵塊的質(zhì)量，當(dāng)把鐵塊放在天平左盤時，稱得它的質(zhì)量為0.4千克；當(dāng)把鐵塊放在天平右盤時，稱得它的質(zhì)量為0.9千克，則這一鐵塊的實(shí)際質(zhì)量是千克。8．假設(shè)方程組的解是正數(shù)，則正整數(shù)。，9.方程組的解是。，4.方程組的解是，。二、解答題11.解方程組12.實(shí)數(shù)滿足①②則的取值圍是什么？B卷一、填空題，1.方程組的解是。，2.方程組的解是。，3.方程組的解是。4.關(guān)于的方程組則代數(shù)式。5.，且，則。6.，則。，7.方程組的解是，。，8.方程組的解是。，9.方程組的解是。，10.方程組的解是，。二、解答題11.方程組當(dāng)為何值時，方程組只有一組解？12.解方程組C卷一、填空題1.關(guān)于的方程組的解為則關(guān)于的方程組，的解是。2.當(dāng)時，方程組有兩個一樣的實(shí)數(shù)解。，3.方程組的解是，。，4.方程組的解是，。5.假設(shè)，則。6.是正整數(shù)，，則。7.假設(shè)，則。，8.方程組的解是，。9.*工程可由假設(shè)干臺機(jī)器在規(guī)定的時間完成，如果增加2臺機(jī)器，則用規(guī)定時間的就可以完成；如果減少2臺機(jī)器，則就要推遲小時完成．如果用一臺機(jī)器完成這件工程需小時。①10.實(shí)數(shù)滿足②則的值是。二、解答題11.解方程組①12.解方程組②③13.*校參加初一“迎春杯〞競賽的甲、乙兩班學(xué)生共a人，其中甲班平均分為70分，乙班平均分為60分該?？偡譃?40分，問甲、乙兩班參賽各多少人？①②14.實(shí)數(shù)滿足③④⑤其中是常數(shù)，且，則的大小順序是如何排列的？第九講二次函數(shù)知識點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)函數(shù)(a、b、c為常數(shù)并且a≠0)稱為二次函數(shù)，其圖像稱為拋物線，拋物線是軸對稱圖形。1.二次函數(shù)的形式〔1〕一般式：〔a≠0〕；〔2〕頂點(diǎn)式：〔a≠0〕；〔3〕交點(diǎn)式：，〔a≠0，、是方程的兩根〕。2.二次函數(shù)的性質(zhì)〔a≠0〕的對稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)時，在圍，單調(diào)遞減，在圍單調(diào)遞增。當(dāng)，有最小值，當(dāng)時，在圍，單調(diào)遞減，在圍單調(diào)遞減，當(dāng)，有最大值，3.二次函數(shù)與二次方程關(guān)系〔a≠0〕〔a≠0〕△＝圖像與*軸有二個交點(diǎn)；方程有兩個不同根；△＞0；圖像與*軸有一個交點(diǎn)；方程有兩個一樣根；△＝0；圖像與*軸沒有交點(diǎn)．方程沒有實(shí)數(shù)根．△＜0.例題精講例1：拋物線與*軸交于兩點(diǎn)，如果一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于2，另一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于2，并且拋物線與y軸交點(diǎn)在，的下方，則m的取值圍是什么？解：設(shè)拋物線與*軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為、，則，則把、代入不等式得2m－1－2(4m＋1)＋4＜0，解得因拋物線與y軸交點(diǎn)在的下方，故，解得因?yàn)椤鳎?，所以m為一切實(shí)數(shù)。所以m的取值圍是例2：二次函數(shù)的大致圖像如下圖。〔1〕確定a、b、c和的符號?！?〕如果，求證：解：拋物線開口向上，則a>0；對稱軸在y軸右邊，則，故b＜0；拋物線與y軸交點(diǎn)在*軸下方，則c＜訊拋物線與*軸有兩個交點(diǎn)，則△=＞0.因拋物線與y軸交于C點(diǎn)，即C(0，c)．又因?yàn)镺A=OC，故A(c，0).將A點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式得，根據(jù)圖像得c≠0，則ac＋b＋1=0.例3：關(guān)于*的方程有兩個不相等的實(shí)根，一個大于1，另一個小于1，數(shù)a的取值圍。解：設(shè).如圖，顯然此二次函數(shù)與*軸的交點(diǎn)分別在直線*=1的兩側(cè)，即＜1＜．僅需(a－1)＜0，得a的取值圍是.例4：討論方(m為實(shí)數(shù))的解的個數(shù)與m的關(guān)系。解：討論方程的解的個數(shù)與m的關(guān)系，實(shí)質(zhì)上就是討論與y=m－1的圖像交點(diǎn)個數(shù)問題。如下圖，畫出其圖像。當(dāng)m－1＜0時，即m＜1，原方程無解；當(dāng)m－1=0或m－1＞9時，即m=1或m＞10時，原方程有兩個解；當(dāng)m－1=9時，即m=10時，原方程有三個解；當(dāng)0＜m－1＜9，即1＜m＜10時，原方程有四個解。例5：，求f(*)．解：設(shè)，則，代入原式得所以.另一種解法：．設(shè)*=m＋1，所以.例6：對一切實(shí)數(shù)k二次函數(shù)都過一定點(diǎn)，求此定點(diǎn)坐標(biāo)。解：整理得，因?yàn)閷σ磺袑?shí)數(shù)k該式均成立，僅需解得所以二次函數(shù)圖像過定點(diǎn)〔4，33〕．習(xí)題A卷一、填空題1.如果點(diǎn)M(a，－7)在函數(shù)的圖像上，則a=．2.直線y=k*與拋物線有公共點(diǎn)，則k的取值圍是．3.將函數(shù)的圖像繞y軸翻轉(zhuǎn)180°，再繞*軸轉(zhuǎn)180°，所得的函數(shù)圖像對應(yīng)的解析式為．4.假設(shè)拋物線的圖像全在*軸的上方，則a的取值圍是．5.設(shè)拋物線的圖像與*軸只有一個交點(diǎn)，則a的值為．6.二次函數(shù)的圖像與*軸交于A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C.假設(shè)△ABC的面積為，則m=．7.將拋物線向平移個單位，再向平移個單位，就可以通過點(diǎn)(0，0)及(1，6).8.設(shè)t是實(shí)數(shù)，二次函數(shù)的最小值是，最大值是．9.、是拋物線上關(guān)于對稱軸對稱的兩個點(diǎn)，則當(dāng)時，y的值為．10.如圖，拋物線的對稱軸是*=2，與*軸的交點(diǎn)分別位于區(qū)間〔－1，0〕及〔4，6〕，a＜0，則5b與4c的關(guān)系為．二、解答題11.