第四節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)

第四節(jié)假設(shè)檢查第一節(jié)假設(shè)檢查基本概念上一章重要介紹了參數(shù)預(yù)計(jì)的原理和辦法。但是，實(shí)踐中提出的許多問題還不是預(yù)計(jì)理論所能解決的。例如有甲、乙兩個(gè)氣象站，甲站由實(shí)測資料計(jì)算得累年平均氣溫為25.4℃，乙站由實(shí)測資料計(jì)算得累年平均氣溫為24.5℃，要問如果畫25℃年平均氣溫的等溫線，通過甲、乙兩個(gè)氣象站所謂統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢查是對總體的特性值作出某種假設(shè)，然后根據(jù)適宜的辦法檢查這種假設(shè)的合理性，這種統(tǒng)計(jì)推斷辦法就稱為統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢查。統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢查涉及兩類問題：第一類是已經(jīng)懂得隨機(jī)變量分布的形式，其中涉及幾個(gè)未知的參數(shù)，要檢查這些參數(shù)與否等于某些已知的數(shù)值，這類問題稱為參數(shù)的假設(shè)檢查。另一類是隨機(jī)變量的分布函數(shù)未知，要檢查它與否服從某一已知的分布，這類問題稱為分布的假設(shè)檢查。本章重要討論第一類問題。在假設(shè)檢查中，把所要檢查的假設(shè)稱為原假設(shè)，并以表達(dá)。在假設(shè)檢查理論中，把原假設(shè)以外的那些假設(shè)稱為備擇假設(shè)，并以表達(dá)。例如，若正態(tài)總體的平均數(shù)未知，但懂得它的可能取值為，要檢查原假設(shè)“”，這樣，除以外的一切正實(shí)數(shù)都是備擇假設(shè)。在假設(shè)檢查中，檢查的目的就是通過實(shí)測資料來判斷是接受還是回絕這個(gè)原假設(shè)，這種假設(shè)檢查也稱為明顯性測驗(yàn)。如果檢查的成果否認(rèn)了原假設(shè)，就說（假設(shè)與實(shí)際）差別明顯；如果檢查的成果不能否認(rèn)原假設(shè)，就說（假設(shè)與實(shí)際）無差別明顯。下面用一種例子來闡明假設(shè)檢查的基本思路。假設(shè)某地一月平均氣溫服從正態(tài)分布，其中未知，根據(jù)資料求得的累年平均一月氣溫℃，與否能夠認(rèn)為總體平均值℃？在這個(gè)問題中，假設(shè)℃，然后檢查這個(gè)假設(shè)。樣本的平均值是一種隨機(jī)變量，假設(shè)總體的平均值確實(shí)等于℃，那么由于抽樣的隨機(jī)性，樣本平均值往往也不會剛好等于℃，即它與真值總是存在偏差的?，F(xiàn)在，已知樣本的平均值，它與℃偏差為℃，這個(gè)偏差是怎么產(chǎn)生的呢？是由于抽樣的隨機(jī)性產(chǎn)生的？還是由于的假設(shè)不對的而產(chǎn)生的呢？如果是前者，就沒有理由否認(rèn)的假設(shè)，如果是后者，就應(yīng)當(dāng)否認(rèn)這個(gè)假設(shè)。若假設(shè)成立，則一月平均氣溫應(yīng)服從正態(tài)分布，從這個(gè)總體中抽出的容量為10的樣本的平均值應(yīng)服從正態(tài)分布。于是不難求得：。這就是說，若℃成立，那么在觀察1000個(gè)容量為樣本中，只有3個(gè)樣本的平均值為℃，這是一種概率很小的事件。