人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)講測(cè)練 第23課 一元一次不等式的解法（教師版）

第23課一元一次不等式的解法目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1．理解一元一次不等式的概念；2.會(huì)解一元一次不等式．知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01一元一次不等式的概念只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，SKIPIF1<0是一個(gè)一元一次不等式．注意：(1)一元一次不等式滿足的條件：①左右兩邊都是整式(單項(xiàng)式或多項(xiàng)式)；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)為1．(2)一元一次不等式與一元一次方程既有區(qū)別又有聯(lián)系：相同點(diǎn)：二者都是只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1，“左邊”和“右邊”都是整式．不同點(diǎn)：一元一次不等式表示不等關(guān)系，由不等號(hào)“＜”或“＞”連接，不等號(hào)有方向；一元一次方程表示相等關(guān)系，由等號(hào)“＝”連接，等號(hào)沒有方向．知識(shí)點(diǎn)02一元一次不等式的解法1.解不等式：求不等式解的過程叫做解不等式．2.一元一次不等式的解法：與一元一次方程的解法類似，其根據(jù)是不等式的基本性質(zhì)，將不等式逐步化為：SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）的形式，解一元一次不等式的一般步驟為：(1)去分母；(2)去括號(hào)；(3)移項(xiàng)；(4)化為SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）的形式（其中SKIPIF1<0）；(5)兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，得到不等式的解集.注意：（1）在解一元一次不等式時(shí)，每個(gè)步驟并不一定都要用到，可根據(jù)具體問題靈活運(yùn)用．（2）解不等式應(yīng)注意：①去分母時(shí)，每一項(xiàng)都要乘同一個(gè)數(shù)，尤其不要漏乘常數(shù)項(xiàng)；②移項(xiàng)時(shí)不要忘記變號(hào)；③去括號(hào)時(shí)，若括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括號(hào)里的每一項(xiàng)都要變號(hào)；④在不等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向要改變．3.不等式的解集在數(shù)軸上表示：在數(shù)軸上可以直觀地把不等式的解集表示出來，能形象地說明不等式有無限多個(gè)解，它對(duì)以后正確確定一元一次不等式組的解集有很大幫助．注意：在用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，要確定邊界和方向：（1）邊界：有等號(hào)的是實(shí)心圓點(diǎn)，無等號(hào)的是空心圓圈；（2）方向：大向右，小向左．能力拓展能力拓展考法01一元一次不等式的概念【典例1】下列式子哪些是一元一次不等式？哪些不是一元一次不等式？為什么？（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0（5）SKIPIF1<0【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義判斷．【答案與解析】解：(1)是一元一次不等式．（2）（3）(4)(5)不是一元一次不等式，因?yàn)椋海?）中分母中含有字母，（3）未知量的最高次項(xiàng)不是1次，（4）不等式左邊含有兩個(gè)未知量，（5）不是不等式，是一元一次方程．【點(diǎn)睛】一元一次不等式的定義主要由三部分組成：①不等式的左右兩邊分母不含未知數(shù)；②不等式中只含一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是1，三個(gè)條件缺一不可．考法02解一元一次不等式【典例2】解不等式：SKIPIF1<0，并把解集在數(shù)軸上表示出來．【分析】先用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，將分母變?yōu)檎麛?shù)，再去分母，在去分母時(shí)注意分?jǐn)?shù)線兼有括號(hào)的作用．【答案與解析】解：將分母變?yōu)檎麛?shù)，得：SKIPIF1<0去分母，得：SKIPIF1<0去括號(hào)，合并同類項(xiàng)，得：SKIPIF1<0系數(shù)化1，得：SKIPIF1<0這個(gè)不等式的解集表示在數(shù)軸上，如下圖：【點(diǎn)睛】在不等式的兩邊同乘以(或除以)負(fù)數(shù)時(shí)，必須改變不等號(hào)的方向．【即學(xué)即練】解不等式：SKIPIF1<0【答案】解：去括號(hào)，得SKIPIF1<0移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得：SKIPIF1<0系數(shù)化1，得SKIPIF1<0故原不等式的解集是SKIPIF1<0【典例3】m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程：SKIPIF1<0的解大于1？【分析】從概念出發(fā)，解出方程（用m表示x），然后解不等式．【答案與解析】解：x-12m+2=6x-15m+35x=3m-1SKIPIF1<0由SKIPIF1<0解得m＞2【點(diǎn)睛】此題亦可用x表示m，然后根據(jù)x的范圍運(yùn)用不等式基本性質(zhì)推導(dǎo)出m的范圍．