函數(shù)的圖像與*軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是比1小的正數(shù)，求m的取值圍。12.二次函數(shù)的圖像與y軸交于Q(0，1)，與*軸交于M、N兩點(diǎn)，M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方和為6，圖像的頂點(diǎn)P在*軸上方，且=1：2，求此二次函數(shù)的解析式。B卷一、填空題1.拋物線與*軸的兩個交點(diǎn)及其頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則k的值的個數(shù)為.2.設(shè)二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)為A，與*軸的兩個交點(diǎn)為B和C，則三角形ABC的面積的最小值為.3.二次函數(shù)的圖像通過A(1，0)和B(5，0)兩點(diǎn)，但不通過直線y=2*上方的點(diǎn)，則其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值與最小值的乘積為.4.二次函數(shù)的圖像是由的圖像經(jīng)過平移而得到。假設(shè)圖像與*軸交于A、C(－1，0)兩點(diǎn)，與y軸交于D，頂點(diǎn)為B，則四邊形ABCD的面積為.5.假設(shè)函數(shù)的最小值為3，則a的值為.6.函數(shù)y=*(*＋1)(*＋2)(*＋3)的最小值為.7.設(shè)有二次函數(shù)，當(dāng)*=3時取得最大值10，并且它的圖像在*軸上截得的線段長為4，則a、b、c的值分別為.8.己知二次函數(shù)的圖像與*軸負(fù)半軸至少有一個交點(diǎn)，則m的取值圍是.9.函數(shù)對于任意實(shí)數(shù)*都有y＞0，且是三角形的角，則的取值圍是.10.函數(shù)f(*)對于一切實(shí)數(shù)*滿足f(4＋*)=f(4－*)，假設(shè)方程f(*)=0恰有四個不同的實(shí)根，則這些實(shí)根之和為.二、解答題11.二次函數(shù)的圖像和*軸、y軸都只有一個交點(diǎn)，分別為P、Q，且PQ=，b＋2ac=0，一次函數(shù)y=*＋m的圖像過P點(diǎn)，并和二次函數(shù)的圖像交于另一點(diǎn)R，求△PQR的面積。12.假設(shè)的圖像與*軸相交于A、B，與y軸相交于C.設(shè)原點(diǎn)為O，求〔1〕；(2)△ABC的面積。C卷一、填空題1.二次函數(shù)的圖像如下圖，則以下6個代數(shù)式、abc、a－b＋c、a＋b＋c、2a－b、9a－4b中，其值為負(fù)的式子有個。2.設(shè)二次函數(shù)的圖像與*軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，并且，則的取值圍是.3.二次函數(shù)的圖像與*軸正半軸交于點(diǎn)A(，0)和B(，0)，與y軸正半軸交于C(0，)，并且=，=2，則b=.4.二次函數(shù)〔a為非零常數(shù)〕，并且至少存在一個整數(shù)，使0，則a=.5.對所有實(shí)數(shù)*、y，函數(shù)f(*)滿足f(*·y)=f(*)·f(y)，并且f(0)≠0，則f(1999)＝.6.對于二次函數(shù)，當(dāng)*取值時，此函數(shù)的最大值為，則t的取值圍是.7.假設(shè)，二次函數(shù).假設(shè)關(guān)于*的二次方程有兩個大于2的不等實(shí)根，則的值與零的大小關(guān)系為.8.假設(shè)函數(shù)，則.9.假設(shè)的值為正，則m的取值圍是.10.函數(shù)的最大值為9，最小值為1，則a=，b=.二、解答題11.假設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在直線上移動，且拋物線與拋物線有公共點(diǎn)，求m的變化圍．12.a、b、c均為整數(shù)，且拋物線與*軸有兩個不同的交點(diǎn)A、B.假設(shè)A、B到原點(diǎn)的距離都小于1，求的最小值.13.設(shè)，證明：中至少有一個數(shù)不小于.14.二次函數(shù)，其中a、b、c為鈍角三角形的三邊，且b為最大邊?！?〕求證：此二次函數(shù)與*軸正半軸必有兩個交點(diǎn)；〔2〕當(dāng)a=c時，求兩交點(diǎn)間距離的取值圍。九、函數(shù)綜合問題知識點(diǎn)，重點(diǎn)，難點(diǎn)函數(shù)的值域：在*個變化過程中有兩個變量*、y，如果對于*在*個圍的每個可取值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，則y就叫做*的函數(shù)，用符號y=f(*)表示，*叫做自變量，*允許值的全體叫做函數(shù)的定義域，和*對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的全體叫做函數(shù)的值域。函數(shù)的最大值與最小值是指函數(shù)在定義域圍函數(shù)值能取到的最大和最小的數(shù)值。例題精講例1：二次函數(shù).〔1〕如圖，假設(shè)f(*)滿足，畫出f(*)圖像的頂點(diǎn)的存在圍；〔2〕證明：不是的解．解：〔1〕設(shè)二次函數(shù)頂P(m，k)，則.由，所以又由，所以因此把m、k改寫成*、y，頂點(diǎn)坐標(biāo)存在的圍是以下圖的陰影局部〔邊界除外〕?！?〕反證法：假設(shè)是的解，則因?yàn)樗云涔簿植咳缦聢D的三個重疊局部，但顯然沒有重疊局部，故b、c不存在，即無解，所以與假設(shè)相矛盾．因此原命題得證。例2：*為一切實(shí)數(shù)，均有非負(fù)數(shù)，m為實(shí)數(shù)，求方程的根的取值圍。解：因?yàn)榫蟹秦?fù)數(shù)，所以△≤0，即△=，所以因?yàn)榉匠讨泻薪^對值，并且，所以將分段討論。當(dāng)時，化簡得；當(dāng)時，，但不在圍；當(dāng)時，；當(dāng)接近時，接近于0.所以當(dāng)時，的方程的根的取值圍是當(dāng)時，方程無解。當(dāng)時，化簡得；當(dāng)時，，而當(dāng)屬于圍；當(dāng)時，；當(dāng)接近時，接近于0.所以當(dāng)時，原方程的取值圍是當(dāng)時，；當(dāng)時，，但不屬于圍；當(dāng)接近1時，接近3；當(dāng)時，.所以當(dāng)時原方程根的取值圍是綜上所述，原方程根的取值圍是或或例3：求函數(shù)與的圖形的最近點(diǎn)之間的距離。解：設(shè)點(diǎn)在上，故，點(diǎn)到直線的距離為當(dāng)時，當(dāng)時，，即例4：〔且〕并且的實(shí)數(shù)根，證明：證明：如果，結(jié)論成立；如果，則；如果，結(jié)論成立。