實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)證明，一種概率很小的事件，在一次實(shí)驗(yàn)中事實(shí)上能夠認(rèn)為是不可能發(fā)生的，這就是所謂實(shí)際推斷原理或小概率原理。按照這個(gè)原理，若℃成立，那么在只抽一種容量為10的樣本的狀況下，這個(gè)樣本的平均值不應(yīng)為℃，但現(xiàn)在實(shí)測資料的平均值為℃，這就是說，一種本不應(yīng)當(dāng)發(fā)生的事件卻發(fā)生了，這與實(shí)際推斷原理相矛盾。顯然，能夠這樣解釋產(chǎn)生這一矛盾的因素，即這個(gè)樣本不是從的正態(tài)總體中抽出來的，也就是說，℃的假設(shè)不成立，于是回絕這一假設(shè)。如果假設(shè)℃，同樣可求得：。這就是說，從的正態(tài)總體中每抽100個(gè)容量為10的樣本，平均就有32個(gè)樣本平均值為℃。因此沒有理由否認(rèn)這個(gè)樣本是從的正態(tài)總體中抽出來的，在沒有更多的觀察資料之前，只能接受這一假設(shè)。從上面的討論中能夠看出，在假設(shè)檢查中，接受或回絕原假設(shè)的決定是根據(jù)樣本特性值與假設(shè)值的偏差超出一定界限的概率作出的，如果這個(gè)概率很小，就回絕假設(shè)，如果這個(gè)概率較大，就接受假設(shè)。這里顯然有一種原則問題，也就是說，要規(guī)定一種很小的概率作為臨界值，使得當(dāng)上述偏差超出規(guī)定界限的概率不大于或等于時(shí)，就回絕原假設(shè)，反之，就接受原假設(shè)。這個(gè)臨界概率稱為明顯性水平或信度。從上述討論中還能夠看到，在進(jìn)行檢查時(shí)，必須用一種統(tǒng)計(jì)量（在上面的例子）來刻劃假設(shè)與實(shí)際間的差別，并且應(yīng)當(dāng)懂得這個(gè)統(tǒng)計(jì)量的分布。然后計(jì)算出這個(gè)統(tǒng)計(jì)量，查出它的概率值，用概率值來判斷這個(gè)統(tǒng)計(jì)量出現(xiàn)的可能性。但在實(shí)際進(jìn)行假設(shè)檢查時(shí)，往往不是計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量超出某規(guī)定范疇的概率來與信度作比較，而是根據(jù)指定的，由的分布算出兩個(gè)臨界值及，使得（4.1）此式的意義可由圖4.1看出。將一種實(shí)測樣本代入的體現(xiàn)式，計(jì)算出的一種實(shí)測值，若，則接受假設(shè)，若或，則回絕假設(shè)。并稱圖上及的區(qū)域?yàn)榛亟^區(qū)，稱滿足的區(qū)域?yàn)榻邮軈^(qū)。在實(shí)際狀況下，有時(shí)需要進(jìn)行單側(cè)檢查，此時(shí)的回絕域可能在右側(cè)或左側(cè)（如圖4.1）。例如，對于假設(shè)；為右側(cè)檢查，回絕域在右側(cè)；對于假設(shè)；為左側(cè)檢查，回絕域在左側(cè)。圖4.1接受區(qū)與回絕區(qū)對于四種抽樣分布，所對應(yīng)的回絕域如圖4.2～圖4.5。圖4.2正態(tài)分布的雙側(cè)回絕域圖4.3正態(tài)分布的右側(cè)回絕域圖4.4正態(tài)分布的左側(cè)回絕域圖4.5分布的雙側(cè)回絕域圖4.6分布的右側(cè)回絕域圖4.7分布的左側(cè)回絕域圖4.8分布的雙側(cè)回絕域圖4.9分布的右側(cè)回絕域圖4.10分布的右左側(cè)回絕域圖4.11分布的雙側(cè)回絕域圖4.12分布的右側(cè)回絕域圖4.13分布的左側(cè)回絕域總而言之，參數(shù)的假設(shè)檢查的環(huán)節(jié)以下：⑴根據(jù)實(shí)際問題的規(guī)定，提出原假設(shè)及備擇假設(shè)；⑵給定明顯性水平以及樣本容量；⑶擬定檢查統(tǒng)計(jì)量以及回絕域的形式；⑷按求出回絕域；⑸根據(jù)樣本觀察值作出決策，是接受還是回絕。