【即學(xué)即練】已知關(guān)于SKIPIF1<0方程SKIPIF1<0的解是非負(fù)數(shù)，SKIPIF1<0是正整數(shù)，則SKIPIF1<0．【答案】1或2【典例4】已知關(guān)于SKIPIF1<0的方程組SKIPIF1<0的解滿足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍．【分析】先解出方程組再解不等式．【答案與解析】解：由SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0【點(diǎn)睛】有時(shí)根據(jù)具體問題，可以不必解出SKIPIF1<0的具體值．考法03解含字母的一元一次不等式【典例5】解關(guān)于x的不等式：(1-m)x>m-1【分析】由此不等式的結(jié)構(gòu)，這里只需將未知數(shù)的系數(shù)化1即可，兩邊同時(shí)除以（1-m），但由不等式的基本性質(zhì)我們知，若不等式兩邊同時(shí)除以一個(gè)負(fù)數(shù)，原不等號(hào)的方向得改變，這里1-m的符號(hào)我們不知道，故需分類討論．【答案與解析】解：當(dāng)1-m＞0即m＜1時(shí)，原不等式的解集為：x＞-1；當(dāng)1-m＜0即m＞1時(shí)，原不等式的解集為：x＜-1；當(dāng)1-m=0即m=1時(shí)，沒有數(shù)能使得不等式成立，故原不等式無解．【點(diǎn)睛】不難發(fā)現(xiàn)，我們可以總結(jié)概括，如下：若ax＞b（a≠0），當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，不等式的解集是SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，不等式的解集是SKIPIF1<0．【即學(xué)即練】解關(guān)于x的不等式m（x-2）＞x-2.

【答案】解:化簡(jiǎn)，得（m-1）x＞2（m-1），

①當(dāng)m-1＞0時(shí)，x＞2；

②當(dāng)m-1＜0時(shí)，x＜2；

③當(dāng)m-1=0時(shí)，無解.【即學(xué)即練】已知x＞a的解集中最小整數(shù)為－2，則a的取值范圍是______．【答案】﹣3≤a＜﹣2．考法04逆用不等式的解集【典例6】如果關(guān)于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集為x＜1，那么a的取值范圍是．【分析】本題是關(guān)于x的不等式，應(yīng)先只把x看成未知數(shù)，求得x的解集，從而來求得a的值．【答案】a＜﹣1【解析】解：∵（a+1）x＞a+1的解集為x＜1，∴a+1＜0，∴a＜﹣1．【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)不等號(hào)的方向改變確定a+1＜0．【即學(xué)即練】已知不等式3x﹣a≤0的解集為x≤5，則a的值為．【答案】15.【解析】解：3x﹣a≤0，x≤SKIPIF1<0，∵不等式的解集為x≤5，∴SKIPIF1<0=5，解得a=15．故答案為：15．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．下列各式：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0；（6）SKIPIF1<0是一元一次不等式的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【解析】【詳解】一元一次不等式有三個(gè)特點(diǎn)：①不等式的兩邊都是整式；②只含1個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)為1次．由此可得（1）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（6）SKIPIF1<0是一元一次不等式，故選B.2．不等式SKIPIF1<0的解為（）A．SKIPIF1<0

B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】去分母、移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化成1即可．【詳解】SKIPIF1<0，3-x＞2x，3＞3x，x＜1，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，注意：解一元一次不等式的步驟是：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化成1．3．不等式3（1﹣x）＞2﹣4x的解在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)可得不等式的解集，繼而可得答案．【詳解】解：去括號(hào)，得：3﹣3x＞2﹣4x，移項(xiàng)，得：﹣3x+4x＞2﹣3，合并，得：x＞﹣1，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式及用數(shù)軸表示不等式的解集，正確解不等式是解題關(guān)鍵，注意“＞”向右，“＜”向左，帶等號(hào)用實(shí)心，不帶等號(hào)用空心．4．不等式SKIPIF1<0的非負(fù)整數(shù)解有()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】【分析】首先利用不等式的基本性質(zhì)解不等式，再從不等式的解集中找出適合條件的正整數(shù)即可．【詳解】解：不等式4-3x≥2x-6，整理得，5x≤10，∴x≤2；∴其非負(fù)整數(shù)解是0、1、2．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，正確解不等式，求出解集是解答本題的關(guān)鍵．解不等式應(yīng)根據(jù)不等式的基本性質(zhì)．5．