應(yīng)變推知位移的方法

結(jié)構(gòu)變形分析近年來高空長航時(shí)(High-AltitudeLong-Endurance)無人預(yù)警機(jī)越來越受重視，這類飛機(jī)普遍具有大展弦比柔性機(jī)翼，機(jī)翼同時(shí)是一部長基線天線。圖1大展弦比柔性機(jī)翼大展弦比柔性機(jī)翼在飛行載荷作用下，會(huì)產(chǎn)生很大的彎曲和扭轉(zhuǎn)變形圖2圖2機(jī)翼變形示意圖結(jié)構(gòu)變形估計(jì)為保障機(jī)翼的安全性及機(jī)翼長基線天線的電性能，要求對機(jī)翼的變形進(jìn)行實(shí)時(shí)測量，目前主要的實(shí)時(shí)測量方法有兩種：一是模態(tài)法；二是Ko位移理論。模態(tài)法在僅考慮Y軸方向彎曲變形時(shí)，可以將機(jī)翼簡化為懸臂梁，如圖3所示，長為l，半徑為c的圓截面懸臂梁。圖3模態(tài)法應(yīng)變測量點(diǎn)與位移示例xy圖3模態(tài)法應(yīng)變測量點(diǎn)與位移示例xy由結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)可知，對于分布參數(shù)系統(tǒng)，理論上需要采用偏微分方程描述其變形。但實(shí)際上，往往采用有限元方法對其離散化。將結(jié)構(gòu)離散化后，整體結(jié)構(gòu)有限元節(jié)點(diǎn)總數(shù)為NUE，在外載荷作用P下的變形y可以由下面的運(yùn)動(dòng)方程來描述。My+Cy+Ky=P式中，M，C，K，P分別表示結(jié)構(gòu)的質(zhì)量陣，阻尼陣，剛度陣以及外載荷向量。對于線性系統(tǒng)，可以由相應(yīng)振型方程得各階模態(tài)振型。（K-s2M）｛①｝=｛0｝式中，s表示結(jié)構(gòu)固有頻率；｛①｝表示結(jié)構(gòu)模態(tài)振型向量。通過特征值和特征向量的求解，可得各階模態(tài)振型如下所示。?1?1????112NUE①2?2????21??2????NUE??①NUE?NUE????NUE12NUE^式中，?i表示第i階固有頻率所對應(yīng)的模態(tài)振型向量；oj表示第i階模態(tài)振型的第j個(gè)模態(tài)位移。根據(jù)模態(tài)疊加原理，結(jié)構(gòu)的變形可以表示成NUE工

y=>①qiii=1結(jié)構(gòu)位移模態(tài)反映的是結(jié)構(gòu)的固有振型，應(yīng)變是位移的一階導(dǎo)數(shù)。因此，對應(yīng)于每一階位移位移模態(tài)，則必有其對應(yīng)的固有應(yīng)變分布，這種與位移模態(tài)相對應(yīng)的固有應(yīng)變分布狀態(tài)稱之為應(yīng)變模態(tài)。中=D(①)式中，中,表示第i階應(yīng)變模態(tài)向量；①,表示第i階位移模態(tài)向量；D表示位移到應(yīng)變的線性微分算子。由應(yīng)變模態(tài)的定義可知，結(jié)構(gòu)在載荷作用下的變形所對應(yīng)的應(yīng)變分布也可以由各階應(yīng)變模態(tài)的線性組合來表示，且有相同的線性組合系數(shù)，即有相同的廣義模態(tài)坐標(biāo)｛0｝。取前n階彎曲模態(tài)，在Xj處的測量應(yīng)變ej可以表示為(6)j.=^中j.q.(6)i=1式中，中j表示第i階應(yīng)變模態(tài)在Xj處的分量。那么m個(gè)測量應(yīng)變的矩陣形式如下'jj12中'jj12中11中21中12中22中1n中2nqq2|=[T] {q}mxn nx1條件下，人y1人y2①條件下，人y1人y2①11中21①12中22①1n中2nq1q2項(xiàng){q}=[①]m[w])皿{e}Nxn nx1 mxn nxm^ mx1 V [dst]Nxm由模態(tài)分析得到［W］，由測量得到也｝］，在m>n時(shí)就可以求出｛q｝］，如下所{q}=

nx1（wk［中］）】前{q}=

nx1在求得前n階彎曲模態(tài)所對應(yīng)的廣義模態(tài)坐標(biāo)｛q｝，并且已知前n階彎曲位移模態(tài)的所有參與評價(jià)位移估計(jì)精度的節(jié)點(diǎn)的估計(jì)位移就可以表示為簡寫為(10)｛y｝N廣贏］nx,“｛七1(10)式中，N表示參與評價(jià)位移估計(jì)精度的節(jié)點(diǎn)總數(shù)。Ko位移理論從整個(gè)機(jī)翼來看，變形量很大，但是逐段分析發(fā)現(xiàn)，段內(nèi)變形量仍是一個(gè)小量，并且滿足線彈性假設(shè)。因此將整個(gè)梁沿X軸方向劃分為多個(gè)小段，在每個(gè)小段上分別應(yīng)用經(jīng)典梁理論的線彈性小變形假設(shè)來推導(dǎo)位移。在測得第，段段首推和段尾牟+1位置的應(yīng)變ej和ej+1之后，通過一次插值函數(shù)得到第j段內(nèi)任意位置的應(yīng)變(12)￡(x)=e一G-e》~;A/=xe-xe；xe<x<xejj j+1 Al j j+1 jj+1 j(12)由歐拉-伯努利梁理論可知，梁表面的彎曲應(yīng)變e（x）與梁變形后的擾度yG）之間的關(guān)系式為(x)(x)=-cdx2(13)由此，在已知第J段段首x；和段尾x；+1位置的轉(zhuǎn)角七和擾度ye的條件下，通過一次積分得到第j段內(nèi)任意點(diǎn)的轉(zhuǎn)角#(x)TOC\o"1-5"\h\ztan0(x)-jx'2卜(X)dx+tan0篇x一°(X)dx+tan0e；Xe<X<Xe (14)夢dx2 j xe c jj j+1j j通過兩次積分得到第j段內(nèi)任意點(diǎn)的擾度.y(x)y(x)=jxtan0(x^x+ye=\xfx-!(x)dxdx+jxtan0edx+ye；xe<x<xe(15)xe j xexe C xe j jj j+1j jj j顯然上述積分過程是一般意義上的積分過程，但是必須是在已知0e和ye的前提下，而jj這在沒有完成第j-1段的轉(zhuǎn)角和擾度的計(jì)算之前是未知的，即第j段的位移估計(jì)必須建立在第j-1段的基礎(chǔ)上。另外，由懸臂梁的邊界條件可知，在第1段內(nèi)，轉(zhuǎn)角0j=0，擾度ye=0，由此可知要完成整個(gè)梁的擾度估計(jì)，必須從第1段開始依次完成各個(gè)小段內(nèi)的擾度估計(jì)，如此可得第j段內(nèi)任意點(diǎn)的轉(zhuǎn)角(16)tan0(x)=fx一^")dx+tan0e；xe<x