概率統(tǒng)計(jì) 第5章

第五章

正態(tài)分布與自然指數(shù)分布族5.1正態(tài)分布及其密度函數(shù)和分布函數(shù)10/16/20231標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)定義5.1若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為：則稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：10/16/20232標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)10/16/20233一般正態(tài)分布定義5.2是任意常數(shù)，若隨機(jī)變量X有則稱X服從參數(shù)為的正態(tài)分布，記為10/16/20234定理5.1，則10/16/20235定理5.1續(xù)10/16/20236密度函數(shù)的驗(yàn)證設(shè)，f(x)是其密度函數(shù)，則有：下面驗(yàn)證：10/16/20237首先驗(yàn)證：或驗(yàn)證：10/16/20238現(xiàn)在需要證明：10/16/20239作極坐標(biāo)變換：則有因此，10/16/20231010/16/202311例5.210/16/20231210/16/20231310/16/202314EX10/16/20231510/16/20231610/16/202317例:設(shè)對(duì)某型號(hào)工件長(zhǎng)度的測(cè)量誤差X服從參數(shù)為(0，0.25)(單位：mm)，對(duì)此工件測(cè)量一次，求誤差的絕對(duì)值不大于0.98的概率；(2)對(duì)此工件獨(dú)立測(cè)量50次，求至少有2次測(cè)量誤差的絕對(duì)值大于0.98的概率。解：(1)設(shè)X表示該工件長(zhǎng)度的測(cè)量誤差。則X～N(0,0.25)10/16/202318(2)Y表示“50次測(cè)量中誤差的絕對(duì)值大于0.98的次數(shù)”則有Y～B(50,0.05).

=50*0.05=2.5,則Y近似服從P(2.5).所以10/16/202319正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形性質(zhì)xf(x)010/16/20232010/16/20232110/16/202322xf(x)010/16/202323正態(tài)分布的重要性正態(tài)分布是概率論中最重要的分布，這可以由以下情形加以說(shuō)明：⑴．正態(tài)分布是自然界及工程技術(shù)中最常見(jiàn)的分布之一，大量的隨機(jī)現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布的．可以證明，如果一個(gè)隨機(jī)指標(biāo)受到諸多因素的影響，但其中任何一個(gè)因素都不起決定性作用，則該隨機(jī)指標(biāo)一定服從或近似服從正態(tài)分布．⑵．正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì)，這些性質(zhì)是其它許多分布所不具備的．⑶．正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布．10/16/202324例.設(shè)X

N(

,

2),求P{

-3

<X<

+3

}本題結(jié)果0.9974.在工程應(yīng)用中，通常認(rèn)為P{|X-

|≤3

}≈1，忽略{|X-

|>3

}的值，稱為3

原則.如在質(zhì)量控制中，常用標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)值±3

作兩條線，當(dāng)生產(chǎn)過(guò)程的指標(biāo)觀察值落在兩線之外時(shí)發(fā)出警報(bào).表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常.10/16/202325§5.2正態(tài)分布的數(shù)字特征定理5.2的期望與方差分別為：證：設(shè)，則有10/16/202326續(xù)10/16/202327由一般正態(tài)分布定義，有從而可見(jiàn)，正態(tài)分布中兩個(gè)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義。10/16/202328正態(tài)分布的線性性質(zhì)定理5.3當(dāng)時(shí)有，定理5.4且10/16/202329正態(tài)分布的可加性定理5.5設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且即：獨(dú)立的正態(tài)分布線性組合仍然服從正態(tài)分布．10/16/202330獨(dú)立同分布情形的一般結(jié)論即隨機(jī)變量相互獨(dú)立且則事實(shí)上10/16/202331例5.5設(shè)某地區(qū)成年女子的身高在這一地區(qū)隨機(jī)選100名成年女子，（1）求至多兩名女