已知關(guān)于x的方程2x-a=x-1的解是非負(fù)數(shù)，則a的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】本題首先要解這個(gè)關(guān)于x的方程，然后根據(jù)解是非負(fù)數(shù)，就可以得到一個(gè)關(guān)于a的不等式，最后求出a的取值范圍．【詳解】解：原方程可整理為：（2-1）x=a-1，解得：x=a-1，∵方程x的方程2x-a=x-1的解是非負(fù)數(shù)，∴a-1≥0，解得：a≥1．故選A．點(diǎn)睛：本題綜合考查了一元一次方程的解與解一元一次不等式．解關(guān)于x的不等式是本題的一個(gè)難點(diǎn)．6．已知關(guān)于x，y的二元一次方程組SKIPIF1<0的解滿足SKIPIF1<0，則k的取值范圍是（）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)加減消元法求解二元一次方程組，結(jié)合題意，再根據(jù)一元一次不等式的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【詳解】SKIPIF1<0①SKIPIF1<0②得：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0將SKIPIF1<0代入②得：SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組、一元一次不等式的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程組、一元一次不等式的性質(zhì)，從而完成求解．7．小麗同學(xué)準(zhǔn)備用自己節(jié)省的零花錢購買一臺(tái)學(xué)生平板電腦，她已存有750元，并計(jì)劃從本月起每月節(jié)省30元，直到她至少存有1080元，設(shè)x個(gè)月后小麗至少有1080元，則可列計(jì)算月數(shù)的不等式為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【詳解】解：由題意可得：SKIPIF1<0．故選D．8．關(guān)于x的不等式（m+1）x＞m+1的解集為x＜1，那么m的取值范圍是（）A．m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．m＞0 D．m＜0【答案】A【解析】【分析】本題是關(guān)于x的不等式，不等式兩邊同時(shí)除以（m+1）即可求出不等式的解集，不等號(hào)發(fā)生改變，說明m+1<0，即可求出m的取值范圍．【詳解】∵不等式(m+1)x>m+1的解集為x<1，∴m+1<0，∴m<?1，故選A.【點(diǎn)睛】考查解一元一次不等式，熟練掌握不等式的3個(gè)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.9．若關(guān)于x的方程2(x+k)=x+6的解是非負(fù)數(shù)，則k的取值范圍是（）A．k≤3 B．k＞3 C．k≥3 D．k＜3【答案】A【解析】【分析】先求出方程的解，根據(jù)題意得出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集即可．【詳解】解：2(x+k)=x+6，x=6-2k，∵關(guān)于x的方程2(x+k)=x+6的解是非負(fù)數(shù)，∴6-2k≥0，解得：k≤3，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)題意得出關(guān)于k的不等式，難度適中．題組B能力提升練10．不等式SKIPIF1<0＞SKIPIF1<0＋2的解是__________．【答案】x＞－3【解析】【詳解】SKIPIF1<0＞SKIPIF1<0＋2,去分母得：SKIPIF1<0去括號(hào)得：SKIPIF1<0移項(xiàng)及合并得：SKIPIF1<0系數(shù)化為1得：SKIPIF1<0.故答案為x＞－3.11．若關(guān)于x，y的方程組SKIPIF1<0的解使4x＋7y＞2成立，則k的取值范圍是________．【答案】k＞3【解析】【分析】將第一個(gè)方程×2－第二個(gè)方程，得到4x+7y=2k-2-2，然后代入4x+7y＞2，解關(guān)于k的一元一次不等式即可．【詳解】SKIPIF1<0由①×2﹣②得：4x+7y=2k-2-2，∴2k-2-2＞2，∴2k＞6，解得：k＞3．故答案為k＞3．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的解法．利用整體法求解是解答本題的關(guān)鍵．12．若不等式SKIPIF1<0＞﹣x﹣SKIPIF1<0的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_______．【答案】SKIPIF1<0≤m≤6【解析】【分析】解不等式SKIPIF1<0＞﹣x﹣SKIPIF1<0得x＞﹣4，據(jù)此知x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，再分m﹣6＝0和m﹣6≠0兩種情況分別求解．【詳解】解：解不等式SKIPIF1<0＞﹣x﹣SKIPIF1<0得x＞﹣4，∵x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，①當(dāng)m﹣6＝0，即m＝6時(shí)，則x＞﹣4都能使0?x＜13恒成立；②當(dāng)m﹣6≠0，則不等式（m﹣6）x＜2m+1的解要改變方向，∴m﹣6＜0，即m＜6，∴不等式（m﹣6）x＜2m+1的解集為x＞SKIPIF1<0，∵x＞﹣4都能使x＞SKIPIF1<0成立，∴﹣4≥SKIPIF1<0，∴﹣4m+24≤2m+1，∴m≥SKIPIF1<0，綜上所述，m的取值范圍是SKIPIF1<0≤m≤6．故答案為：SKIPIF1<0≤m≤6．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是掌握解一元一次不等式的步驟和依據(jù)及不等式的基本性質(zhì)．