設(shè)，則，并且由得①又因?yàn)橛袑?shí)數(shù)根，所以，所以即②由①②可得，所以，得或但假設(shè)中所以只可能大于或等于，從而結(jié)論成立。例5：非負(fù)數(shù)滿足求的最值。解：由得所以將用代入得，由，得的最大值為，最小值為例6：非負(fù)數(shù)滿足，求的最小值。解：由，所以當(dāng)時，取最小值12，最小值為習(xí)題A卷一、填空題1.y－2與*＋1成正比例，比例系數(shù)為－2，將y表示成*的函數(shù)。2.如圖，在直角△AOB中，∠AOB=90°，OA=2，OB=1，∠*OA=30°，則A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為。3.假設(shè)方程的根都是整數(shù)，則常數(shù)k=。4.一次函數(shù)f(*)=(2a－b)*＋a－5b，9(*)=a*＋b.假設(shè)使f(*)＞0的實(shí)數(shù)*的取值圍是，則使g(*)＜0的實(shí)數(shù)*的取值圍是。5.假設(shè)函數(shù)f(*)滿足兩個恒等式f(*)＋f(－*)=0，f(*＋2)＋f(*)=0.又知當(dāng)0≤*≤1時，f(*)=*，則f(7.5)=．6.建造一個容積為8m，深為2m的長方體的無蓋水池．假設(shè)池底與池壁的造價(jià)每平方米是120元和80元，則水池的最低造價(jià)為元。7.在測量*物理量的過程中，因儀器和觀察的誤差，使得n次測量分別得到、、、…、共n個數(shù)據(jù)．我們又規(guī)定所測物理量的最正確近似值a是這樣一個量：與其他近似值比擬，a與各數(shù)據(jù)差的平方和最小，依此規(guī)定，從、、、…、推出a＝。8.，當(dāng)0≤*≤1時，y滿足0≤y≤1，則a的取值圍是。9.設(shè)*、y、z≥0，并且*＋3y＋2z=3，3*＋3y＋z=4，u=3*－2y＋4z，則u的最大值與最小值分別是。10.當(dāng)b≤*≤b時，二次函數(shù)的最大值是7，則b=。二、解答題11.a、b滿足，試求a＋b的值。12.點(diǎn)P是一次函數(shù)y=－*＋6在第一象限的圖像上的點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔4，0〕：(1)點(diǎn)P能否成為等腰三角形AOP的一個頂點(diǎn)？假設(shè)能的話，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？(2)假設(shè)使△AOP為直角三角形，則能否找到滿足條件的點(diǎn)P"(3)假設(shè)使△AOP為等腰直角三角形，則能否找到滿足條件的點(diǎn)P"13.一次函數(shù)的圖像，能否不經(jīng)過第四象限？你能否歸納出，字母m對該一次函數(shù)圖像在直角平面坐標(biāo)系中位置的決定作用？14.*汽車油箱中余油量Q(千克〕與它行駛時間(t小時〕之間是一次函數(shù)關(guān)系。t=0時油箱中有油60千克，汽車行駛8小時，油箱中還有剩油20千克。(1)寫出Q與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果汽車的速度為每小時40千米，開出后必須返回出發(fā)地，在沿途又無加油站，則汽車最多能行駛多遠(yuǎn)就必須返回？B卷一、填空題1.，則y的最小值是．2.的最小值是．3.假設(shè)對于任意實(shí)數(shù)m，直線與拋物線恒相切，則該拋物線的解析式是．4.正方形的邊長為*，假設(shè)邊長增加5，則面積增加y，則y與*的函數(shù)關(guān)系式是．5.矩形兩鄰邊的長分別為*、*＋10、則矩形的周長y與*的函數(shù)關(guān)系式是，矩形的面積S與*的函數(shù)關(guān)系式為．6.求函數(shù)中自變量*的取值圍是．7.，且，則*的取值圍是．8.點(diǎn)、是在二次函數(shù)圖像上的兩個點(diǎn)，則二次函數(shù)在時的值是．9.0<a<1，則的最大值與最小值分別是．10.一次函數(shù)f(*)=k*＋3(k＞0)滿足，則k=．二、解答題11.如圖，直線PA是函數(shù)y=*＋1的圖像，直線PB的解析式為y=－2*＋m(m>l〕，且PA與PB相交于點(diǎn)P.A、B分別是兩直線與*軸的交點(diǎn)，直線PA交y軸于點(diǎn)Q.〔1〕假設(shè)四邊形PQOB的面積是△AOQ面積的5倍，能否求出過A、P、B三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式？〔2〕線段AB〔不包括A、B兩點(diǎn)〕上是否存在點(diǎn)C，使△APC∽△ABP？假設(shè)存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由。12.二次函數(shù)的圖像能否不經(jīng)過第四象限？為什么？13.在直角坐標(biāo)系中，O'的坐標(biāo)為(2，0)，⊙O'與*軸交于原點(diǎn)O和點(diǎn)A，一次函數(shù)y=t*＋t(0<t<3)的圖像與*軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)．〔1〕⊙O'與直線BC的位置關(guān)系如何？〔2〕決定⊙O'與直線BC位置關(guān)系的關(guān)鍵何在？〔3〕直線BC的解析式能否確定？14.假設(shè)拋物線與*軸相交于兩個不同點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為C，則k為何值時能使∠ACB=90°？C卷一、填空題1.當(dāng)n=1、2、3、…、1996時，所有二次函數(shù)的圖像在*軸上所截得線段的長度之和為。2.設(shè)當(dāng)a≠0時，直線y=a*＋b與曲線y=g(*)有三個不同的交點(diǎn)，則a、b的取值圍是。3.假設(shè)、是方程的兩個實(shí)數(shù)根，則的最小值是。4.拋物線的頂點(diǎn)位于正方形D={(*，y∣0≤*≤1，0≤y≤1}部或邊上，則a、b的取值圍分別是。5.設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足，則拋物線與拋物線有一個固定交點(diǎn)。6.由方程確定的曲線所圍成的圖形的面積是。7.函數(shù)與*軸交點(diǎn)的個數(shù)是。8.方程有一根不大于一1，另一根不小于1，則m的取值圍是。9.ab≠0，，則的值為。10.如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔15，6〕，直線恰好將矩形OABC分成面積相等的兩局部，則b=。