第二節(jié)總體平均值的假設(shè)檢查一、用大樣本()作總體平均值的假設(shè)檢查（一）單個(gè)正態(tài)總體均值的檢查若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則能夠證明，其樣本平均值服從正態(tài)分布。于是統(tǒng)計(jì)量：（4.2）是服從的變量。因此，若懂得，就可用作為檢查正態(tài)總體平均值的統(tǒng)計(jì)量。稱為檢查，也叫檢查。對于這樣的大樣本單個(gè)正態(tài)總體均值的檢查，可歸納為：（1）對于雙側(cè)檢查，原始假設(shè)：，備擇假設(shè)：，回絕域?yàn)椋?；?）對于單側(cè)檢查，原始假設(shè)：，備擇假設(shè)：或，回絕域?yàn)椋夯?。?.1，上海76年間7月平均氣溫的平均值為27.2℃，均方差，為繪制７月平均氣溫等溫線圖，試以信度檢查27.0℃等溫線通過上海與否可信？解：檢查27.0℃等溫線通過上海與否可信，就是檢查上海7月平均氣溫與否等于27.0℃，由于，是一大樣本，故可用檢查法。原假設(shè)：上海7月平均氣溫等于27.0℃，即℃；備擇假設(shè)：上海7月平均氣溫不等于27.0℃，即℃。由于當(dāng)，又為雙側(cè)檢查，查正態(tài)分布表得。將代入（4.2）式得：因此接受原假設(shè)，即在的信度上，可認(rèn)為上海7月平均氣溫等于27.0℃。例4.2，有人說某學(xué)校的學(xué)生平均每天的鍛煉時(shí)間最少30分鐘，隨機(jī)在該學(xué)校中隨機(jī)選擇100名學(xué)生，他們每天平均的鍛煉時(shí)間為31分鐘，已知學(xué)生鍛煉時(shí)間的原則差為12分鐘。試在的明顯性水平下，檢查該人說法與否可信？解：根據(jù)題意，此平均數(shù)檢查為單側(cè)檢查。假設(shè)；。已知是右側(cè)檢查，查正態(tài)分布表?？梢?，位于接受域，因此接受原假設(shè)，回絕備擇假設(shè)，即該人的說法是不可信的。（二）兩個(gè)大樣本（，）正態(tài)總體均值的檢查兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)總體，總體均值分別為，方差分別為，從兩個(gè)總體中抽取容量各為的樣本，要檢查原假設(shè)：，：。對于這樣的大樣本兩個(gè)正態(tài)總體均值的檢查，可歸納為：（1）對于雙側(cè)檢查，原始假設(shè)：，備擇假設(shè)：，回絕域?yàn)椋?；?）對于單側(cè)檢查，原始假設(shè)：，備擇假設(shè)：或，回絕域?yàn)椋夯颉Ｓ捎趦蓚€(gè)樣本的平均值分別為，由于它們均為正態(tài)分布，且互相獨(dú)立，因此也是正態(tài)分布，其平均值為，方差為。因此，若成立，則統(tǒng)計(jì)量：（4.3）在應(yīng)用（4.3）式時(shí)，如果，未知，可分別用和替代。例4.3，兩地區(qū)的相對濕度如表4.1所示，問兩地區(qū)的相對濕度與否有明顯性差別（）？表4.1兩地區(qū)的相對濕度地區(qū)站點(diǎn)數(shù)平均相對濕度（%）原則差A(yù)18076.511.50B17478.210.50解：提出假設(shè)，原假設(shè)為兩地區(qū)的相對濕度沒有明顯性差別；備擇假設(shè)為兩地區(qū)的相對濕度有明顯性差別：由于已知樣本的和，總體，未知，因此，用和替代，。