13．若不等式（a﹣3）x＞1的解集為SKIPIF1<0，則a的取值范圍是_____．【答案】SKIPIF1<0．【解析】【詳解】∵(a?3)x>1的解集為x<SKIPIF1<0，∴不等式兩邊同時(shí)除以(a?3)時(shí)不等號(hào)的方向改變，∴a?3<0，∴a<3.故答案為a<3.點(diǎn)睛：本題考查了不等式的性質(zhì):在不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)不等號(hào)的方向改變.本題解不等號(hào)時(shí)方向改變,所以a-3小于0.14．關(guān)于x的不等式SKIPIF1<0只有兩個(gè)正整數(shù)解，則a的取值范圍是_______【答案】6≤a＜9．【解析】【分析】解不等式得x≤SKIPIF1<0，由于只有兩個(gè)正整數(shù)解，即1，2，故可判斷SKIPIF1<0的取值范圍，求出a的取值范圍．【詳解】原不等式解得x≤SKIPIF1<0，∵解集中只有兩個(gè)正整數(shù)解，則這兩個(gè)正整數(shù)解是1，2，∴2≤SKIPIF1<0＜3，解得6≤a＜9．故答案為6≤a＜9．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解．正確解不等式，求出正整數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．解不等式應(yīng)根據(jù)不等式的基本性質(zhì)．15．若不等式SKIPIF1<0的正整數(shù)解是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是____．【答案】9≤a＜12【解析】【分析】解不等式3x?a≤0得x≤SKIPIF1<0，其中，最大的正整數(shù)為3，故3≤SKIPIF1<0＜4，從而求解．【詳解】解：解不等式3x?a≤0，得x≤SKIPIF1<0，∵不等式的正整數(shù)解是1，2，3，∴3≤SKIPIF1<0＜4，解得9≤a＜12．故答案為：9≤a＜12．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的解法．先解含字母系數(shù)的不等式，再根據(jù)正整數(shù)解的情況確定字母的取值范圍．題組C培優(yōu)拔尖練16．求不等式SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0+1的非負(fù)整數(shù)解．【答案】不等式的非負(fù)整數(shù)解為0、1、2、3、4．【解析】【分析】去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，即可得出不等式的解集．【詳解】去分母得：5（2x+1）≤3（3x-2）+15，去括號(hào)得：10x+5≤9x-6+15，移項(xiàng)得：10x-9x≤-5-6+15，合并同類項(xiàng)得x≤4，∴不等式的非負(fù)整數(shù)解為0、1、2、3、4．【點(diǎn)睛】考查了不等式的性質(zhì)和解一元一次不等式，主要考查學(xué)生運(yùn)用不等式的性質(zhì)解一元一次不等式的能力.17．已知關(guān)于x的不等式SKIPIF1<0＜7的解也是不等式SKIPIF1<0－1的解，求a的取值范圍．【答案】－SKIPIF1<0≤a＜0【解析】【分析】解關(guān)于x的不等式SKIPIF1<0，可得其解為xSKIPIF1<0；而已知關(guān)于x的不等式SKIPIF1<07的解也是不等式SKIPIF1<0的解，故a＜0，所以不等式SKIPIF1<07的解是x＞7a；從而得到7aSKIPIF1<0；解可得aSKIPIF1<0；結(jié)合a＜0，可得答案．【詳解】關(guān)于x的不等式SKIPIF1<0，解得：xSKIPIF1<0．∵關(guān)于x的不等式SKIPIF1<07的解也是不等式SKIPIF1<0的解，故a＜0，所以不等式SKIPIF1<07的解集是x＞7a．所以7aSKIPIF1<0，解得：aSKIPIF1<0．∵a＜0，∴SKIPIF1<0a＜0．【點(diǎn)睛】當(dāng)題中有兩個(gè)未知字母時(shí)，應(yīng)把關(guān)于某個(gè)字母的不等式中的字母當(dāng)成已知數(shù)，求得解集，再根據(jù)解集進(jìn)行判斷，求得另一個(gè)字母的值．本題需注意，在不等式兩邊都除以一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)只改變不等號(hào)的方向，余下運(yùn)算不受影響，該怎么算還怎么算．18．已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】SKIPIF1<0【解析】【詳解】試題分析：兩個(gè)方程作差，可得SKIPIF1<0用k表示.試題解析：解：∵SKIPIF1<0①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．19．閱讀下面的材料：對(duì)于實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，我們定義符號(hào)SKIPIF1<0的意義為：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，如：SKIPIF1<0．根據(jù)上面的材料回答下列問題：（1）SKIPIF1<0______；（2）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求x的取值范圍．【答案】（1）﹣1；（2）x≥SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）比較大小，即可得出答案；（2）根據(jù)題意判斷出SKIPIF1<0解不等式即可判斷x的取值范圍．【詳解】解：（1）由題意得SKIPIF1<0﹣1故答案為：﹣1；（2）由題意得：SKIPIF1<03（2x－3）≥2（x+2）6x－9≥2x+44x≥13X≥SKIPIF1<0