二、解答題11.二次函數(shù)中，f(－1)、f(0)、f(1)都有整數(shù)，則對自變量*是任意整數(shù)時，函數(shù)值f(*)是否也是整數(shù)？請證明你的判斷.12．實(shí)數(shù)a、b、c滿足(a＋c)(a＋b＋c)＜0，證明：．13.函數(shù)，試說明：對于任意給定的整數(shù)A與B，總存在整數(shù)C，當(dāng)用直線y=a(a為整數(shù)〕去截f(*)與g(*)的圖像，在所截得的交點(diǎn)中至多只有一個函數(shù)〔f(*)或g(*)〕圖像上的點(diǎn)是整點(diǎn)〔坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)〕。第十講解直角三角形知識點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)直角三角形中角與角之間關(guān)系為兩銳角互余；邊與邊之問的關(guān)系為勾股定理；邊與角之間的關(guān)系則可由兩銳角的正余弦、正余切公式給出。三角形ABC中，，其中a、b、c分別為∠A、∠B、∠C所對的邊，R為△ABC外接圓半徑，稱為三角形的正弦定理。圖中BD＝ccosB，DC=a－ccosB．所以①同理可得②③上述三式稱為三角形的余弦定理。將①②③式變形可得此三式用于三角形三邊求三角形角，而且容易驗(yàn)證：當(dāng)三角形角為鈍角時，其余弦值小于零，這為判斷鈍角增加了一種新方法。三角形的面積的另一個公式為：三角形面積等于兩邊及其夾角正弦的乘積的一半，即直角三角形的邊角關(guān)系、三角形的正余弦定理，為解直角三角形和有關(guān)三角形邊角的問題提供了多種方法。例題精講例1：如圖，△ABC中，∠C=90°，AB＝10，AC=6，AD是∠BAC的平分線，求點(diǎn)B到直線AD的距離BH.Rt△ABH中AB=10，要求BH，可求出∠BAH的正弦值，而∠BAH=∠CAD，因而可先求出DC的長。解：作DE⊥AB于E，有AE=AC=6，ED=CD.設(shè)DC=3k，由三角形角平分線性質(zhì)有，則Rt△BDE中，即，得，故例2：如圖，證明單位圓〔半徑為1〕上的銳角三角形的三個角的余弦之和小于該三角形周長之半。證明：銳角△ABC中，有A＋B>90°，A>90°－B，則cosA＜cos(90°－B)=sinB．同理有cosB＜sinC，cosC＜sinA，故cosA＋cosB＋cosC＜sinA＋sinB＋sinC.根據(jù)正正弦定理有，所以，即=，故例3：△ABC的面積，試求角C的大小。解：，又有，則由余弦定理知，故兩邊除以，有故例4：如圖，*污水處理站方案砌一段截面為等腰梯形的排污渠。如果渠深為h，截面積為S，試求當(dāng)傾角為多少時造價(jià)最??？分析要使造價(jià)最小，只需考慮AD＋DC＋CB最小，故首先設(shè)法用h、S、表示AD＋DC＋CB．解：，有，則因S、h為常數(shù)，則要求AD＋DC＋CB的最小值，只需求的最小值。設(shè)兩邊平方整理得，由上式知，解得，故當(dāng)時，有最小值。當(dāng)時，，從而，此時排污渠造價(jià)最小。例5：如圖，在△ABC中，最大角A是最小角C的2倍，且三邊的長a、b、c是三個連續(xù)自然數(shù)，求三角形各邊的長。解：設(shè)三角形三邊分別是a=n＋1，b=n、c=n－1(n為自然數(shù)，且n≥2).如圖作∠A的平分線AD交BC于D，再作DE⊥AC于E.因?yàn)椤?=∠2，所以，所以，所以又因?yàn)椤?=∠C，所以，所以在Rt△EDC中，又在中，由余弦定理有所以，所以，所以此三角形的三邊長為4、5、6.A卷一、填空題1.一個三角形的一邊長為2，這條邊上的中線是1，另兩邊之和是，則這個三角形的另兩邊之長分別是和。2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，CA的平分線AD=，則AB=。3.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=，AC=，則∠A=，外接圓的半徑是。4.梯形的兩底長分別等于13厘米和5厘米，兩底角分別是30°和60°，則梯形的周長是厘米。5.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，cosB=，則。6.直角三角形斜邊的長是斜邊上的高的4倍，則這個三角形的兩個銳角度數(shù)分別是度和度。7.假設(shè)0°<<90°，則以sin、cos、tan·cot為三邊的三角形ABC的切圓半徑和外接圓半徑這和等于。8.計(jì)算。9.tan＝2，為銳角，。10.如果等腰三角形ABC中，底角是30°，面積為，則的周長是。二、解答題11.等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在直線BC上，且BD=AB，求∠ADB的余切值。12.如圖，△ABC中，∠C=90°，E、F在AB邊上，AF=EF=EB，且CF=sin，CE＝cos，求斜邊AB的長。B卷一、填空題1.在△ABC中，有一個角為60°，，它的周長是20，則它的三邊之長分別為、和。2.如圖，在Rt△ABC中，E、D分別是邊AC、BC的中點(diǎn)，BE=，AB=10，∠C=90°，則AD=。3.計(jì)算tan1°·tan2°·tan3°·…·tan88°·tan89°＝。4.在直角三角形ABC中，∠C=90°，tan＋cot=5，則tanA＋cotA＝。5.在直角三角形中，斜邊長為C，面積為S，則這個三角形的兩直角邊長分別是和。6.在△ABC中，∠B=30°，∠BAC=135°，BC=10，則AB=。7.計(jì)算tan15°=。8.如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊AB上有兩點(diǎn)M、N，且∠M=45°．記AM=m，MN=*，BN=n，則以*、m、n為三邊長的三角形是三角形。9.如圖，在△ABC中AB=AC，∠ABN=∠MBC，BM=NM，BN=2a，則點(diǎn)N到邊BC的距離是〔用含a的代數(shù)式表示〕。10.在△ABC中，∠BAC＝120°，∠ABC＝15°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，則a：b：c=二、解答題11.如圖，城市規(guī)劃期間欲撤除一電線桿AB.距電線桿AB水平距離14米的D處有一大壩，背水坡CD的坡度i=2：1，壩高CF為2米，在壩頂C處測得桿頂A的仰角為30°，D、E之間是寬為2米的人行道，試問在撤除電線桿AB時，為確保行人平安，是否需要將此人行道封上？請說明理由〔地面上以點(diǎn)B為圓心、以AB長為半徑的圓形區(qū)域?yàn)槲ｋU(xiǎn)區(qū)域〕〔1.732，1.414〕。