，，，，代入（4.3）式，得由于當(dāng)，又為雙側(cè)檢查，查正態(tài)分布表得，，位于接受域，因此接受原假設(shè)，回絕備擇假設(shè)，即兩地區(qū)的相對濕度沒有明顯性差別。二、用小樣本作總體平均值的假設(shè)檢查單個(gè)正態(tài)總體均值的檢查小樣本單個(gè)正態(tài)總體，已知對于小樣本單個(gè)正態(tài)總體，已知的狀況，仍然采用檢查法。采用的變量同（4.2）式，即（4.4）例4.4，已知某種袋裝食品每袋原則質(zhì)量為250kg。現(xiàn)從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10袋，經(jīng)測量平均質(zhì)量為249.5g。已知質(zhì)量服從，問在的明顯性水平下，該產(chǎn)品與否符合原則。解：提出假設(shè)；已知，，，則由于當(dāng)，又為雙側(cè)檢查，查正態(tài)分布表得?？梢?，位于回絕域，因此回絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)，即該產(chǎn)品是不符合質(zhì)量原則。2．小樣本單個(gè)正態(tài)總體，未知若小樣本單個(gè)正態(tài)總體未知，如用樣本方差替代總體方差，則統(tǒng)計(jì)量就不是正態(tài)分布，記為，即或（4.5）這個(gè)統(tǒng)計(jì)量的分布是什么形式呢？以同除上式的分子和分母，于是有（4.6）此式與（設(shè)，且獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量服從自由度為的分布，記為）相比較，可見分子是原則化正態(tài)分布變量。由于，因此分母是，即自由度為的分布。于是可知，統(tǒng)計(jì)量服從自由度為的分布。據(jù)此，可用分布來檢查有關(guān)正態(tài)總體平均值的統(tǒng)計(jì)假設(shè)，稱為檢查法。對于這樣的小樣本單個(gè)正態(tài)總體的檢查，可歸納為：（1）對于雙側(cè)檢查，原始假設(shè)：，備擇假設(shè)：，回絕域?yàn)椋?；?）對于單側(cè)檢查，原始假設(shè)：，備擇假設(shè)：或，回絕域?yàn)椋夯颉＠?.5，某地區(qū)10歲小朋友的平均體重為，現(xiàn)選擇某一小學(xué)隨機(jī)抽取8個(gè)小朋友測量他們的體重，分別為：35.6、37.6、33.4、35.1、32.7、36.8、35.9、34.6，問這所小學(xué)10歲小朋友的體重與本地有無明顯差別？明顯水平。解：提出假設(shè)，原假設(shè)：這所小學(xué)10歲小朋友的體重與本地相似，即，備擇假設(shè)：。由于，為雙側(cè)檢查，在自由度為7時(shí)，查表。，位于接受域，因此接受原假設(shè)，回絕備擇假設(shè)，即這所小學(xué)10歲小朋友的體重與本地指定值沒有明顯差別。兩個(gè)小樣本正態(tài)總體均值的檢查1．，已知，兩個(gè)小樣本正態(tài)總體均值的檢查如果，且，已知時(shí)，，是來自兩個(gè)獨(dú)立樣本的樣本容量，則也采用檢查。統(tǒng)計(jì)量同（4.3）式：（4.7）對于這樣的小樣本兩個(gè)正態(tài)總體均值的檢查，可歸納為：（1）對于雙側(cè)檢查，原始假設(shè)：，備擇假設(shè)：，回絕域?yàn)椋海唬?）對于單側(cè)檢查，原始假設(shè)：，備擇假設(shè)：或，回絕域?yàn)椋夯颉＠?.6，據(jù)以往資料，已知某種小雞重量的。今對該品種小雞用兩法喂養(yǎng)，法取12個(gè)小雞，平均重量為；法取8個(gè)小雞，平均重量為。試比較兩法的小雞重量與否有明顯差別（）？