向量加法運算及其幾何意義

復(fù)習(xí)回顧：1.向量、平行向量、相等向量的含義分別是什么呢？向量：既有方向又有大小的量平行向量：方向相同或相反的向量相等向量：方向相同并且長度相等的向量1復(fù)習(xí)回顧：2.向量的大小和方向是如何用有向線段表示的呢？什么叫零向量和單位向量？向量的大?。河邢蚓€段的長度。向量的方向：有向線段的方向。零向量：長度為零的向量叫零向量。單位向量：長度等于1個單位長度的向量叫單位向量。22.2.1向量加法運算及其幾何意義由于以前大陸和臺灣沒有直航，因此要從臺灣去上海探親，乘飛機要先從臺北到香港，再從香港到上海，這兩次位移之和是什么？如何用向量表示?上海臺北香港上海臺北香港引例4求兩個向量和的運算叫做向量的加法.baBba+b根據(jù)向量加法的定義得出的求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則．a(chǎn)AO已知向量a和b，在平面內(nèi)任取一點O，作OA=a，AB=b，則向量OB叫做a和b的和，記作a+b．即a+b=OA+AB=OB．首尾相連首尾連GEOCF2F1GEOF圖1圖2

探究：如圖1表示橡皮條在兩個力的作用下，沿著GC的方向伸長了EO；圖2表示撤去F1和F2，用一個力F作用在橡皮條上，使橡皮條沿著相同的方向伸長了相同的長度．GEOCFF1F2力F對橡皮條產(chǎn)生的效果，與力F1和F2共同作用產(chǎn)生的效果相同．物理學(xué)中把力F叫做F1與F2的合力．

探究：如圖1表示橡皮條在兩個力的作用下，沿著GC的方向伸長了EO；圖2表示撤去F1和F2，用一個力F作用在橡皮條上，使橡皮條沿著相同的方向伸長了相同的長度．GEOCFF1F2

探究：如圖1表示橡皮條在兩個力的作用下，沿著GC的方向伸長了EO；圖2表示撤去F1和F2，用一個力F作用在橡皮條上，使橡皮條沿著相同的方向伸長了相同的長度．F2由圖發(fā)現(xiàn)，力F在以F1、F2為鄰邊的平行四邊形的對角線上，并且大小等于平行四邊形的對角線長．如圖，以同一點O為起點的兩個已知向量a和b為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O(shè)為起點的對角線OC就是a與b的和，我們把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則．ObAabaab+CB9位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型．力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型．對于零向量與任一向量

．我們規(guī)定a10BA作法1：abObaab+例1.如圖，已知向量，求做向量。在平面內(nèi)任取一點O．作OA=a，AB=b，則OB=a+b．BCA作法2：abOba在平面內(nèi)任取一點O．作OA=a，OB=b，以O(shè)A、OB為鄰邊做平行四邊形OACB，連接OC，則ab+baOC=OA+OB=a+b．例1.如圖，已知向量，求做向量。如圖，已知a，b用向量加法的三角形法則作出a＋b．（1）bab

a+b（2）

OABab

a+b如圖,已知用向量加法的平行四邊形法則作出

（1）（2）15

思考：如下圖，當在數(shù)軸上表示兩個共線向量時，它們的加法與數(shù)的加法有什么關(guān)系？ababab+ab+方向相同方向相反ab+=OBOABOABab+=OB16探究：考察下列各圖，|a＋b|與|a|＋|b|的大小關(guān)系如何？|a＋b|與||a|－|b||的大小關(guān)系如何？AaBbDCa+b

何時取得等號?≤≤17

思考：如下圖，當在數(shù)軸上表示兩個共線向量時，它們的加法與數(shù)的加法有什么關(guān)系？ababab+ab+方向相同方向相反ab+=OBOABOABab+=OB18探究：當a、b處于什么位置時，(1)|a＋b|＝|a|＋|b|．(2)|a＋b|＝|a|－|b|（或|b|－|a|）．(1)當a、b共線，且同向時，(2)當a、b共線，且反向時，|a＋b|＝|a|＋|b|．

|a＋b|＝|a|－|b|（或|b|－|a|）．19【答案】D(2)若平面內(nèi)有n個向量首尾相接,構(gòu)成一個封閉圖形,那么A1A2

+A2A3

+

……+An-1An

+AnA1

=_______0（1）A1A2+A2A3+……+An-1An=_______A1An拓展：探究：數(shù)的加法滿足交換律與結(jié)合律，即對任意的a，b∈R，有

a+b=b+a

(a+b)+c=a+(b+c)任意向量a，b的加法是否也滿足交換律和結(jié)合律？請畫圖進行探索．22BCDAa+b+ca+bb+cabcBCDAbabaa+b

數(shù)的加法滿足交換律與結(jié)合律,即對任意a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)

任意向量a,b的加法是否也滿足交換律與結(jié)合律?向量加法的運算律交換律結(jié)合律以上兩個性質(zhì)可以推廣到任意多個向量根據(jù)圖示填空:(1)a+d=____________(2)c+b=____________ACDBOabcd練一練根據(jù)圖示填空ABDEC課本84頁427例3.長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪船進行運輸，如圖所示，一艘船從長江南岸A點出發(fā)，以km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h.（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；（2）求船實際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾角來表示）。ADBC例3.長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪船進行運輸，如圖所示，一艘船從長江南岸A點出發(fā)，以km/h的速度向垂直于對