12.如圖，在△ABC中，∠A=45°，CB=5，BD=3，CD＝7，D在邊AB的延長線上，求∠CBD和AC的大小。13.在Rt△ABC中，兩直角邊的差為，兩直角邊在斜邊上的射影的差為，求△ABC的三邊的長。14.如圖，ABCD是正方形，E為BC上一點(diǎn)。將正方形折疊，使A點(diǎn)、E點(diǎn)重合，折痕為MN.假設(shè)tan∠AEN=DC＋CE=10，求〔1〕△ANE的面積；〔2〕sin∠ENB的值。C卷一、填空題1.ABC中，∠C=90°，∠A的平分線AD交BC于D，則。2.等腰△ABC中，AB=AC，BC=8，且△ABC的切圓半徑是2，則AB=。3.⊙O的半徑為2，⊙O的點(diǎn)P到圓心O的距離為1，過P點(diǎn)的弦AB與劣弧組成一個弓形，則此弓形面積的最小值是。4.如圖，△ABC中，∠C=90°，CD是∠C的平分線，CA＝3，CB=4，則CD＝。5.在直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b是∠A、∠B的對邊，且，則tanA＝。6.如圖，∠C=90°，∠BAC=30°，BC＝1，D為BC邊上一點(diǎn)，tan∠ADC是方程的較大的根，則CD的長是。7.，則。8.△ABC中，acosB＝bcosA，關(guān)于*的方程的兩根相等，則△ABC是三角形。9.在△ABC中，BC=3，切圓半徑，則。10.假設(shè)0°<＜30°，sin〔k為常數(shù)，〕，則的取值圍是。二、解答題11.設(shè)m、n、p是正數(shù)，且，求的最大值。12.如圖，△ABC中，⊙O切于△ABC，切點(diǎn)分別為D、E、F，BD＝3，DC＝2，∠BAC=60°，求13.如圖，CD是直角三角形ABC斜邊AB上的高，，求sinB的值。14.P是矩形ABCD任意一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC、PD，求證：在∠PAB、∠PBC、∠PCD、∠PDA四個角中，必有一個不小于45°，也必有一個不大于45°．第十一講圓的有關(guān)性質(zhì)知識點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)圓是常見曲線中最簡單的一種，圓的根本性質(zhì)具有較強(qiáng)的適用性。圓與直線型圖形可組合成一些復(fù)雜的幾何題目，它是數(shù)學(xué)競賽的重要容。圓的有關(guān)性質(zhì)有：1.垂徑定理及其推論．此定理及推論，在證題中很重要，其容不容易記憶，可這樣理解：如果一條直線具備以下條件中的2條，就具備其他3條?！?〕經(jīng)過圓心；〔2〕垂直于弦；〔3〕平分弦；〔4〕平分弦所對的劣??；〔5〕平分弦所對的優(yōu)弧。2.圓周角定理及其推論。其中以以下兩個結(jié)論應(yīng)用最為廣泛：〔1〕直徑所對的圓周角是直角；〔2〕同弧所對的圓周角相等。3.圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理．如果弦長為2r，圓的半徑為R，則弦心距為處理有關(guān)圓的問題，常利用圓的根本性質(zhì)化為直角三角形中的問題來解決。例題精講例1：如圖，以△ABC的邊AB為直徑畫圓，與邊AC交于M，與邊BC交于N.△ABC的面積是△CMN面積的4倍，△ABC中有一個角度數(shù)是另一個角度數(shù)的2倍，試計(jì)算三角形ABC三個角的度數(shù)。解：因?yàn)椤螹AB、∠NBA都是小于半圓的弧所對的圓周角，所以∠MAB＜90°，∠NBA＜90°.連結(jié)AN，于是∠ANB=90°．所以∠C＜∠ANB=90°，△ABC是銳角三角形。在△CMN和△CBA中，∠C是公共角，∠CMN=∠B，所以△CMN∽△CAB，故，即在Rt△ANC中，由得∠C=60°，所以∠A＋∠B=120°.由于一個角是另一角的2倍，不妨設(shè)∠A≥∠B，于是∠A≥60°，故有∠A=2∠C，∠A=2∠B，∠C=2∠B，∠B=2∠C四種情況．假設(shè)∠A=2∠C或∠B=2∠C，可推出∠A=120°或∠B=120°，與∠A、∠B是銳角不符；假設(shè)∠C=2∠B，則∠B=30°，∠A=90°，也與∠A為銳角不符．所以只能∠A=2∠B，此時∠A=80°，∠B=40°.故△ABC的三個角的度數(shù)是∠A=80°，∠B=40°，∠C=60°.例2：如圖，設(shè)半徑為1的半圓圓心為O，直徑為AB，C、D是半圓上兩點(diǎn)。假設(shè)的度數(shù)為96°，的度數(shù)為36°，動點(diǎn)P在直徑AB上，求CP＋PD的最小值。解：作D關(guān)于AB的對稱點(diǎn)D'，D'在圓O上，連結(jié)CD'交AB于，連結(jié)CO并延長交圓O于E.，于是的度數(shù)分別為96°與36°.又，故的度數(shù)為60°，所以∠D'OE=60°.于是∠ECD'=30°，∠CD'E=90°，從而有由對稱性知PD=PD'，，于是.因此CP＋PD的最小值為．例3：如圖，在圓接△ABC，AB＞AC，D為的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，求證：=AB·AC.解：如圖，連結(jié)CD.因?yàn)?，，所?==(BE＋AE)(BE－AE)=AB(BE－AE)．在BA上截取BF=AC，連結(jié)DF.因?yàn)锽D=DC，∠DBA=∠DCA，BF=AC，所以△DBF≌△DCA，得DF=DA.又DE⊥AB，所以AE=EF.從而=AB(BE－AE)=AB(BE－EF)=AB·BF－AB·AC.說明此題還可得結(jié)論AB=AD＋AC，這就是著名的阿基米德折弦定理.例4：如圖，圓O的半徑為2，圓O的點(diǎn)P到圓心O的距離為a(a<2)，弦AB過點(diǎn)P．(1)求△AOB面積的最大值；(2)當(dāng)a=1時，求弦AB與劣弧組成的弓形面積的最小值．解：〔1〕過O作OQ⊥AB于Q，令OQ=*，有，所以因即于是，這里設(shè)二次函數(shù)，其圖像開口向下，對稱軸t=2.①當(dāng)即0<a≤時，由圖像可知*=a時函數(shù)y取得最大值因而*=a時取得最大值，此時弦AB在A'B'的位置，且OP⊥A'B'．②當(dāng)＞2即a＞時，由圖像可知時函數(shù)y取得最大值4，因而時取得最大值2.〔2〕弦AB繞圓心O旋轉(zhuǎn)，使OQ與OP重合，OP≥OQ，于是點(diǎn)Q在線段OQ上(見圖).由于圓具有旋轉(zhuǎn)不變性，因此劣弧所對應(yīng)的弓形面積不變，由此可見劣弧的弓形面積隨著弦心距OQ的增大而減小。而由題設(shè)知OQ的最大值為OP=1，因此當(dāng)弦AB到達(dá)弦A'B'的位置時弓形面積最小。