解：提出假設(shè)，原假設(shè)：A、B兩法的小雞的重量相似，即：；備擇假設(shè)：。由于，為雙側(cè)檢查，查表得，，位于接受域，因此接受原假設(shè)，回絕備擇假設(shè)，即兩法的小雞重量無明顯差別。2．，未知，兩個(gè)小樣本正態(tài)總體均值的檢查設(shè)及分別為抽自兩個(gè)互相獨(dú)立的正態(tài)總體中的兩個(gè)樣本的平均值與方差，現(xiàn)要檢查。若樣本很小，不能用檢查法。分下列兩種狀況：（1），未知，如果在即兩個(gè)總體方差相等的條件下，統(tǒng)計(jì)量（4.8）是自由度的服從分布的變量。據(jù)此，可用分布來檢查有關(guān)兩個(gè)正態(tài)總體平均值的統(tǒng)計(jì)假設(shè)。對于這樣的大樣本兩個(gè)正態(tài)總體均值的檢查，可歸納為：（1）對于雙側(cè)檢查，原始假設(shè)：，備擇假設(shè)：，回絕域?yàn)椋?；?）對于單側(cè)檢查，原始假設(shè)：，備擇假設(shè)：或，回絕域?yàn)椋夯?。?.7，某氣象站1956年遷址，1950～1955年的年平均風(fēng)速平均值為，方差，1956～1970年的年平均風(fēng)速平均值，方差。如果，問統(tǒng)計(jì)累年平均值時(shí)，兩段風(fēng)速資料與否能夠合并使用（）？解：提出假設(shè)，原假設(shè)：，備擇假設(shè)：因，為雙側(cè)檢查，則當(dāng)時(shí)，查表得，位于回絕域，因此回絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)，即兩處的風(fēng)速資料不能合并統(tǒng)計(jì)。（2），未知，如果，未知，如果時(shí)，統(tǒng)計(jì)量：（4.9）服從自由度的分布。（4.10）對于這樣的大樣本兩個(gè)正態(tài)總體均值的檢查，可歸納為：（1）對于雙側(cè)檢查，原始假設(shè)：，備擇假設(shè)：，回絕域?yàn)椋?；?）對于單側(cè)檢查，原始假設(shè)：，備擇假設(shè)：或，回絕域?yàn)椋夯?。?.8，某工廠先后生產(chǎn)兩代產(chǎn)品，認(rèn)為新產(chǎn)品的壽命比老產(chǎn)品的使用壽命更長。隨機(jī)從新、老產(chǎn)品中各抽取15個(gè)進(jìn)行檢查。新產(chǎn)品（設(shè)為總體1）的檢查成果是，；老產(chǎn)品（設(shè)為總體2）的檢查成果是，。已知產(chǎn)品的壽命服從正態(tài)分布，問在的明顯性水平下，上述樣本數(shù)據(jù)能否證明廠家的說法。解：提出假設(shè)，原假設(shè)：，備擇假設(shè)：由于，是右側(cè)檢查，統(tǒng)計(jì)量的自由度由（4.10）式求出：查分布表，得臨界值。由于，位于回絕域，因此回絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)，即證明廠家的說法是可信的。（三）配對數(shù)據(jù)均值的檢查在實(shí)驗(yàn)條件很靠近的條件下，可采用配對數(shù)據(jù)的均值比較。配對數(shù)據(jù)，由于同一配對內(nèi)兩個(gè)數(shù)據(jù)的實(shí)驗(yàn)條件很是靠近，而不同配對間的條件差別又可通過同一配對的差數(shù)予以消除，因而能夠控制誤差。在檢查配對數(shù)據(jù)均值時(shí)，就不必假定兩樣本的總體方差相似了。因此，成對數(shù)據(jù)檢查能夠采用檢查。設(shè)兩個(gè)樣本的觀察值分別為和，共配成對，各個(gè)對的差數(shù)，以差數(shù)構(gòu)成一種樣本，檢查其平均值，相稱于單個(gè)正態(tài)總體均值檢查。