因?yàn)镺P＝1，OB'＝2，所以∠OB'P＝30°，于是∠POB'＝60°，∠A'OB=120°，A'B'=，故劣弧的弓形面積為所以滿足題意的弓形面積的最小值為說明弦AB過點(diǎn)P，實(shí)質(zhì)上僅是對弦AB的弦心距有所限制，它不能超過OP，旋轉(zhuǎn)AB的作用是將弦心距OQ與弓形面積的關(guān)系顯示出來。例5：如圖，周長為28cm的長方形ABCD，以A為圓心，AD為半徑作弧交AB于，以B為圓心，為半徑作弧交BC于，以此類推以C、D、A、B為圓心用同樣方法作弧分別得交點(diǎn)、、、，點(diǎn)與C重合，求長方形的長與寬。解：由題圖知C==d，又AD=a＋d，BC=b＋c，而AD=BC，故a＋d=b＋c，于是得a=b.又CD=c＋d，AB=a＋c＋b，而AB=CD，故c＋d＝a＋c＋b，于是d=a＋b=2a，c=d=2a.由此AD=BC=3a，AB=CD=c＋d=4a，矩形的周長=2(AB＋AD〕=14a=28cm，故a=2cm.所以AB＝4a＝8cm，AD＝3a=6cm.例6：如圖，在半徑為1的⊙O中，引兩條互相垂直的直徑AE和BF，在上取點(diǎn)C，弦AC交BF于P，弦CB交AE于Q，試證：四邊形APQB的面積為1．解：如圖，連結(jié)AF、FE、EB、CE，設(shè)EF與AC相交于D，連結(jié)DQ、DB.四邊形ABEF是正方形，并且邊長為，所以=2，故=1.又∠DCQ＝45°，∠DEQ＝45°，故∠DCQ＝∠DEQ，所以D、Q、E、C四點(diǎn)共圓，故∠DCE＋∠DQE=180°.而∠DCE=90°，于是∠DQE=90°，即DQ⊥AE.又PB⊥AE，所以DQ∥PB，故所以=1.A卷一、填空題1.如圖，矩形ABCD與圓相交。假設(shè)AE=5，EF=6，DM=4，則MN的長是。2.⊙O的直徑是AB，弦CD垂直平分OA，垂足為E點(diǎn)，則的度數(shù)是。3.兩個同心圓中，小圓的切線被大圓所截局部的長等于6，則兩圓所圍成的圓環(huán)的面積是。4.⊙O中，CD是直徑，弦AB⊥CD于P，AP=4，PD=2，則OP的長是。5.圓的一條弦分直徑為3cm和7cm兩局部，且弦和直徑相交成30°角，則弦長為。6.CD是⊙O兩條互相垂直的弦，相交于圓一點(diǎn)P，圓的半徑是5，兩條弦長均為8，則OP的長為。7.如圖，在⊙O中，弦BC垂直平分半徑OA.假設(shè)BC=，則⊙O的周長是。8.如圖，AB是圓的直徑，弦CD與AB交于P，∠ACD=65°，∠ADC=55°，則∠APC=。9.如圖，與的度數(shù)之差為20°，AB交CD于E，∠CEB＝60°，則∠A的度數(shù)是。10.⊙O是△ABC的外接圓，D是上一點(diǎn)。假設(shè)∠ABC=30°，AC=，BC=8，則∠BDC的度數(shù)是。二、解答題11.如圖，△ABC接于⊙O，弦CM⊥AB，是直徑，F(xiàn)是的中點(diǎn)，求證：〔1〕CF平分∠NCM；〔2〕=.12.如圖，在⊙O中，半徑OC⊥直徑AB，弦CD、CE分別交AB于F、G，求證：CF·CD=CG·CE.13.如圖，△ABC是⊙O的接三角形，⊙O的直徑BD交AC于E，AF⊥BD于F，延長AF交BC于G，求證：BG·BC.14.如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的接四邊形ABCD的對角線AC⊥BD，它的一邊BC切小圓于E，求證：OE=B卷一、填空題1.如圖，兩個同心圓，點(diǎn)A在大圓上，ABC為小圓的割線，假設(shè)AB·AC=8，則圓環(huán)的面積為。2.A(0，－1)，B(0，3)，分別以A、B為圓心的兩圓相交于M(2b－2a，1)和N(－2，a－1)，則b－a的值為。3.Rt△ABC的直角邊AC=3，過A的一條直線與△ABC的斜邊AB上的高CD相交于G，與△ABC的外接圓相交于H，則AG·AH的值是。4.如圖，A、B、Q、D、C都在同一圓周上，量得弧和分別是32°和48°，則∠P與∠Q的和是。5.如圖，從直徑AB的延長線上取一點(diǎn)C，過點(diǎn)C作該圓的切線CD，切點(diǎn)為D.假設(shè)∠ACD的平分線交AD于E，則∠CED的度數(shù)為。6.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，以AB上一點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓與BC相切于D，與AC相交于E.假設(shè)∠ABC=40°，則∠CDE的度數(shù)是。7.△ABC是⊙O的接三角形，且AB=AC=2，∠BAC=120°，則⊙O的半徑的長是。8.AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，CD⊥AB于D，BC=，DB=1，則AD的長是。9.如圖，AB是弦，點(diǎn)C在AB的延長線上，且BC等于⊙O的半徑，直線CDE過圓心O，則=10.如圖，⊙O截△ABC的三邊所截得的弦長都相等，∠A=70°，則∠BOC的度數(shù)是。二、解答題11.如圖，△ABC是⊙O的接三角形，∠BAC的平分線交⊙O于D，△BAC的外角∠BAF的平分線交⊙O于E，求證：DE平分BC．12.如圖，P是正△ABC外接圓的上的任一點(diǎn)，AP交BC于D.求證：13.半徑為2的⊙O有兩條互相垂直的弦AB和CD，其交點(diǎn)P到圓心O的距離OP=1.求的值。14.如圖，⊙O的兩條直徑AB⊥CD，E是OD的中點(diǎn)，連結(jié)AE，并延長交⊙O于M，連結(jié)CM，交AB于F，求證：OB=3OF.C卷一、填空題1.如圖，矩形ABCD的邊AB經(jīng)過⊙O的圓心，E，F(xiàn)分別為邊AB、DC與⊙O的交點(diǎn)。假設(shè)AE=3，AD=4，DF=5，則⊙O的直徑等于。2.如圖，ABCD是⊙O的接正方形，PQRS是半圓的接正方形，則等于。3.如圖，AB是⊙O的直徑，AB=4，弦BC=3，∠ABC的平分線交半圓于D，AD、BC的延長線交于E，則四邊形ABCD的面積是△DCE面積的倍。4.如圖，MN是半圓O的直徑。假設(shè)∠K=20°，∠PMQ＝40°，則∠MQP等于。5.四邊形ABCD接于圓，AD為圓的直徑，且AD=8，AB=BC，CD=7，則AB的長是。6.如圖，，弦BD與AC相交于P，∠BPC=80°，則∠ACD的度數(shù)是。7.ABCD是圓接四邊形，圓心在四邊形的部，P點(diǎn)在上，Q點(diǎn)在上，R點(diǎn)在上，S點(diǎn)在上，則∠APB＋∠BQC＋∠CRD＋∠DSA的度數(shù)是。8.如圖，在⊙O中，弦AB=AC，弦AD交BC于E.假設(shè)AB=12，AE=8，則AD的長是。9.如圖，在以AB為直徑的半圓中，有一個接正方形CDEF，其邊長為1.則。10.如圖，在直角△ABC中，AC=BC，的圓心角為A.如果圖中兩個陰影局部的面積相等，則AD：DB=．二、解答題11.如圖，M為劣弧的中點(diǎn)，B是上任意一點(diǎn)，MD⊥BC于D.求證：AB＋BD=DC.12.如圖，四邊形ABCD接于直徑為3的圓O，對角線AC是直徑，對角線AC和BD的交點(diǎn)是P，AB=BD，且PC=0.6，求四邊形ABCD的周長。13.如圖，AB為圓O的弦，QO⊥AB，QA交⊙O于C，BC交QO于P，求證：第十二講直線與圓的位置關(guān)系知識點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)直線與圓有三種位置關(guān)系：相交，相切，相離．與圓相交的直線叫做圓的割線，與圓相切的直線叫做圓的切線。設(shè)圓心到直線的距離為d，圓的半徑為R.直線與圓相離直線與圓無公共點(diǎn)。直線與圓相切直線與圓有唯一公共點(diǎn)。直線與圓相交直線與圓有兩個公共點(diǎn)。圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，圓的切線與圓心的距離等于半徑。從圓外一點(diǎn)P引圓的兩條切線長相等，且P與圓心的連線平分這兩條切線所夾的角。弦切角等于它所夾的弧上的圓周角。圓冪定理：包括相交弦定理、切割線定理和切線長定理。處理直線和圓的有關(guān)幾何問題的根本方法是由位置關(guān)系確定線段或角之間的數(shù)量關(guān)系，反之也可由數(shù)量關(guān)系確定直線與圓的位置關(guān)系。例題精講例1：如圖，D是△ABC的邊AC上的一點(diǎn)，AD：DC=2：1，∠C=45°，∠ADB=60°，求證：AB是△BCD的外接圓的切線。證明：如圖，作△BCD的外接圓，設(shè)圓心為O，連結(jié)OB、OC、OD、OD交BC于E.因?yàn)椤螪CB是所對的圓周角，∠BOD是所對的圓心角，∠BCD=45°，所以∠BOD＝90°.又因?yàn)椤螦DB是△BCD的一個外角，所以∠DBC=∠ADB－∠ACB＝60°－45°＝15°．于是∠DOC＝30°，故∠BOC＝120°.因?yàn)镺B=OC，所以∠BCO=∠CBO=30°.在△OEC中，因?yàn)椤螮OC－∠ECO=30°，所以O(shè)E=EC.在△BOE中，因?yàn)椤螧OE=90°，∠EBO=30°，所以BE=2OE=2EC.又AD=2CD，所以，于是AB∥OD，故∠ABO＝90°.所以AB是△BCD的外接圓的切線。例2：如圖，在△ABC中AB=AC，過C作△ABC的外接圓的切線，交AB延長線于D.又過D作AC的垂線，E為垂足，求證：BD=2CE.證明一：如圖，取CD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF并延長交BD于G.因?yàn)镃T為切線，所以∠TCA=∠ABC，又∠FCE=∠TCA，于是∠FCE=∠ABC．又AB=AC，故∠ACB=∠ABC，所以∠FCE=∠ACB．在Rt△CDE中，F(xiàn)為斜邊CD的中點(diǎn)，所以FE=FC，故∠FEC=∠FCE．由此可知∠ACB=∠FEC，于是有BC∥EG.而F為CD中點(diǎn)，故G為BD中點(diǎn)，即BD=2BG.由BC∥EG可得∠AGE=∠ABC=∠ACB=∠AEG，故AG=AE.而AB=AC，于是CE=BG.所以BD=2CE.證明二：由切割線定理知CD=BD·AD=(AD－AB)·AD=AD－AB·AD，于是AD－CD=AB·AD.在Rt△ADE中，．在Rt△CDE中，．所以，所以AB·AD==(AE＋CE)=(AE－CE〕=(AE＋CE)·AC.又AB=AC，故AD=AE＋CE.又AD=AB＋BD，AE＋CE＝AC＋2CE，于是AB＋BD=AC＋2CE，故BD=2CE.例3：如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線PEC是一條割線，D是AB與PC的交點(diǎn)．假設(shè)PE=2，CD=1，求DE的長度。解：連結(jié)AC、BC、BE、AE、PA為切線，故∠PAE=∠PCA，于是△PAE∽△PCA.同理可得△PBE∽△PCB.所以設(shè)于是因?yàn)?，所以由此得即而，解此方程得于是?：如圖，銳角△ABC，以BC邊為直徑作⊙O交AB于G，過A作⊙O的切線AD，D為切點(diǎn)．在AB上截取AE=AD，過E作AB的垂線與AC的延長線交于F，求證：〔1〕AB·AC=AE·AF；〔2〕．證明：〔1〕連結(jié)CG.因?yàn)锽C是⊙O的直徑，所以∠BGC=90°.又因?yàn)镋F⊥AB，所以∠BEF=90°.故EF∥CG，于是又因?yàn)锳D是⊙O的切線，AGB是⊙O的割線，所以AG·AB.又因?yàn)锳D=AE，所以AG·AB，即于是所以AE·AF=AC·AB；〔2〕因?yàn)橛忠驗(yàn)锳B·AC=AE·AF，所以例5：如圖，AB是半圓的直徑，AC⊥AB，AC=AB.在半圓上任取一點(diǎn)D，作DE⊥CD，交直線AB于點(diǎn)E．BF⊥AB，交線段AD的延長線于點(diǎn)F.〔1〕設(shè)是*°的弧，要使點(diǎn)E在線段BA的延長線上，求*的取值圍；〔2〕不管點(diǎn)D取在半圓的什么位置，圖中除AB=AC外，還有兩條線段一定相等，指出這兩條相等的線段，并予以證明。解：〔1〕如圖，當(dāng)E點(diǎn)由右趨向于A點(diǎn)時，D點(diǎn)趨向于OS與半圓交點(diǎn)，此處OS⊥AB，△ADB成為等腰直角三角形。此時E點(diǎn)從右運(yùn)動到A點(diǎn)時，AD為45°弧，即*=45.當(dāng)E點(diǎn)離開A到BA的延長線上時，離A點(diǎn)越遠(yuǎn)，D點(diǎn)就越接近A點(diǎn)，此時*就接近于0.D與A點(diǎn)重合時，*=0，故滿足條件的*的取值圍是0≤*＜45°；〔2〕由題設(shè)∠CDE=90°，∠CAB=∠EBF=90°，∠ADB=90°，又AC為切線，得∠CAD=∠ABD.在四邊形ACDE中，∠C與∠DEB均為∠AED的補(bǔ)角，故∠DEB=∠C，于是△ACD∽△EBD，得又∠ABD=∠BFD，于是△ABD∽△BFD，得故而AB=AC，則BE=BF.例6：如左圖，設(shè)凸四邊形ABCD的頂點(diǎn)在一個圓周上，另一個圓的圓心O在AB上，且與四邊形的其余三邊相切，求證：AD＋BC=AB.證明：如右圖，設(shè)“另一圓〞的圓心為O，AD、BC的延長線交于M點(diǎn)，連結(jié)OC、OD、OM，于是OC、OD分別是∠DCB和∠CDA的平分線．設(shè)MC=a，MD=b，CD=c，⊙O的半徑為r，于是因?yàn)樗倪呅蜛BCD是圓的接四邊形，所以△MAB∽△MCD.故〔常數(shù)〕，于是，且故，即由此可得kb－kc=MA＋MB－AB，所以AB=MA－b＋MB－a=(MA－MD)＋(MB－MC)，所以AB=AD＋BC.A卷一、填空題1.