差數(shù)的平均數(shù)為，總體平均數(shù)之差，則差數(shù)平均數(shù)的原則差為：（4.11）按照（4.5）式，可得（4.12）它是符合自由度為的分布。對于這樣的配對數(shù)據(jù)的檢查，可歸納為：（1）對于雙側(cè)檢查，原始假設(shè)：，備擇假設(shè)：，回絕域?yàn)椋?；?）對于單側(cè)檢查，原始假設(shè)：，備擇假設(shè)：或，回絕域?yàn)椋夯?。?.9，選實(shí)驗(yàn)樣本7組，每組共兩個(gè)受試小白鼠，其中一種接種A解決病毒，另一種接種B解決病毒，以研究不同解決辦法病毒效果（如表4.2），試測驗(yàn)兩種實(shí)驗(yàn)解決辦法的差別明顯性（）。表4.2不同解決辦法病毒效果組別x1(A病毒）x2(B病毒）d11025-152131213814-64315-125312-762027-77618-12解：提出假設(shè):；:；；；查附表，自由度時(shí)，。由于，故回絕假設(shè)，即兩者之間有明顯差別。第三節(jié)方差的假設(shè)檢查在做兩個(gè)總體平均數(shù)檢查時(shí)，是采用檢查法和檢查法需要針對樣本數(shù)量而定，如樣本較小，在作檢查時(shí)應(yīng)懂得總體方差，在兩總體的方差相等時(shí)才干使用檢查法。那么怎么懂得兩總體方差狀況呢？本節(jié)介紹有關(guān)方差的假設(shè)檢查。一、單個(gè)正態(tài)總體方差檢查若總體服從正態(tài)分布，則其樣本方差的統(tǒng)計(jì)量：（4.13）服從與自由度的分布，式中為抽樣樣本方差。因此檢查方差采用檢查法。對于這樣的單個(gè)正態(tài)總體方差檢查，可歸納為：（1）對于雙側(cè)檢查，原始假設(shè)：，備擇假設(shè)：，回絕域上限為：，下限為：；（2）對于單側(cè)檢查，原始假設(shè)：，備擇假設(shè)：或，回絕域?yàn)椋夯颉＠?.10，某廠生產(chǎn)的某種型號電池，其壽命長久以來服從方差的正態(tài)分布。今有一批這種電池，從它的生產(chǎn)狀況來看，壽命波動性比較大。為判斷這種想法與否合乎實(shí)際，隨機(jī)抽取了26只電池，測出其壽命的樣本方差為。問根據(jù)這個(gè)數(shù)據(jù)能否鑒定這批電池的波動性較以往的有明顯的變化（取)？解：原假設(shè)：，備擇假設(shè)：由于，，查表得：，。再計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值為:由于，應(yīng)接受檢查。即在水平0.02下認(rèn)為這批電池抽樣的波動性較以往無明顯的變化。二、兩個(gè)正態(tài)總體方差檢查設(shè)及為分別從互相獨(dú)立的正態(tài)總體及的樣本方差，統(tǒng)計(jì)量：（4.14）服從自由度的分布，記為。因此，可用檢查法。首先證明上述統(tǒng)計(jì)量的分布為分布。如果，將（4.12）式分子分母同除以，則有：（4.15）若，則上式中及分別是自由度的變量，由于樣本抽自兩獨(dú)立正態(tài)總體，故兩個(gè)變量也是獨(dú)立的。對照分布的特性，確認(rèn)統(tǒng)計(jì)量服從自由度的F分布。用這個(gè)統(tǒng)計(jì)量來檢查兩個(gè)正態(tài)總體方差，稱為檢查。對于這樣的兩個(gè)正態(tài)總體方差檢查，可歸納為：（1）對于雙側(cè)檢查，原始假設(shè)：，備擇假設(shè)：，回絕域上限為：，下限為：；（2）對于單側(cè)檢查，原始假設(shè)：，備擇假設(shè)：或，回絕域?yàn)椋夯?。?.11，某一橡膠配方中，原用氧化鋅5克，現(xiàn)減為1克，今分別對兩種配方作一批