假設(shè)⊙O的外切等腰梯形的中位線的長為5cm，梯形兩底長的差為6cm，則⊙O的半徑長為cm.2.⊙O中直徑AB與弦AC的夾角是30°，過C點(diǎn)的切線交AB的延長線于D.如果OD=30cm，則⊙O半徑的長為cm.3.PA、PB分別切⊙O于A、B，PO交⊙O于C，過C作⊙O的切線分別交PA、PB于E和F.假設(shè)OA=6，OP=10，則△PEF的周長為。4.假設(shè)⊙O外一點(diǎn)P與點(diǎn)O的距離為4，從P向⊙O作切線，切線長與圓的半徑之差為2，則圓的半徑為。5.△ABC是⊙O的外切三角形，D是BC邊上的切點(diǎn)。BD=4，DC=3，△ABC的周長是18，則AB的長是。6.等腰梯形各邊都與⊙O相切，⊙O的直徑為6cm，等腰梯形的腰等于8cm，則該等腰梯形的面積為cm．7.PT切⊙O于T，PAB為經(jīng)過圓心O的割線，交⊙O于A、B兩點(diǎn)．假設(shè)PT=4，PA=2，則∠BPT的余弦值為。8.過⊙O外一點(diǎn)P作⊙O的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)為A和B.假設(shè)AB＝8，AB的弦心距為3，則PA的長為。9.如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°.以CD為直徑的圓切AB于E點(diǎn)，交BC于F.AD=3，BC=4，則AB的長是。10.如圖，切線PF切⊙O于F，割線PDC交⊙O于D、C，直徑AB⊥CD，垂足為E.如果AB=7cm，PF＝6cm，PD＝4cm，則OE＝cm.二、解答題11.如圖，D是半圓直徑AB上一點(diǎn)，C是半圓上的一點(diǎn)，F(xiàn)D⊥AB，交AC于E，交BC的延長線于G，交圓的過C點(diǎn)的切線于F，求證：EF=FG.12.如圖，△ABC中，∠C＝90°，以BC為直徑的⊙O交AB于D，過點(diǎn)D作⊙O的切線EF交AC于E.假設(shè)BC=3，DE=2，求AD的長。13.如圖，OAB是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓，在弧上任取一點(diǎn)P，過P作切線l，從B點(diǎn)作l的垂線BE交l于E，從P點(diǎn)作OB的垂線PF交OB于F.〔1〕求∠APB的度數(shù)；〔2〕求證：PE=PF．14.如圖，延長⊙O的半徑OA到B，使OA=AB，DT是圓的一條切線，T是切點(diǎn)，C是B在DT上的射影，求證：∠ACB=B卷一、填空題1.如圖，⊙O的直徑AB=2，延長AB至P，使，過P作⊙O的切線PC，C是切點(diǎn)，則弦AC的長是。2.如圖，AB是直徑，CD是弦，過C點(diǎn)的切線與AD的延長線交于E點(diǎn)。假設(shè)∠A=56°，∠B=64°，則∠CED的度數(shù)是。3.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以AB為直徑的半圓O切CD于點(diǎn)M.假設(shè)這個梯形的面積是10cm，周長是14cm，則半圓O的半徑等于cm.4.如圖，AC是⊙O的直徑，OE⊥AD，OF⊥AB，E、F為垂足，OE=OF，AC是AD和AB的比例中項(xiàng)，∠BAD=50°，則∠B的度數(shù)為。5.如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，⊙O分別與AB、AC相切于點(diǎn)E、F，圓心O在BC上．假設(shè)AB=a，AC=b，則⊙O的半徑等于。6.如圖，弦AC、BD相交于E，，∠BEC=130°，則∠ACD的度數(shù)等于。7.如圖，DE為⊙O的直徑，AB為⊙O的弦，延長AB與直線DE交于C，且BC等于圓的半徑?！螦OD=54°，則∠ACD=。8.如圖，四邊形ABCD接于半圓O，AD是半圓的直徑，AD=4，AB=BC=1，則CD=。9.如圖，△ABC中，切圓O的半徑為4，D、E、F分別是BC、AC、AB上的切點(diǎn)，且BD=6，CE=8，則這個三角形的最短的邊長是。10.如圖，AB、AC與⊙O分別相切于B、C兩點(diǎn)，P為圓上一點(diǎn)，P到AB、AC的距離分別為4cm、6cm，則P到BC的距離是cm.二、解答題11.由鈍角△ABC的鈍角頂點(diǎn)A引高AD，以垂足D為圓心，AD為半徑作圓，分別交AB、AC于M、N.如果AB=c，AM=m，AN=n，求AC的邊長。12.如圖，直線AB與⊙O相交于點(diǎn)E、F，EF為⊙O的直徑，且AE=EF=FB，直線AP與⊙O的半徑OD垂直于D，求證：∠ADE=∠PDB．13.如圖，銳角△ABC的外接圓的切線PB、PC相交于P，M是BC的中點(diǎn)，證明：∠BAM=∠CAP．14.如圖，設(shè)線段AB的長為2l，中點(diǎn)為C，以點(diǎn)C為圓心，小于l的任意長為半徑，在AB上方作一半圓，并從A、B作這半圓的切線，切點(diǎn)分別記為D、E.假設(shè)DE上任意一點(diǎn)F處的切線與自A、B所作切線分別交于A'、B'，證明：AA'·BB'=．C卷一、填空題1.如圖，半圓的圓心O在直角三角形ABC的斜邊AB上，且半圓與兩直角邊相切。假設(shè)直角三角形的面積為S，斜邊長為c，則半圓的半徑r=。2.如圖，以AB為直徑的半圓中，有一個接正方形CDEF，邊長為1，AC=a，BC=b，則a=，b=。3.如圖，AB為⊙O的直徑，AC、BD是⊙O的切線，AD、BC相交于P點(diǎn)，且P點(diǎn)在⊙O上。假設(shè)AC=a，BD=b，則⊙O的半徑為。4.如圖，M是弧CAB的中點(diǎn)，線段MP垂直于弦AB于P．假設(shè)AC=a，AP=b，則PB的長是。5.如圖，AB是半徑為a的⊙O的直徑，作弦AD并延長交過B的切線于C，E為AC上的一點(diǎn)，且AE=CD，EF⊥AB于F.設(shè)AF=*，EF=y，則y與*的函數(shù)關(guān)系是。6.如圖，PA切⊙O于A，PO延長后交⊙O于B，PC是∠APB的平分線，交AB于C，則∠PCA的度數(shù)是。7.如圖，A是半徑為1的圓O外的一點(diǎn)，OA=2，AB是圓O的切線，B是切點(diǎn)，弦BC∥OA，連結(jié)AC，則陰影局部的面積等于。8.如圖，Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，AC＝3，BC=4，三個直角三角形△ABC、△ACD、△BCD的切圓半徑分別為、、，則＋＋的值是。10.如圖，在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝128°，∠CAB的平分線交BC于M，△ABC的外接圓的切線AN交BC的延長線于N，則△ANM的最小角的度數(shù)是。二、解答題11.如圖，AB為⊙O的直徑，